Зарождение математики: Древний Восток (Египет). Задачи древнего востока
Древний Восток. Билеты / 1_vopros
Предмет и задачи курса «История Древнего Востока», его место в курсе всеобщей истории.
Предмет: система знаний и представлений о важнейших процессах развития древнейших цивилизаций Востока.
Задачи:
Выявление общих черт всех восточных обществ, т.е. то, что объединяет их между собой;
Выявление особенностей каждой из восточных цивилизаций;
Выявление факторов, обусловивших особый характер исторического процесса на Востоке.
История Древнего Востока – составная часть общего курса истории древнего мира. Она является объединяющей частью курса всеобщей истории, которая изучает историю древнейших цивилизаций, заложивших основу и создавших возможности для последующего прогресса человечества, предопределивших в основных чертах его направление и характер. В рамках одной дисциплины – истории Древнего Мира – предполагается наличие некоторых общих черт, общей основы в социально-экономическом строе, политических институтах, религиозно-культурной сфере древневосточных народов, а также древних греков и римлян. Выделение внутри этой дисциплины трех самостоятельных частей – истории Древнего Востока, Греции и Рима – предполагает наличие особенных черт каждой из общественных и культурных систем этих регионов.
История Древнего Востока охватывает период с рубежа IV-III тысячелетия до н.э. до середины I тысячелетия до н.э. (для обществ Южной и Юго-Восточной Азии – до второй четверти – середины I тысячелетия н.э.).
Всемирно – историческое значение первых цивилизаций, зародившихся в странах Древнего Востока, заключается в том, что вплоть до наших дней общество идет по тем путям развития, которые были намечены, с великими трудностями определены этими цивилизациями.
studfiles.net
Зарождение математики: Древний Восток (Египет): invirostov
Древние Индия, Китай, Месопотамия, Египет... Их культуры такие разные!И, говоря о математике Древнего Востока, невозможно ограничиться только общими принципами, не рассмотрев древние государства по отдельности. Правда, в случае с Индией и Китаем существуют затруднения – там для записей применялись бамбук и древесная кора, а это ненадежные материалы, легко подвергающиеся разрушению от времени. Проще обстоит дело с Египтом, где использовались хорошо сохраняющиеся в сухом климате папирусы и с Вавилоном, где записи делались на глиняных табличках, которые потом подвергались обжигу.
Продолжение. Начало тут:1. Я всматриваюсь в вас, о числа - поэтическое вступление2. Раз, два, три, четыре, пять. Как человек научился считать? - Возникновение счета в первобытном мире
Первые государства возникли в субтропическом поясе на берегах великих рек (Нила, Тигра, Ефрата, Инда, Ганга, Янцзы). Там была мягкая почва, а разливы рек приносили необходимую влагу и плодородный ил. Развивая земледелие и осваивая прибрежные территории в районах этих рек, человек столкнулся с необходимостью регулировать разливы, осушать болота и орошать поля. Строительство системы каналов, плотин, водохранилищ требовало совместных усилий и привело к развитию централизованного управления, сосредоточенного в городских центрах. Возникли новые профессии и специальности. Руководство общественными работами находилось в руках людей, обладающих техническими знаниями, разбирающихся в земельных измерениях, астрономии, умеющих вести календарные расчеты. Всё это привело к бурному развитию математических знаний.
Очевидно, что первоначально арифметические расчеты и геометрические измерения в странах Древнего Востока применялись исключительно в прикладных целях, и математика еще не была наукой как таковой. Это потом человек начинает не просто использовать знания в своих хозяйственных целях, но и развивать эти знания ради самих знаний – это относится и к науке вообще, и к математике в частности. Практические измерительные задачи становятся средством, чтобы поставить общую алгебраическую или геометрическую задачу. Но на первоначальном этапе математика обслуживает хозяйственные потребности человека. Во всех древних государствах она развивается как прикладная отрасль.
Но, несмотря на общие принципы развития, системы математических знаний в Индии, Китае, Междуречье и Египте значительно отличались друг от друга. Разберемся, почему возникло это отличие – ведь общий уровень научных знаний был в этих странах примерно одинаков.
Говоря о государствах Древнего Востока, нельзя не заметить, что, хотя они имели сходный экономический строй, их культуры были не похожи. Это происходило потому, что древневосточные страны, несмотря на развитие торговли, в целом оставались замкнутыми, консервативными. Культуры Индии, Китая, Египта и Месопотамии развивались обособленно друг от друга, хотя, конечно, имели общие закономерности. Все это в полной мере относится и развитию математики. Поэтому, говоря о развитии математики Древнего Востока, невозможно ограничиться только общими принципами, не рассмотрев по отдельности математику Египта, Месопотамии, Индии и Китая. Правда, в случае с Индией и Китаем существуют затруднения – там для записей применялись бамбук и древесная кора, а это ненадежные материалы, легко подвергающиеся разрушению от времени. Впоследствии в Китае стали использовать бумагу, но и из этих записей мало что сохранилось до наших дней. Проще обстоит дело с Египтом, где использовались хорошо сохраняющиеся в сухом климате папирусы и с Вавилоном, где записи делались на глиняных табличках, которые потом подвергались обжигу.
Найденные папирусы с математическими записями Др. Египта, относящиеся к середине II тыс. до н. э., содержат примеры решений типовых задач. Самый большой, сохранившийся до наших дней древнеегипетский математический текст — это так называемый папирус Райнда (по имени владельца, приобретшего папирус в 1858 г.), размером 5,25 м х 33 см, содержащий 84 задачи. Другой папирус примерно такой же длины, но гораздо более узкий (5,44 м х 8 см) содержит 25 задач. Он хранится в Московском музее изобразительных искусств.
Фрагмент древнеегипетского математического папируса из Московского музея
Какие-либо доказательства там отсутствуют – приводятся только готовые формулы. Из этого историки делают вывод: «египетская математика развивалась путем обобщений и гениальных догадок». Запас таких полученных путем «гениальных догадок» математических знаний в Древнем Египте был довольно велик. Египтяне знали дроби и могли производить над ними математические операции, умели решать уравнения с одним неизвестным, знали арифметическую и геометрическую прогрессии. Также они обладали знанием геометрии: умели вычислять площади треугольника и трапеции, объемы фигур с прямоугольными основаниями, у них даже существовали правила вычисления площади круга и объемов конуса и цилиндра с приближенным значением числе Пи=3. Наряду с чисто практическими задачами, у египтян встречались задачи, в которых виден теоретический интерес. Например, встречается задача о семи домах, в каждом из которых живет по семь кошек, и каждая кошка съедает в день по семь мышей. Требуется определить, сколько мышей съедят все эти кошки. Найдено много и других задач на арифметическую и геометрическую прогрессии, пропорции, уравнения.
Завтра посмотрим, как происходило зарождение математики в Месопотамии, Индии и Китае
invirostov.livejournal.com
Билет 10. Предмет курса истории Древнего Востока и его значение в курсе всеобщей истории.
1. Цели и задачи курса. Актуальность востоковедческой проблематики.
Курс истории Древнего Востока является одним из самых обширных в программе изучения студентами факультета. Он формирует общую перспективу развития мировой цивилизации, ибо им охватывается три из пяти тысяч лет ее существования. В предмет изучения включены, прежде всего, великие «первичные» цивилизации – древнеегипетская, древнемесопотамская, индийская и китайская, а также многочисленные «вторичные» центры, развитие которых в значительной степени определялось процессом культурной «диффузии». В обширной географической зоне существовало множество государств, оставивших яркий след в истории человечества. Это Древнеегипетское царство и Ассирия, Вавилон и Хеттская держава, государства Восточного Средиземноморья и империя Ахеменидов, государства Маурьев и Гуптов в Индии и несколько империй в Поднебесной. Все они по своему характеру, типу культуры, динамике исторического развития очень сильно отличались друг от друга. Поэтому столь трудным представляется нам достижение главной цели курса – создание у студентов целостного образа прошлого древневосточных цивилизаций. И здесь следует отметить ту острую проблему, которая волнует сегодня не только востоковедов, но и историков, работающих в других сферах исторической науки. Мы имеем в виду так называемый «дефицит теории». Имеющиеся на сегодняшний день наработки в этой области, будь то теория развития восточных обществ Л.С. Васильева или «фазовый подход», предложенный в последних работах недавно скончавшегося бесспорного лидера отечественного востоковедения И.М. Дьяконова, едва ли могут претендовать на решение всех спорных вопросов, связанных с осмыслением истории Древнего Востока в целом.
