Три знаменитые классические задачи древности (стр. 1 из 3). Задачи древние

Старинные задачи через века и страны

Старинные задачи через века и страны

1МАОУ Селятинская СОШ№2

1МАОУ Селятинская СОШ№2

Текст работы размещён без изображений и формул.Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

введение

Выбор темы данного проекта можно объяснить тем, что люди имеют большой интерес к задачам древности, способам их решения. Это позволяет показать связь истории и математики.

В древние времена нашим предкам было необходимо считать, сравнивать, узнавать, кто больше принес домой добычи и сколько дать еды каждому человеку в семье. Знать сколько требуется для заготовки еды, посуды и многого другого. И для этого древние люди научились считать , а затем решать задачи для нахождения какой-либо информации. До нашего времени сохранились некоторые задачи.

Объект исследования: старинные задачи

Цель моей работы: подобрать задачи древности, подготовить презентацию, провести занятие для одноклассников.

Для того, чтобы добиться цели работы, я поставила перед собой задачи:

Узнать первоисточники.

Наглядно продемонстрировать изучаемый предмет.

Произвести опрос одноклассников.

Провести мастер-класс.

Сделать соответствующие выводы.

Старинные задачи через века и страны

Задачи Древнего Египта

Наиболее распространенные письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н.э. Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был призван богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотеп.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах.

Задачи из папируса Ахмеса:

Задача 1.Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это так называемый папирус писца XVIII-XVII вв. до н.э. Ахмеса. Папирус имеет размер 5,25 м х 33 см и содержит 84 задачи. Папирус был приобретен в 1858 году Г. Райндом и изучен впервые профессором А. Эйзенлором в 1877 году. Другой папирус имеет размер 5,44 м х 8 см и включает 25 задач. Он был приобретен русским востоковедом В.С. Голенищевым в 1893 году и в настоящее время принадлежит Московскому музею изобразительных искусств имени А.С. Пушкина.

Задача 2. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

Задача 3. Найти приближенное значение для числа π, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

Задачи Древней Греции

Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI-V вв. до н. э.

Задача Фалеса:

Начало греческой науки прожила ионийская школа натурфилософии. Ее основателем был отец греческой науки Фалес Милетский (ок. 625-547 до н. э.) – купец, политический деятель, философ, астроном и математик. Первоосновой всего сущего Фалес считал воду («Вода есть начало всего; все из нее происходит и все в нее превращается»). В математике Фалес доказал несколько важных теорем, предложил способы вычисления высоты фигуры по длине ее тени и определения расстояния до корабля на море.

Задача 1. Определить расстояние от берега до корабля на море.

Задача о школе Пифагора

Первое построение геометрии как дедуктивной науки принадлежит Пифагору Самосскому (ок. 570 - ок. 500 до н. э.) – древнегреческому математику и философу. В молодости Пифагор путешествовал по Египту и Вавилону, изучая мудрость жрецов. Около 530 г. до н.э. он переехал в Кротон (Южная Италия), где основал знаменитый пифагорейский союз (школу). Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В их школе возникло представление о шарообразности Земли.

Задача: Тиран острова СамосПоликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь к ним еще трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было у Пифагора?

Задача Евклида

В III в. до н. э. древнегреческая геометрия достигла своего апогея в работах знаменитого математика Евклида, написавшего 13 книг, объединенных общим названием «Начала». В трудах Евклида логическая сторона геометрии была доведена до очень высокого уровня.

Задача 1. Мул и осел под вьюком по дороге с мешкам шагали. Жалобно охал осел, непосильною ношей придавлен. Это подметивший мул обратился к сопутчику с речью: «Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка? Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне меру, если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы сравнялись». Сколько нес каждый из них, огеометр, поведай нам это.

Задача 2. На данном отрезке AB построить равносторонний треугольник.

Задача 3. Разделить произвольный угол на две равные части.

Задачи Древнего Китая

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II в. до н. э. На обломках посуды XIII-XII вв. до н. э. имеются изображения геометрических орнаментов с правильными 5-, 7-, 8-, 9-угольниками.