Тем не менее, авторы курса не отказываются от попыток решения задачи выявления общих черт всех восточных цивилизаций, то есть того, что объединяет их между собой и уже в древности послужило основанием для возникновения дихотомии «Восток» - «Запад». При этом понятие «Восток» выступает здесь не столько как географическая общность, а имеет в первую очередь культурно-исторический, цивилизационный смысл.
Теоретико-методологическим проблемам уделяется большое внимание как в курсе в целом, так и во вводном цикле лекций в особенности. Однако бесспорным для нас является то, что за общим теоретизированием ни в коем случае не должна исчезать конкретная историческая реальность, которая всегда была основным предметом изучения любого историка. Отсюда вытекает вторая задача нашего курса: выявление особенностей каждой из восточных цивилизаций, что должно способствовать пониманию гетерогенности той системы, которая объединяется общей дефиницией «Древний Восток».
Сверхзадачей нашего курса мы считаем достижение синтезно-систематического знания истории Древнего Востока. Обнаружение максимального количества факторов, обусловивших особый характер исторического процесса как на Востоке в целом, так и в каждой из составляющих его цивилизаций, наряду с внимательным изучением конкретных исторических сюжетов, должно приводить, по нашему мнению, к выстраиванию внутренне непротиворечивой картины древневосточной истории, органично сочетающей в себе конкретный материал с его объяснением.
Мы полагаем, что сегодня не нужно многословно доказывать актуальность востоковедческой проблематики. Интерес к первоосновам великих цивилизаций, подогретый многочисленными публикациями с одной стороны и самой социально-политической реальностью с другой, в настоящее время огромен. Особенно актуально осмысление места и роли Востока для современной России, цивилизация которой часто характеризуется как «евразийская». Парадоксально, но факт: временная дистанция между нами и создателями первых на земле цивилизаций увеличивается, а они становятся нам все ближе, нужнее и понятнее. Хотя сразу оговоримся, что проблема «понимания» в востоковедении безусловно одна из самых острых. Важнейшие открытия в материальной и духовной культуре, сделанные в древности на Востоке, составляют фундамент общечеловеческой цивилизации. Сказанное определяет бесспорную актуальность изучения восточных цивилизаций как живых, так и «мертвых».
Одно из основных средств решения стоящих перед авторами курса задач мы видим в организации работы студентов с текстами источников. Ибо только через непосредственное обращение к тексту можно пытаться постичь прошлое древних культур, увидеть всю глубину различий между ними, оценить несхожесть мировоззрения их носителей с нашим, и в то же время обнаружить те фундаментальные основы «человечности» как таковой, которые как раз и закладывались в период древности.
2. О некоторых проблемах работы с источниковой базой востоковедения.
На лекциях и, особенно, на практических занятиях много времени уделяется знакомству студентов с текстами источников различных типов, видов и разрядов. Повышенное внимание авторы курса обращают на специфику работы с нарративными источниками. Как наиболее информативные они естественным образом привлекают к себе большинство исследователей. При этом одной из самых сложных задач, встающих в ходе работы с ними, является проблема понимания их первоначального смысла. Здесь мы акцентируем внимание студентов на два аспекта. Во-первых, на том, что древние тексты отделены от нас очень большим временным пространством. А во-вторых, что, будучи текстами восточными, они отделены от нас пространством социо-культурным. Еще древнекитайский историк Бань Гу писал: «После того как Кун-цзы умер, стал утрачиваться смысл его иносказаний, а после того как были похоронены семьдесят его учеников, стал искажаться внутренний смысл его учения». Это писал древний китаец. Что же говорить о том, насколько наше сегодняшнее понимание значения терминов, содержащихся в текстах источников, принадлежащих различным древневосточным культурным традициям, соответствует смыслу изначально в них заложенному. Некоторые дефиниции изучаемых традиционных культур столь многозначны, что им просто невозможно подобрать однозначных аналогов в русском языке. Примерами могут служить такие понятия как "дхарма" и "нирвана" в индийской или понятия "Дао" и "жэнь" - в китайской традициях. Ко всему прочему следует добавить и то обстоятельство, на которое обращают внимание исследователи, занимающиеся, прежде всего, ранними формами человеческого сознания – первобытным и периода ранней древности, то есть сознанием человека так называемой «доосевой эпохи». Его принципиальное отличие от современного состоит, по их мнению, в том, что оно было основано не на понятийном или, иначе говоря, логико-дискурсивном мышлении, а на мышлении образном или мифологическом. Данная форма человеческого мышления продолжала оказывать свое воздействие на характер восточных текстов на протяжении всего традиционного периода, то есть вплоть до начала эпохи модернизации, связанной с усвоением народами Востока западной парадигмы, причем не столько мировоззренческой, сколько эпистемологической. Поэтому в нашей работе со студентами мы постоянно учим их обращать внимание на тот факт, что изучаемые ими источники – продукты иной эпохи и иной цивилизации, и, следовательно, отражают мышление людей с иными ценностями и доминантами, и что, может быть, самое главное – с отличным от нашего стилем мышления.
Но именно из осознания факта различия и должно вытекать в процессе обучения овладение навыками особого исторического понимания, при котором главным методом взаимодействия историка с прошлым является диалог, осуществляемый через его общение с текстом источника. И именно на примере древневосточных текстов, как нам это видится, можно наиболее рельефно показать, что данный диалог строится, с одной стороны, на отказе от желания приписать человеку прошлого свои мысли и чувства, а с другой – на столь же явно выраженном стремлении, говоря словами выдающегося российского методолога истории А.С. Лаппо-Данилевского, «проникнуть в их чуждую одушевленность».
Обучение студентов конкретным приемам работы с текстами источников и выработка у них соответствующих навыков происходит на практических занятиях.
3. Задачи и особенности работы на практических занятиях.
Работа на практических занятиях строится как коллективно-распределенная учебная деятельность. В их ходе вырабатываются навыки обращения с текстами двух основных видов: с текстами источников, без которых в принципе не существует никакого исторического знания, и с текстами научных монографий, где это знание получает системное оформление. Но одновременно целью практических занятий является и формирование у студентов навыков общения по поводу предмета научного исследования - навыков научной коммуникации или диалога.
Историческая истина диалогична по самой своей природе. Она рождается из диалога исследователя с текстом источника и оформляется в ходе его диалога со своими коллегами. Поэтому на практических занятиях важен каждый голос, особенно если он задает альтернативное направление научного дискурса, подчеркивая тем самым вариативность исторического знания.
В рамках практических занятий по истории Древнего Востока рассматривается ряд узловых проблем курса, такие как особенности изучения восточных обществ, община и ее роль на Востоке, генезис и функции восточного государства, динамика исторического процесса на Востоке. Все эти вопросы составляют теоретико-методологический инструментарий, необходимый студентам для обращения к работе непосредственно с текстами источников. Умение получать информацию из источников составляет основу "ремесла" историка, а овладение этим "ремеслом" является центральной задачей практических занятий. Этому и посвящена большая их часть. Исторические надписи правителя древнего Лагаша лугаля Уруинимгины, законы вавилонского царя Хаммурапи, книги библейских пророков, сочинения легистов, «Лунь Юй» Конфуция – вот неполный перечень тех текстов, с которыми мы работаем.
Работа с источниками осуществляется по определенному алгоритму. Она начинается с их внешней критики, которая предполагает ответы на следующие вопросы: когда, где и при каких обстоятельствах возник тот или иной текст, кто его автор (или заказчик), кому он был адресован, или в какой среде имел наиболее активное хождение, каков его состав, язык и стиль, к какой группе источников он относится, как он был введен в научный оборот, какие еще варианты данного текста существуют. После того, как все внешние обстоятельства по отношению к содержанию источника описаны, происходит переход к следующему этапу - его внутренней критике, предполагающей выявление всей содержащейся в нем информации о социальной, экономической и политической жизни восточных цивилизаций, об их правовых и духовно-мировоззренческих основаниях.
Еще один существенный момент, на который мы обращаем внимание при работе с источником, это то, что вступая в диалог с изучаемым текстом, важно пытаться выявить максимальную информацию не только из того, что он "говорит", но и из того, о чем он "умалчивает".
Из всего вышесказанного совершенно очевидно, что основными критериями оценивания на практических занятиях являются следующие:
1. степень знания студентом источников и умение работать с ними;
2. уровень освоения рекомендованной научной литературы;
3. способность логично и связно излагать свои мысли и адекватно воспринимать мнения своих коллег.
Практические занятия в целом позволяют студентам не только качественно подготовиться к сдаче экзамена по курсу истории Древнего Востока, но и сформировать у себя основные навыки научной деятельности.
4. Краткая характеристика программы курса и рекомендуемой литературы.
Программа курса составлена в точном соответствии с его общей целью и задачами. Она содержит в себе как разделы, посвященные конкретной политической, социальной, правовой, экономической истории восточных цивилизаций, основам их культуры и ментальности, так и подробные обзоры теоретических, историографических и источниковедческих сюжетов и проблем ориенталистики. Курс, таким образом, показывает в динамике не только историю Древнего Востока, но и историю науки о нем, место и роль современных исследований в дальнейшем ее развитии. Список литературы включает в себя самые основные работы отечественных и зарубежных авторов, освоение которых расширит общие представления студентов о Древнем Востоке, формируемые в ходе аудиторных занятий.
В распоряжении преподавателей и студентов сегодня имеется довольно широкий спектр учебников и учебных пособий. Их список открывает «История Древнего Востока», написанная выдающимся российским ученым Б.А. Тураевым. Впервые опубликованная еще в 1913 г., она содержит многие разделы, интересные и современному читателю. В дальнейшем появляются учебники В.В. Струве, В.И. Авдиева, 3-х томная «История древнего мира» под редакцией И.М. Дьяконова, коллективная монография «Древние цивилизации» под общей редакцией Г.М. Бонгард-Левина, и, наконец, академическое издание «История Древнего Востока». К сожалению, публикация последнего так и не была завершена. В 80-е годы вышло только два первых тома. Из новейших изданий можно назвать, прежде всего, два. Это первый том «История Востока» Л.С. Васильева и «Истории Востока. Восток в древности» под редакцией В.А. Якобсона. Оба учебника могут быть в равной мере использованы студентами, изучающими данный курс, однако в разном качестве. Если книга Л.С. Васильева содержат интересную авторскую концепцию, объясняющую особенности исторического пути восточных цивилизаций, то вторая названная нами коллективная работа, наряду с теоретическим разделами, содержит и очень добротно изложенный фактический материал. Самым же доступным студентам изданием является учебник «История Древнего Востока» под редакцией В.И. Кузищина. Его последняя редакция, вышедшая в 1999 г., отличается от предыдущих, прежде всего, попыткой авторов уйти от господствовавшей в советской ориенталистике концепции рабовладельческого характера всех древневосточных обществ. Однако в рамках его десятистраничного введения дается слишком краткое описание тех сложных дискуссионных теоретико-методологических проблем, которые сегодня активно обсуждаются на страницах монографий и за «круглыми столами» в редакциях ведущих периодических изданий, особенно в журналах «Восток», «Полис», «Вестник древней истории». Поэтому в настоящее время насущной является проблема создания специализированного учебного пособия, посвященного теоретическим и историографическим проблемам современного востоковедения. Его разработкой сейчас занимается кафедра истории древнего мира и средних веков исторического факультета.
5. Социальная значимость изучения истории Древнего Востока.
Перспективы развития.
Определяя значимость нашей работы в целом, в заключении подчеркнем следующее. Прививая студентам мысль, что историческая истина диалогична по самой своей природе, что она является результатом пересечения различных исследовательских логик, мы надеемся, что тем самым каждый из них сможет в дальнейшем стать самостоятельным субъектом не только научного, но и общекультурного творчества. Ибо в формировании такого субъекта и состоит сегодня, на наш взгляд, одна из главных задач исторического образования в целом. Она обусловлена прежде всего тем фактом, что в сознании современного человека происходит одновременное пересечение самых различных культурных смыслов. Насущными остаются проблемы выстраивания их диалогического симфонизма. А это, в свою очередь, возможно только на путях их рефлексивного осмысления и оккультурации.
И здесь совершенно очевидно, что история древневосточных цивилизаций выступает одним из основополагающих сюжетов, требующих максимально полного и всестороннего прояснения. Поэтому авторы курса выражают искреннюю надежду на то, что получившая последнее время все более яркое выражение тенденция к сокращению академических часов, отведенных на их дисциплину, будет остановлена. И, напротив, курс истории Древнего Востока, оставаясь базовым в историческом образовании, получит дополнительные ресурсы и стимулы для своего развития через систему многоуровневого обучения и расширения его тематики за счет спецкурсов, изучаемых студентами на протяжении всего периода их обучения.
lektsia.com
Глава II. Древний Восток
Поиск Лекций
История математики
Д.Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1984.
Глава I. Начало_ 1
Глава II. Древний Восток_ 3
Глава III. Греция_ 11
Глава IV. Восток после упадка античного общества_ 24
Глава V. Западная Европа. - Начало_ 30
Глава VI. Семнадцатое столетие 37
Глава VII. Восемнадцатое столетие 46
Глава I. Начало
1. Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом – собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Возможно, рисунки в пещерах Франции и Испании (давности порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно в них обнаруживается замечательное чувство формы.
Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.
Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники больше вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте, пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и от врагов-хищников. Немало таких неолитических поселений раскопано. По их остаткам видно, как постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия, были изобретены гончарный круг и тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прихода белых. Тем не менее, темп технического прогресса в колоссальной мере ускорился по сравнению с древним каменным веком.
Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить их обычаи и способы выражения мыслей.
2. Числовые термины, выражающие некоторые из «наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум», как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее, «каким-то» – «какой-то» скорее, чем «один человек»} и двумя и многими. Древнее качественное происхождение числовых понятий и сейчас еще выявляется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как, например, в греческом и кельтском. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3.
Вот примеры счета некоторых австралийских племен:
Племя реки Муррей: 1 = энэа, 2 = петчевал, 3 = петчевал-энэа, 4 = петчевал-петчевал.
Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук – обычный в торговле прием. Это вело к счету сначала с основанием пять, потом с основанием десять, который дополнялся сложением, а иногда вычитанием, так что двенадцать воспринималось как 10+2, а девять – как 10–1. Иногда за основу принимали 20 – число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом (W. С. Eels), 146 были десятичными, 106 – пятичными и пятичными-десятичными, остальные – двадцатичными и пятично-двадцатичными. В наиболее характерной форме система с основанием двадцать существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камешков или ракушек, сложенных по пять в кучки, приемами, весьма схожими с теми, к каким в давние времена прибегал хозяин постоялого двора, пользовавшийся бирками. Для перехода от таких приемов к специальным символам для 5, 10, 20 и т.д. надо было сделать лишь один шаг, и именно такие символы мы обнаруживаем в. пользовании в начале писанной истории, на так называемой заре цивилизации.
Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это – обнаруженная в 1937 г. в Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 сантиметров с 55 глубокими зарубками. Первые двадцать пять зарубок размещены группами по пять, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубки двойной длины начинается новый ряд из зарубок. Итак, очевидно, что неправильно старое утверждение, которое мы находим у Якоба Гримма и которое часто повторяли, будто счет возник как счет на пальцах. Пальцевый счет, то есть счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцать выражали как 10+4, иногда как 15–1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10+10, а как 2x10. Подобные двоичные действия выполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийской культуре Мохенджо-Даро на Инде. Деление началось с того, что 10 стали выражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробей оставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканских племен известны только немногие случаи применения дробей, и почти всегда это только дробя 1/2 хотя иногда встречаются 1/3 и 1/4.
Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, может быть, побуждало общечеловеческое желание преувеличить численность стада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и в других религиозных книгах.
3. Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки. Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических интересов.
Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представление о плоскостных и пространственных соотношениях. Должны были сыграть свою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могут проявляться и числовые соотношения, как в некоторых доисторических орнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мы обнаруживаем «священные» числа. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена. Прекрасные образцы мы видим на дипилоновых вазах миноиского и раннегреческого периода, позже – в византийской и арабской мозаике, в персидских и китайских коврах. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое назначение.
В религии каменного века мы можем уловить первые попытки вступить в борьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизаны магией, магический элемент входил в состав существовавших тогда числовых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре, музыке, рисунке.
Существовали магические числа такие, как 3, 4, 7, и магические фигуры, как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы даже считают, что эта сторона математики были решающим фактором в ее развитии, но, хотя общественные корни математики в новейшие времена, быть может, стали менее заметны, они вполне очевидны в раннем периоде истории человечества. Современная «нумерология» –пережиток магических обрядов, восходящих к неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе.
4. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведения о движении Солнца, Луны и звезд. Сведения этого рода впервые приобрели более научный характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календарем относится к очень давней эпохе в истории человечества, так как изменение в ходе произрастания растений связывали с фазами Луны. Примитивные народы обратили внимание и на солнцестояние, и на восход Плеяд в сумерках. Самые древние цивилизованные народы относили астрономические сведения к наиболее отдаленному, доисторическому периоду своего существования. Другие первобытные народы пользовались при плавании созвездиями как ориентирами. Эта астрономия дала некоторые сведения о свойствах сферы, окружностей, об углах.
5. Эти краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур такие, как узлы или орнаменты. С другой стороны, некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построение графиков или элементарная статика, сравнительно недавнего происхождения. А. Шпайзер заметил с известной едкостью: «За позднее происхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явно склонна быть скучной, – свойство, видимо, ей присущее, – тогда как творческий математик всегда предпочтет заниматься задачами интересными и красивыми».
Глава II. Древний Восток
1.В течение пятого, четвертого и третьего тысячелетия до н. э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общин нового каменного века, существовавших на берегах, великих рек Африки и Азии в субтропическом поясе и вблизи него. Эти реки – Нил, Тигр и Евфрат, Инд, позже – Ганг, Хуанхэ, еще позже – Янцзы.
Прибрежные земли в районах этих рек могли давать обильные урожаи при условии регулирования разливов и осушения болот. В противоположность бесплодным пустыням и горным областям и равнинам, примыкавшим к этим речным долинам, последние можно было сделать райским местом. И в течение столетий такую задачу удалось решить путем постройки валов и плотин, создания сети каналов и водохранилищ. Регулирование водоснабжения потребовало совместных усилий населения обширных районов в размерах, значительно превосходивших то, что предпринималось в этом роде раньше. Это повело к установлению централизованного управления, сосредоточенного в городских центрах, а не в варварских селениях предшествующих эпох. Сравнительно большие излишки, которые давало значительно усовершенствованное и интенсивное земледелие, повысили уровень жизни населения в целом, заодно это создало городскую аристократию во главе с могущественными вождями. Возникло немало профессий и специальностей – их представляли ремесленники, солдаты, писцы и жрецы. Руководство общественными работами находилось в руках бессменных должностных лиц – группы людей, сведущих в смене времен года, движении небесных тел, в деле землеустройства, хранения запасов пищи и взимания налогов. Пользовались письменностью, чтобы придать форму закона требованиям администрации и действиям правителей. Чиновники, равно как и ремесленники, накопили значительный запас технических знаний, включая сюда металлургию и медицину. В состав этих знаний входило и искусство счета и измерения.
Теперь уже прочно сложились общественные классы. Это были вожди («цари»), самостоятельные землевладельцы и арендаторы, ремесленники, писцы и чиновники, крепостные и рабы. Местные вожди стали настолько богаче и сильнее, что их уже нельзя было считать чем-то вроде феодалов с ограниченной властью, – они становились вполне самодержавными царями. Раздоры и войны между различными деспотами приводили к возникновению более обширных владений, управляемых единым монархом. Так эти общественные формы, в основе которых лежало орошаемое и интенсивное земледелие, дали некий «восточный» вид деспотизма. Такой деспотизм мог держаться столетиями и затем пасть, то ли под ударами горных племен или кочевников пустыни, привлеченных богатствами речной долины, то ли из-за того, что запущенной оказывалась обширная, сложная и жизненно необходимая оросительная система. При таких обстоятельствах власть в племени либо переходила от одного царя к другому, либо же сообщество распадалось на меньшие объединения, причем процесс слияния мог затем начаться заново. Впрочем, при всех этих династических переворотах и повторных переходах от раздробленности к абсолютному деревни, составлявшие основу этого общества, собственно оставались незатронутыми и, стало быть, экономический и общественный строй в основном сохранялся. Восточное общество жило циклами, и даже сейчас в Азии и Африке есть много общин, сохранявших в течение тысячелетий один и тот же уклад жизни. В этих условиях продвижение вперед было медленным и извилистым, и периоды культурного подъема разделялись столетиями застоя и упадка.
Такая статичность Востока создавала некую исконную освященность его установлений, и это облегчало отождествление церкви и государственного аппарата. Чиновничество в значительной своей части было религиозного склада, как и государство в целом; во многих восточных странах жрецы были правителями областей. А так как заниматься наукой было задачей чиновничества, то во многих (но не во всех) восточных странах жрецы занимали выдающееся положение как обладатели научных знаний.
2. Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом были арифметические расчеты и измерения. Однако в науке, которую столетиями культивировали специалисты, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. Постепенно наукой стали заниматься ради нее самой. Из арифметики выросла алгебра не только потому, что это облегчало практические расчеты, но и в результате естественного развития науки, культивируемой и совершенствуемой в школах писцов. В силу тех же причин из измерений возникли начатки (но не больше) теоретической геометрии.
Хотя торговля и процветала в этих обществах древнего Востока, их экономическая сердцевина оставалась земледельческой, хозяйственной основой были села, обособленные и консервативные. Это приводило к тому, что различные культуры оставались резко отличными одна от другой, вопреки сходству экономического строя и одинаковому в основном уровню научных сведений. Замкнутость китайцев и египтян вошла в поговорку. Никогда не составляло труда отличить друг от друга искусство и письменность Египта, Месопотамии, Китая, Индии. Точно так же мы можем говорить о египетской, месопотамской, китайской и индийской математике, хотя в общем по своей арифметико-алгебраической природе они весьма схожи. Даже если наука одной из этих стран в течение некоторого периода обгоняла науку другой, она сохраняла свойственные ей приемы и символику.
На Востоке трудно датировать новые открытия. Статический характер его общественного строя приводил к тому, что научные сведения сохранялись без изменений в точение столетий и даже тысячелетий. Открытия, сделанные в пределах одного городского поселения, могли остаться неизвестными в других местностях. Хранилища научных и технических знаний могли быть уничтожены войнами при смене династий, наводнениями. Предание гласит, что в 221 г. до н.э., когда один абсолютный деспот Цинь Ши-хуанди (династии Цинь, Первый Желтый император) установил свое господство над всем Китаем, он приказал уничтожить все научные книги. Позже многое было вновь записано по памяти, но подобные события весьма затрудняют датировку открытий.
Другая трудность в датировке достижений восточной науки связана с материалом, которым пользовались для их закрепления. Народы Двуречья обжигали глиняные таблички, которые практически были неразрушимы. Египтяне пользовались папирусом, и поэтому значительная часть памятников их письменности сохранилась в условиях сухого климата. Китайцы и индийцы применяли значительно менее надежный материал – древесную кору или бамбук. Китайцы во втором столетии н.э. начали пользоваться бумагой, но мало что сохранилось от тысячелетия, предшествующего семисотому году н. э. Поэтому наши сведения о восточной математике весьма отрывочны, и для столетий догреческой эпохи мы, кроме материалов Египта и Двуречья, почти ничем не располагаем. Вполне возможно, что новые открытия поведут к полной переоценке относительного значения различных форм восточной математики. В течение долгого времени самыми богатыми историческими источниками мы обладали по Египту благодаря открытому в 1858 г. так называемому папирусу Райнда (Rhind), написанному около 1650 г. до н.э., но содержащему значительно более старый материал. За последние двадцать лет наши сведения о вавилонской математике значительно возросли благодаря замечательным открытиям О. Нейгебауера и Ф. Тюро-Дапжена, которые расшифровали большое число глиняных табличек. Теперь выясняется, что вавилонская математика была значительно более развита, чем ее восточные партнерши. Возможно это заключение будет окончательным, так как существует известное соответствие в содержании вавилонских и египетских текстов за ряд столетий. Более того, в экономическом развитии Двуречье ушло дальше, чем другие страны так называемого плодородного пояса на Ближнем Востоке, простиравшегося от Двуречья до Египта. Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей, тогда как Египет находился сравнительно в стороне. К этому надо добавить то обстоятельство, что возделывание почвы в районе блуждающих Тигра и Евфрата требует больше технического искусства и регулировки, чем в районе Нила, этой «самой добропорядочной из всех рек», если воспользоваться выражением Уильяма Уилкокса. Быть может, дальнейшее изучение древнеиндийской математики обнаружит неожиданные достижения, но пока притязания на это не кажутся достаточно обоснованными.