К эпохе, когда «расцвели сто цветов, соперничали сто школ ученых», относится деятельность Конфуция (551-479 до н. э.), выработавшего основы учения о «добродетельном поведении». В это время появились первые книги по математике, которые составили основы «Математики в девяти книгах» (III в. до н. э.). Для забвения прежних традиций император ЦиньШихуанди в 221 г. до н. э. приказал сжечь все книги. Но уже вскоре, во II в. до н. э., началось восстановление древних книг.

Среди важнейших достижений китайской математики отметим: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечение корней любой степени.

Задача Ло-шу

К глубокой древности относится возникновение магических квадратов, т.е. квадратных таблиц натуральных чисел (nхn), имеющих одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Наиболее ранние сведения о магических квадратах содержатся, по-видимому, в древних китайских книгах V-VI вв. до н. э. Самым «старым» из дошедших до нас древних магических квадратов является таблица Ло-шу (2200 г. до н. э.). Название «магические» (волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.

Задача: Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3х3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

Задачи Древней Индии

В долине реки Инда еще в III тыс. до н. э. существовала развитая цивилизация, одним из центров которой был Мохендждо-Даро. В I тыс. до н. э. возникли рабовладельческие государства. Борьба за власть в этих государствах велась между воинами-кшатриями и священниками-брахманами. В это же время появляются священные книги брахманов «Веды» (в переводе с санскритского языка «Знания»).

В IV в. до н. э. большая часть Северной Индии была завоевана Александром Македонским (356-323 до н. э.). Примерно в это же время были созданы астрономо-математические труды сиддханты (учения). Одна из важнейших сиддхант была написана Брахмагуптой (ок. 598-660) около 628 г., состояла из 20 книг и называлась «Брахма-спухта-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы»). БхаскараII в XII в. написал трактат «Сидханта-широмани» («Венец учения») в четырех частях, из которых стихотворная «Лилавати» («Прекрасная») посвящена арифметике, а «Биджагонита» - алгебре. В XIII в. этот трактат был переписан на полоски пальмовых листьев.

Творчество индийских математиков оказало огромное влияние на развитие арифметики (индийская десятичная позиционная нумерация), алгебры (метод рассеивания для решения неопределенных уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными) и тригонометрии (бесконечные ряды для синуса, косинуса и арктангенса). Наиболее ранние сведения о математике в Древней Индии относятся к эпохе составления священных религиозно-философских книг «Веды».

Задача о разрезании шахматной доски

В старинной легенде о четырех алмазах рассказывается о восточном властелине. Он был искусным игроком в шахматы и за всю жизнь проиграл лишь четыре раза. В честь мудрецов-победителей властелин приказал инкрустировать алмазами четыре поля доски, на которых был заматован его король. Но сын после смерти властелина решил отомстить мудрецам за их победы и потребовал разделить шахматную доску на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой. Мудрецы выполнили требование, разрезав доску только по границам между вертикалями и горизонталям доски. Однако жестокий деспот, как гласит легенда, все равно казнил каждого мудреца, используя его часть доски с алмазом.

Задача: Как мудрецы разделили шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые части с одним алмазом в каждой?

Задача БхаскарыI

Учеником Ариабхаты был БхаскараI (VI в.). Неопубликованная рукопись по математике БхаскарыI относится к 522 г. Он придал слоговому обозначению чисел позиционность, ввел слог для обозначения пустого разряда. Один и тот же слог мог служить в данном числе для обозначения 7, 70, 700 и т.д.

Задача: Найти натуральные числа, дающие при делении на 2, 3, 4, 5, и 6 остаток 1 и, кроме того, делящиеся на 7.

Нестареющие Отечественные задачи

Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX-XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). В Древней Руси времени Ярослава Мудрого (978-1054) уже существовали общеобразовательные школы. Ценные сведения о математических знаниях содержатся в памятнике древнерусского права «Русская Правда» и в памятниках духовного содержания: «Книга святых тайн Еноха», «Шестоднев», «Толковая палея» и др.