3.Источником большей части наших сведений о египетской математике являются два математических папируса. Один из них – это уже упомянутый папирус Райнда, содержащий 84 задачи, второй – так называемый московский папирус, который, может быть, на два столетия старше и содержит 25 задач. Эти задачи были уже достаточно стары, когда составлялись папирусы, но есть меньшие папирусы значительно более позднего происхождения, даже римских времен, которые не отличаются от названных по своим приемам. Математика, которая в них изложена, основана на десятичной системе счисления со специальными знаками для каждой десятичной единицы более высокого разряда – системе, которая нам знакома благодаря римским обозначениям, основанным на том же принципе: . На основе такой системы египтяне построили арифметику преимущественно аддитивного характера, т.е. ее основное направление состоит в сведении всех умножений к повторным сложениям. Например, умножение на 13 получается умножением сначала на 2, затем на 4, затем на 8 и сложением результатов умножения на 4 и на 8 с первоначальным числом:
Например, для вычисления писали:
и складывали все числа, отмеченные звездочкой, что дает 143.
Самой замечательной чертой египетской арифметики являются действия с дробями. Все дроби сводятся к суммам так называемых основных дробей, то есть дробей, имеющих числителем единицу. Единственное исключение составляла дробь , для которой существовал специальный символ. Сведение к суммам основных дробей производилось с помощью таблиц, которые давали разложение дробей вида единственное необходимое разложение, так как умножение было двоичным. Папирус Райнда дает таблицу, в которой приведены разложения на основные дроби для всех нечетных от 5 до 331, например
Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно (например, почему заменяется суммой , а не суммой ).
Такие действия с дробями придавали египетской математике тяжеловесность и растянутость, однако разложение на сумму основных дробей применялось в течение тысячелетий, не только в эпоху эллинизма, но и в средние века. В то же время, указанное разложение предполагает определенное, математическое искусство, и существуют интересные теории для объяснения того способа, каким египетские специалисты могли получить свои результаты. Многие задачи очень просты и сводятся к линейному уравнению с одним неизвестным:
Некое количество, его , его и его , сложенные вместе, дают 33. Каково это количество?
Ответ, , записан в основных дробях: . Для неизвестного в уравнении существовал иероглиф, обозначавший «кучу» и произносившийся «хау» или «аха», Поэтому, египетскую алгебру иногда называют «хау-исчислением».
В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна, и это указывает на практическое происхождение такой запутанной арифметики и примитивной алгебры. В некоторых задачах проявляется теоретический интерес, например в задаче, в которой требуется разделить сто хлебов между пятью людьми так, чтобы их доли составляли арифметическую прогрессию и чтобы одна седьмая суммы, трех больших долей была равна сумме двух меньших. Мы даже встречаем геометрическую прогрессию в задаче о семи домах, в каждом из которых есть семь кошек, каждая из которых поедает семь мышей и т. д., что выявляет знание формулы для суммы членов геометрической прогрессии.
Некоторые задачи имеют геометрическую природу и касаются преимущественно измерений. Площадь треугольника находится как половина произведения основания и высоты; площадь круга диаметра определяется как , что дает для значение . Мы находим также некоторые формулы для объемов тел, таких, как куб, параллелепипед и круговой цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды, преимущественно для зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием где и суть длины сторон квадратов, a – высота. Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен, поскольку нет указаний на то, чтобы египтяне имели какое-либо представление даже о теореме Пифагора, вопреки некоторым необоснованным рассказам о гарпедонафтах, которые якобы строили прямые углы с помощью веревки, имевшей узлов.
Мы здесь должны предостеречь от преувеличения древности египетской математической науки. Строителям пирамид эпохи 3000 лет до н.э. и даже раньше приписывали всевозможные результаты высокоразвитой науки. Существует даже много раз серьезно преподносившаяся версия, будто египтяне в 4212 г. до н.э. приняли так называемый сотический цикл для календаря. Нельзя всерьез приписывать столь точные математические и астрономические работы народу, едва вышедшему из условий каменного века, и источником таких рассказов, как обычно удается установить, является позднее египетское предание, дошедшее до нас через греков. Общей чертой древних цивилизаций является стремление датировать главные сведения весьма ранними эпохами. Все доступные тексты указывают, что египетская математика была скорее примитивного характера. На таком же уровне находилась и их астрономия.
4. Переходя к математике Двуречья, мы оказываемся на гораздо более высоком уровне, чем тот, которого когда-либо достигала египетская математика. Здесь мы можем даже уловить прогресс в ходе столетий. Уже самые древние тексты, относящиеся к последнему шумерскому периоду (третья династия Ура, 2100 г. до н.э.), показывают высокое вычислительное искусство. Эти тексты содержат таблицы для умножения, в которых хорошо развитая шестидесятичная система счисления сочетается с более ранней десятичной системой; здесь имеются клинописные символы, обозначающие 1, 60, 360 и также 60-1, 60-2. Однако не это было наиболее характерной их чертой. В то время как египтяне каждую единицу более высокого разряда обозначали новым символом, шумеры пользовались одним и тем же символом, но указывали его значение его положением. Так, 1, за которой следовала другая 1, давала запись числа 61, а 5 с последующим 6 с последующим 3 (мы это будем записывать как 5, 6, 3) обозначало . Такая позиционная (или поместная) система не отличается, по сути дела, от нашей системы записи чисел, при которой символ 343 заменяет . Подобная система имеет огромное преимущество при вычислениях, что можно сразу увидеть, если попытаться выполнить умножение и в нашей системе, и в системе с римскими цифрами. Позиционная система устраняла многие трудности в арифметике дробей так же, как это происходит при нашей системе с введением десятичных дробей. По-видимому, вся эта система была непосредственным результатом развития техники управления, что засвидетельствовано в тысячах текстов того же периода, где речь идет о поставках скота, зерна и т.п. и о связанных с этим арифметических вычислениях. При таком способе счета существовала некоторая неопределенность, так как значение символа не всегда было ясно по его положению. Так, (5, 6, 3) могло также означать , и точное истолкование надо было извлечь из контекста. Другая неопределенность возникала из-за того, что незаполненное место иной раз означало нуль, так что (11, 5) могло стоять вместо . Иной раз появляется специальный символ для нуля, но не ранее персидской эпохи. Так называемое «изобретение нуля», было, таким образом, логическим следствием введения поместной системы, но только после того, как техника вычислений была значительно усовершенствована.
Как шестидесятичная система, так и позиционность системы счисления оказались прочным достоянием человечества. Наше современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, равно как и наше деление окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основы 60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения, хотя то обстоятельство, что 60 имеет много делителей, тоже могло иметь значение. Что касается поместной системы, непреходящее значение которой сравнивают со значением алфавита, так как оба изобретения заменяют сложную символику методом, легко доступным широкому кругу людей, то ее история в значительной мере еще темна. Есть основание предполагать, что как индийцы, так и греки познакомились с нею на караванных путях, которые шли через Вавилон. Нам известно также, что арабы говорили о ней как об индийском изобретении. Однако вавилонская традиция могла повлиять на все позднейшее распространение поместной системы.
5. Следующая группа клинописных текстов относится ко времени первой вавилонской династии, когда в Вавилоне правил царь Хаммурапи (около 1950 г. до н.э.) и семитское население подчинило себе исконных жителей – шумеров. В этих текстах мы видим, что арифметика развилась в хорошо разработанную алгебру. Египтяне того же периода были в состоянии решать только простые линейные уравнения, а вавилоняне времен Хаммурапи полностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решали линейные и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали даже задачи, сводящиеся к кубическим и к биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только при определенных числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомнения относительно того, что они знали общие правила.
Приведем пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.
«Площадь , состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»
Это приводит к уравнениям , решение которых сводится к решению квадратного уравнения , имеющему положительный корень .
В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:
«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т. д.
Резко выраженный арифметико-алгебраический характер вавилонской математики проявляется и в геометрии. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос. Предыдущий пример показывает, как задача относительно площади квадрата приводит к нетривиальной алгебраической проблеме, и этот пример не составляет исключения. Тексты показывают, что вавилонская геометрия семитского периода располагала формулами для площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел, хотя объем усеченной пирамиды еще не был найден. Так называемая теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности. Основной чертой этой геометрии был все же ее алгебраический характер. Это в равной мере относится и ко всем позднейшим текстам, особенно к текстам третьего периода, от которого до нас дошло немалое их число, – эпохи нововавилонской, персидской и эпохи Селевкидов (примерно от 600 г. до н.э. до 300 г.н. ».). Тексты этого последнего периода обнаруживают значительное влияние вавилонской астрономии, которая в это время приобретает характер настоящей науки, что сказывается в тщательном анализе различных эфемерид. Вычислительная техника математических текстов становится еще более совершенной; алгебра справляется с задачами на уравнения, для которых требуется значительное вычислительное искусство. От эпохи Селевкидов дошли вычисления, которые доведены до семнадцатого шестидесятичного знака. Столь сложные вычислительные работы уже нельзя связывать с вычислением налогов или измерением – стимулом для них были астрономические задачи или просто любовь к вычислениям.
Многое в этой вычислительной арифметике выполнялось с помощью таблиц, в наборе которых есть и простые таблицы для умножения, и таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней. В одной из таблиц имеется ряд чисел вида , которым, по-видимому, пользовались для решения кубических уравнений вида . В них содержатся некоторые превосходные приближения: для дается ( ), для дается . Видимо, квадратные корни определялись по формуле наподобие следующей:
.
Что касается значения , в большинстве случаев таблички обходятся библейским . Есть указания на то, что применялись и лучшие приближения, дававшие для значение .
Уравнение появляется в задаче, в которой требуется решить систему уравнений , что сводится к уравнению или, согласно таблицам, .
В клинописных текстах есть задачи и на сложные проценты. Например, ставится вопрос, за какое время удвоится сумма денег, ссуженная под 20 (годовых) процентов.
Это приводит к уравнению , которое решается так: сначала замечают, что , а затем применяют линейную интерполяцию. В наших обозначениях
,
что дает для значение 4 года минус (2, 33, 20) месяцев.
poisk-ru.ru
Ответы на вопросы по истории Древнего Востока.
16. Значение древних цивилизаций в истории мировых цивилизаций.
Первые цивилизации зародились в странах Древнего Востока. И именно это можно считать началом нового этапа всемирной истории (того, что нам известен благодаря археологическим и лингвистическим исследованиям): т.е. существование, совершенствование и процветание человеческого общества и его культуры.
Прежде всего мы должны понять, что считать цивилизацией и каковы ее признаки.
Само слово цивилизация имеет очень много определений. Поэтому, для точности понятия мы сразу охарактеризуем его рядом признаков: Цивилизация - это социокультурное единство людей, в котором:
1) создается производящее хозяйства, рационально организованная экономика, приносящая значительную прибыль – урожай (вместо присваивающего и, следовательно, бесприбыльного первобытного хозяйства)
2) создается институт частной собственности и владения имуществом, включая и землю, а, следовательно, появляется возможность концентрации богатств в руках одних и потери его другими. Это приводит к социальному расслоению прежде единой первобытной общины, появлению групп богатых и бедных;
3) появляется особый орган, регулирующий социальные отношения и конфликты, а именно, институт государства и права, в то время как в первобытных общинах отношения регулировались или по обычаям далеких предков, или произвольными решениями племенных старейшин;
4) появляются города как хозяйственный, административный, военный и культурно-религиозный центр области или региона, как место концентрации материальных и интеллектуальных ресурсов региона, ума, энергии и предприимчивости его жителей. Город становится мощным организатором прогресса общества;
5) появляется возможность монументального строительства, создание поражающих воображение сооружений: пирамид и храмов Египта, месопотамских зиккуратов, царских дворцов. Эти постройки стали яркой демонстрацией огромных возможностей рождающейся цивилизации, маневрирования ее запасами и трудовыми ресурсами;
6) создается письменность, т. е. система графических знаков и символов, способных фиксировать и передавать потомству человеческую речь с содержащейся в ней информацией, накопленным в разных сферах жизни опытом. Изобретение письменности — это свидетельство рождения нового менталитета, гигантский скачок в области материальных и интеллектуальных возможностей цивилизации.
В условиях формировании цивилизации человек перестает быть беззащитным перед лицом природы; наступает конец родо-племенным отношениям; человек не выживает, а созидает; отсутствует примитивное мышление, на замену ему приходит абстрактное, развитое.
Именно в Древнем Востоке берут свои исторические корни великие монотеистические религии.
Место рождения первых цивилизаций: долина Нила (Др. Египет), Евфрата и Тигра (Месопотамия), которые впоследствии распространились по всей географической зоне Древнего Востока до Китая. Их зарождение можно отнести к 3 тыс. до н.э. Историческое существование древневосточной цивилизации – 4 тыс. лет (с сер. 4 тыс. до н.э. до сер. 1 тыс. н.э.). В середине 1 тыс. н.э. древневосточная цивилизация вступила в полосу кризиса, который привел к коренной трансформации и созданию нового типа цивилизации – Средневековая Восточная Цивилизация.
studfiles.net
Введение, Предмет истории Древнего Востока
Главная История История Древнего Востока Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая
Предмет истории Древнего Востока
Термин" Древний. Восток"ввели еще античные авторы,. Древнего. Востока которые называли так страны, расположенные к востоку от греко римского мира. Приблизительность и условность его очевидна, ведь. Древний. Восток выходит за е еографични рамки. Востока (Древний. Египет лежит в. Северо-Восточной. Африке), к тому же между старосхидним и античным мирами не существовало четких, устоявшихся границ, их территории частично совпадали. Одна к этот несовершенный термин прижился в исторической наукеці.
Хронологические рамки. Древнего. Востока охватывают несколько тысячелетний промежуток времени - от конца IV тыс. до н.э., когда возникли первые старосхидни государства, до середины I тыс. н.э., когда последние из них, как считается жают ориентологы, вступили в средневековую фазу своего исторического развития. При этом следует отметить, что хронологический рубеж между древностью и средневековьем на. Востоке более условный, чем реальныйеальний.
Какой смысл вкладывают ученые в понятие. Древний. Восток?
Историки на. Западе понимают под. Древним. Востоком древнейшие цивилизации, сложившихся на. Среднем. Востоке. В советской исторической литературе это понятие рассматривалось под другим углом зрения - связывали лося концепции об изменении социально-экономических формаций недавнего времени. Древний. Восток трактовался в ней как начальный этап развития рабовладения. Когда же стало очевидным, что подавляющее большинство народе в мира (исключение - древние греки и римляне), которые знали рабовладение, выработала у них античные, а старосхидни формы рабовладельческих отношений, от такого понимания старосхиднои истории пришлось отказаться, иначе надо было объяснять, почему эти народы остановились в своем рабовладельческом развития на первой стадии. После московской дискуссии о азиатские производственные отношения (1965 г) о которой пойдет речь, было предложено другое толкование старосхиднои истории, отраженное в вузовских учебниках. Древний. Восток - не этап в развитии рабовладельческой формации, а особый тип р абовласницьких обществ, отличавшийся от обществ античных с их"классической"форме рабовладения типологически (а не стадиально!). Отличие старосхидного и античного рабовладения видели в том, что в странах. Древнего. Востока с их натуральной экономикой труд рабов использовали в значительно более скромных масштабах (преимущественно в домашнем хозяйстве), чем в. Древней. Греции и. Риме, где процветало товарное производство. Именно отношение к рабам на. Востоке помьякшувалося тем обстоятельством, что рабы там входили в городских или сельских общин и не считались чужакамужаками.
Чтобы ответить на вопрос, какое из этих определений истории. Древнего. Востока наиболее удачное, нужно рассмотреть ретроспективу и современное состояние ее методологического обрамление
Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая
uchebnikirus.com
Урок по теме «Древний Восток»
План-конспект урока в 5 классе по теме «Древний Восток»
Учитель: Давыдова А.А.
Дата проведения: 21.12.2015.
Педагогические цели
Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Древний Восток».
Задачи:
- закрепить знания о достижениях культуры, исторических персонах, важных изобретениях и открытиях, исторических фактах истории Древнего Востока;
- формировать навыки оперативно работать с информацией и источниками, анализировать, сопоставлять исторические факты, ориентироваться по карте, предъявлять результаты учебной деятельности, работать в команде;
- воспитывать уважение к истории и культуре народов Древнего Востока через понимание важности их открытий для дальнейшего развития человечества.
Тип и вид урока
Урок систематизации и обобщения знаний
Планируемые результаты:
Предметные
Личностные
Метапредметные
Овладевать целостными представлениями об историческом пути народов Древнего Востока; применять понятийный аппарат исторического знания и приемы исторического анализа для раскрытия сущности и значения событий и явлений; расширять опыт оценочной деятельности на основе осмысления жизни и деяний личности и народов в истории; описывать памятники истории и культуры цивилизаций Древнего Востока.
Осмысление социально-нравственного опыта предшествующих поколений; способность к определению своей позиции и ответственному поведению в современном обществе; понимание культурного многообразия мира; уважение к культуре других народов, толерантность.
Сознательное регулирование своей учебной деятельности в процессе достижения результата, определение способов действий в рамках предложенных условий и требований. Самостоятельная организация учебного взаимодействия в группе; формирование умений сравнивать, обобщать факты и понятия.
Основное содержание темы, понятия и термины
Древние цивилизации Месопотамии. Древний Вавилон. Древний Египет. Восточное Средиземноморье в древности. Финикия. Палестина. Израильское царство. Ассирия. Древняя Индия. Древний Китай. Условия жизни и занятия населения. Образование государств. Культурные достижения.
Образовательные технологии
Игровая, групповая и ИКТ-технологии
Образовательные ресурсы
Диск «Повторение и контроль знаний по истории на уроках и внеклассных мероприятиях. 5 класс. Изд-во: Глобус; презентация «Древний Восток»; карта «Древний Восток»; тест на печатной основе; карточки с заданиями для игры.
ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА
Этапы урока
Формы, методы, методичес-
кие
приемы
Деятельность учителя
Деятельность учащихся
Формируемые УУД
Осуществляемые действия
Осуществляемые действия
Регулятивные
Познавательные
Коммуникативные
I.
Организа-ционный момент
Фронтальная,
Словесный,
Слово учителя.
Приветствует учащихся.
Проверяет готовность к уроку
Приветствуют учителя. Организуют рабочее место
Быстрое включение в деловой ритм
II.Опреде-ление темы и постанов-
ка учебной задачи
Фронтальная,
Словесный,
Слово учителя.
Подводит к теме урока, через создание проблемной ситуации:
-Ребята, сейчас мы с вами подумаем, о чем сегодня пойдет речь на уроке. Послушайте, пожалуйста, несколько фрагментов описания местности и подумайте, о каких государствах идет речь. (см. Приложение 1.)
В ходе ответов детей на доске делаются записи: Древний Египет, Древнее Двуречье, Древняя Финикия, Древний Китай, Древняя Индия.
Предлагает назвать тему урока:
- Где находятся эти страны?
- Как же будет называться тема нашего урока сегодня?
СЛАЙД 1.
Формулирует вместе с детьми учебную задачу:
-Сегодня мы еще раз окунемся в волшебный мир Древнего Востока, еще раз осуществим путешествие по его странам, а также попытаемся определить, почему цивилизации Древнего Востока оставили значительный след в истории человечества?
Слушают учителя, отвечают на вопросы
Формулируют тему.
Слушают учителя, формулируют под его руководством учебную задачу
Принятие учебной задачи, сформулированной под руководством учителя
Умение решать проблему, анализировать результаты.
Осознанное построение речевых высказываний, рефлексия собственных действий
III. Контроль и обобщение
Индивидуальная, практический, тест
Дает тестовое задание для индивидуальной работы (см. Приложние 2), затем организует взаимопроверку в парах при помощи экрана.
СЛАЙДЫ 2-7
Выполняют тесты, меняются с соседом по парте, проверяют работу партнера, затем контролируют правильность проверки при помощи экрана
Предвосхищение результата и уровня усвоения знаний; контроль и сличение способа действий и его результата с заданным образцом
Структурирование знаний, анализ объектов с целью выделения признаков, выбор оснований и критериев для классификации объектов
Планирование учебного сотрудничества с товарищем, управление поведением партнера
Групповая,
словесный, наглядный,
практический,
игра
Динамическая пауза
- Вам заранее было дано задание: разбиться на две команды, придумать их название, выбрать капитанов.
Любое путешествие требует определенных денежных затрат, а путешествие в другую страну требует еще и получение визы, документа, дающего вам право посетить иностранное государство. Их вы получите после того, как представите свои команды.
Выдает импровизированные визы.
СЛАЙД 8.
- Итак, мы начинаем наше увлекательное путешествие по Древнему Востоку.
Организует работу в группах (командах) с раздаточным материалом ( см. Приложение 3) и последующим отчетом о работе.
Конкурс 1. Вычеркните лишнее слово и объясните свой выбор. СЛАЙД 9.
Конкурс 2. Назовите термин
СЛАЙД10
Конкурс3. Работа с картой
- По фрагменту карты определите, какое древнее государство здесь возникло?
Выводит на экран фрагменты карт.
СЛАЙДЫ 11-15.
Проводит гимнастику при использовании фрагмента китайской традиционной музыки
Конкурс 4. Где изобретено, впервые использовано..
СЛАЙД 16.
Конкурс 5. Мифы и легенды
Читает текст.
СЛАЙД 17.
Конкурс 6. Переводчики
- Один из народов Древнего Востока изобрел письменность. У нее было много достоинств, но имел место один недостаток. Сейчас мы проверим, как вы разбираетесь в древневосточных письменах. Прочитайте написанные на листе мудрые мысли. У какого народа появилась такая письменность? Какие заповеди здесь записаны?
СЛАЙД 18.
Скажите, а может ли человек руководствоваться данными правилами, живя в современном мире?
Конкурс 7. Решение исторических задач.
СЛАЙД 19.
Обобщающая беседа.
- Вернемся к проблемному вопросу нашего урока, почему цивилизации Древнего Востока оставили значительный след в истории человечества?
СЛАЙД 20.
Обобщает:
- Тысячи лет прошло с тех пор, как существовали государства Древнего Востока. Казалось бы, лишь немногие сохранившиеся сооружения могут напомнить нам о трудолюбии народов, о могуществе царей, о мастерстве ремесленников. Но и в нашей повседневной жизни мы продолжаем пользоваться изобретениями, которые были сделаны давным-давно в древневосточных государствах.
Представляют команды: название, девиз.
- Команда «Китайцы»,
девиз: «Мы китайцы, просто класс, победи попробуй нас!»
- Команда «Индийцы»
девиз: «мы индийцы идем к удаче, и только так, а не иначе!»
Получают визы.
Работают в командах, зарабатывают жетоны.
Выполняют задания на карточках, затем рассказывают о своей работе при помощи экрана.
Команды отвечают по очереди. При неправильном ответе право ответить переходит к команде-сопернику.
Выполняют упражнения под руководством ответственного за физкультминутку
Работают с раздаточным материалом, затем рассказывают о своей работе при помощи экрана.
Команды отвечают по очереди. Если команда отвечает неправильно, право ответа переходит к соперникам.
Работают с раздаточным материалом, затем рассказывают о своей работе при помощи экрана.
Отвечают на вопросы.
Работают с раздаточным материалом, затем рассказывают о своей работе.
Отвечают на вопрос
Постановка учебной задачи, составление плана и последовательности действий, оценка результатов работы
Формирование ответственного отношения к своему здоровью
Структурирование знаний, анализ объектов с целью выделения признаков, выбор оснований и критериев для классификации объектов, подведение под понятие
Инициативное сотрудничество в поиске информации. Управление поведением партнера, умение строить речевое высказывание
IV.Домашнее задание
Дает дифференцированное задание, инструктирует учеников по его выполнению:
1. Для сильных учеников – написать эссе на тему «Записки путешественника по Древнему Востоку»
2. Для средних учеников – составить синквэйны о странах Древнего Востока
3. Для слабых учеников – составить схему изобретений в странах Древнего Востока
СЛАЙД 21.
Воспринимают задание
Принятие учебной задачи для самостоятельного выполнения
V. Итог урока. Рефлексия
Фронтальная, словесный,
беседа.
Подведение итогов игры.
Выставление оценок.
Закончите предложения:
- Я приобрел..
-Я научился..
-Я смог..
-Меня заинтересовало..
-Мне захотелось..
-У меня получилось..
-Мне понравилось..
Подсчитывают заработанные в игре жетоны.
Отвечают на вопросы, оценивают свою работу, эмоциональное состояние на уроке
Контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
самооценка на основе критерия успешности.
Выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Для определения темы и постановки учебной задачи
1.« Эта страна расположена в Южной Азии. Берега её с запада, востока и юга омывает океан. С севера её границей служат Гималаи, самые высокие горы в мире. Большую часть года здесь жарко, а в июле и августе льют проливные дожди. в долине широкой и большой реки растут густые и труднопроходимые леса – джунгли. В вечнозеленом лесу круглый год распускаются яркие душистые цветы, растут банановые и кокосовые пальмы, манговые деревья». (Индия)
2. «Она лежит между двумя большими реками. Отсюда и её название. Почвы здесь удивительно плодородны. Реки дарят жизнь и процветание этой теплой стране. Но разливы рек проходили здесь бурно: порою потоки воды обрушивались на селения и пастбища, снося и жилища и загоны для скота. Приходилось строить насыпи по берегам, чтобы наводнением не смыло посевы на полях. Для орошения садов и полей рыли каналы. Города обычно стояли на берегу реки или возле канала». (Двуречье)
3. «Эта страна располагалась на восточном побережье Средиземного моря на узкой полоске земли между морем и цепью Ливанских гор, где не было крупных рек и долин с плодородными почвами. Местные жители сажали виноградники и рощи оливковых деревьев. Славилась страна строительным лесом – ливанским кедром, из которого строились быстроходные корабли…» (Финикия)
4. «По огромным пустыням северо-восточной Африки несет свои воды одна из самых больших рек в мире. На берегах этой реки росли финиковые пальмы, душистые акации и высокий тростник – папирус. Течение реки встречало на своем пути пороги – каменистые преграды на дне реки, мешающие судоходству. Пройдя пороги, река спокойно текла на север, где впадала в Средиземное море, прежде разделяясь на множество рукавов, образующих огромный треугольник – дельту. На берегах её располагалась эта страна от первого порога до Средиземного моря. Каждый год в июле начинался разлив великой реки, продолжавшийся до ноября. После разлива на полях оставался плодородный ил – частицы полусгнивших растений и красноватых горных пород…» (Египет)
5. «Эта страна располагалась в Восточной Азии на Великой … равнине между реками Хуанхе и Янцзы. На её территории возникло несколько государств, правители которых враждовали друг с другом…» (Китай)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Тест по теме «Древний Восток»
1. Книга, от названия которой произошло слово библиотека, была написана в:
1) Индии
3) Израиле
2) Китае
4) Египте
2. Великая Китайская стена защищала Поднебесную от набегов
1) ассирийцев
3) филистимлян
2) гуннов
4) ханаанеев
3. В Древнем Китае писали на:
1) на дощечках из бамбука
3) пальмовых ветвях
2) глиняных табличках
4) папирусе
4. Библейский старец, спасшийся в ковчеге во время потопа:
1) Адам
3) Ной
2) Авраам
4) Иосиф
5. Земледельцы в Древней Индии выращивали:
1) хлопчатник и сахарный тростник
3) какао
2) чай
4) картофель
6. Река Янцзы протекает в:
1) Египте
3) Индии
2) Китае
4) Междуречье
7. Древнеиндийский мудрец, учивший, что главное – личное достоинство человека, а не его происхождение:
1) Конфуций
3) Моисей
2) Брахма
4) Будда
8. Письменность в Древнем Двуречье:
1) линейное письмо
3) клинопись
2) иероглифы
4) вязь
9. Столица Ассирийской державы, которую называли логовищем львов и городом крови:
1) Ниневия
3) Вавилон
2) Персеполь
4) Мемфис
10. Соотнесите страну и правителя.
1) Вавилония
А) Хаммурапи
2) Персия
Б) Цинь Шихуан
3) Индия
В) Дарий I
4) Китай
Г) Ашока
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Раздаточный материал
Конкурс 1. Вычеркните лишнее слово и объясните свой выбор
1) Нил, Тигр, Ганг, Вавилон
2) алфавит, пурпурная краска, корабль, бумага
3) чай, алфавит, компас, шелк
Конкурс 1. Вычеркните лишнее слово и объясните свой выбор
1) брахман, шудры, фараон, «неприкасаемые»
2) шахматы, хлопок, корабль, сахар
3) пирамиды, иероглифы, папирус, клинопись
Конкурс 2. Назовите термин
1) Фантастические сказания о богах и героях (мифы)
2) Скульптура льва с головой человека (сфинкс)
3) Обязательные правила поведения (законы)
4) Захваченная территория, потерявшая независимость и самостоятельность (колония)
5)Жрец в Индии (брахман)
6) Люди, лишенные личной свободы и всех своих прав (рабы)
производство шелковой ткани - __________, глиняные кирпичи - _________, таран - __________, так называемые арабские цифры - _________.
Конкурс 5. Мифы и легенды
1. Об это известном боге индии существует много легенд. Родился он принцем, жил в прекрасном дворце. А когда вырос, стал отшельником, голодал, терпел лишения. О каком мифе идет речь? (Миф о Будде)
2. У разных народов есть своя легенда или миф об этом событии. В Двуречье это миф звучит так: : «Построил Утнапишти корабль и погрузил на него весь свой скот, всю родню свою. И вот черная туча закрыла небо. Шесть дней и ночей шел дождь. О каком мифе идет речь? (Миф о потопе)
3. У древних евреев много мифов связано с именем этого правителя, так его считали самым мудрым и справедливым, самым богатым и щедрым. О ком идет речь? (легенда о Соломоне)
4. В этом мифе говорится, что из губ бога Брахмы появились жрецы, из рук появились воины, из ребер появились земледельцы. О каком мифе идет речь? (миф о происхождении каст)
5. Рассказывают, что в незапамятные времена китайская царица пила чай на открытой террасе своего дворца. Вдруг с ветки тутового дерева, что склонилось над террасой, в чай упал кокон бабочки. Длинным накрашенным ногтем царица попробовала вынуть его из пиалы, но за ноготь зацепилась тонкая нитка. Царица потянула за нитку, и кокон, распаренный в горячем чае, стал разматываться. С тех пор прошло 5 тыс. лет, а мы до сих пор используем это открытие. О чем повествует старинная легенда? (О шелке)
Конкурс 6. Переводчики
Один из народов Древнего Востока изобрел письменность. У нее было много достоинств, но имел место один недостаток. Сейчас мы проверим, как вы разбираетесь в древневосточных письменах.
- прочитайте написанные на листах мудрые мысли. У какого народа появилась такая письменность? Какие заповеди здесь записаны?
Н КРСТ - _____________________(не красть)
Н ЛГТ - ______________________ (не лгать)
Н БВТ - ______________________ (не убивать)
ПЧТТ ТЦ МТ - ________________(почитать отца и мать)
Раздаточный материал
Конкурс 6. Переводчики
Н КРСТ - ______________________________
Н ЛГТ - _______________________________
Н БВТ - _______________________________
ПЧТТ ТЦ МТ - _________________________
Конкурс 6. Переводчики
Н КРСТ - ______________________________
Н ЛГТ - _______________________________
Н БВТ - _______________________________
ПЧТТ ТЦ МТ - _________________________
Конкурс 7. Решение исторических задач
Задача 1. Сколько тысяч лет назад возникли города в Египте, если первые из них появились в 3 тысячелетии до н.э.? (Решение: 3000 лет до н.э. +2015 лет н.э. = 5015 лет назад).
Задача 2. Сколько тысяч лет назад возникли города в Двуречье, если первые из них появились в 4 тысячелетии до н.э. (Решение: 4000 лет до н.э. +2015 лет н.э =6015 лет назад)
Задача 3. Сосчитайте, где города появились раньше и насколько. (Решение: 6015-5015 = на 1000 лет раньше появились города в Двуречье).
Раздаточный материал
Конкурс 7. Решение исторических задач
Задача 1. Сколько тысяч лет назад возникли города в Египте, если первые из них появились в 3 тысячелетии до н.э.?
Задача 2. Сколько тысяч лет назад возникли города в Двуречье, если первые из них появились в 4 тысячелетии до н.э.
Задача 3. Сосчитайте, где города появились раньше и насколько.
Конкурс 7. Решение исторических задач
Задача 1. Сколько тысяч лет назад возникли города в Египте, если первые из них появились в 3 тысячелетии до н.э.?
Задача 2. Сколько тысяч лет назад возникли города в Двуречье, если первые из них появились в 4 тысячелетии до н.э.
Задача 3. Сосчитайте, где города появились раньше и насколько.