В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVII в. «Книга сошному письму», содержащая «статью», посвященную вычислению налога с земельной площади в «сохах». Для расчета «сошного письма» применялись русские счеты. Арифметические рукописи в XVI в. переписывались и в XVII в. и мели традиционное название «Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость.». Первые русские книги по математике XVI-XVII вв. были вытеснены замечательной книгой Л. Ф. Магницкого «Арифметика» (1703).

Творчество великого Леонардо Эйлера (1707-1783), много лет проработавшего в России, охватил практически все области физико-математических знаний. Именно в XVIII в. было положено начало в формировании русской математической школы. В XIX в. славу нашей академии принесли блестящие открытия в теории чисел, теории вероятностей и математическом анализе крупнейшего отечественного ученого П. Л. Чебышева (1821-1894).

Задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого

Русский математик и педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739) в 1703 году опубликовал свою знаменитую книгу «Арифметика, сиречь наука числительная». Эта книга была до середины XVIII в. основным учебником по математике в России. «Арифметика» Магницкого поистине была энциклопедией математических знаний и сыграла большую роль в их распространении. М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами учености» наряду со «Славянской грамматикой» (1643) МелентияСмотрицкого.

Задача: Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертная часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников.

Задачи Леонарда Эйлера

Именем Леонардо Эйлера (1707-1783) в современной математике названы: критерий, метод, многочлены, подстановки, постоянная, преобразование, произведение, ряд, теоремы, тождества, уравнения, формулы, функции, характеристика, интегралы, углы.числа и т.п. Гений XVIII в. – Леонард Эйлер – обрел в России вторую родину и проработал в Петербургской академии наук более 30 лет. Французский математик П. С. Лапсас советовал: «Читайте, читайте Эйлера – он учитель всех нас».

Задача: На реке Преголя, где стоит город Калининград (б. Кёнигсберг), имеется семь мостов. Возможно ли пройти по всем мостам, не вступая ни на один из них дважды?

Задача, предложенная Ивану Петрову

Иван Петров – сын крестьянина, родом из села РогозиноКологривского уезда Костромской губернии. Математически одаренный мальчик не умел ни читать.ни писать, но любил проводить в уме всякого рода устные арифметические подсчеты. В мае 1834 г. одиннадцатилетний Ваня успешно выдержал устный экзамен по математике в Костромской гимназии. Ване было предложено двенадцать задач, и на все он дал правильные ответы, затратив на решение около часа.

Задача: Сосчитать в уме, сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трех- и пятирублевого достоинства.

Задача Рачинского

Выражение, которое и составляет «задачу Рачинского», запечатлено на картине художника Н. П. Богданова-Бельского «Устный счет», хранящейся в Третьяковской галерее. На картине изображен урок устного решения задачи в школе Татево Смоленской губернии. Эту школу основал и в ней преподавал бывший профессор Московского университета Сергей Николаевич Рачинский (1833-1902). Художник Н. П. Богданов-Бельский был учеником этой школы.

Задача: Путем устных вычислений найти быстро результат выражения

102 +112+122+132+142

365

Заключение

На уроках алгебры мы изучаем разные задачи. И встречаемся со старинными задачами , мне хотелось познакомится с такими задачами и познакомить с ними одноклассников. Для этого была подготовлена презентация (Приложение)

В древние времена нашим предкам было необходимо считать, сравнивать, узнавать, кто больше принес домой добычи и сколько дать еды каждому человеку в семье. Знать сколько требуется для заготовки еды, посуды и многого другого. И для этого древние люди научились считать , а затем решать задачи для нахождения какой-либо информации. До нашего времени сохранились некоторые задачи.

Мне и моим одноклассникам понравилось решать такие задачи!

Список использованных источникови литературы

Баврин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи: Кн. для учащихся.— М., 1994. — 128 с

Владимиров В.В. Как наши предки учили математику. Старинные задачки с решениями.-М. : ООО Дом печати Издательства Книготорговли «Капитал», 2017. – 48с.

МасловА. Н., Логика для детей и взрослых. - М.: ООО «Луч», 2015.- 196 с.

Рачинский С.А. 1001 задача для умственного счета в школе. – М.: «Белый город», 2017.- 144с.

Приложение

Презентация для занятия

Просмотров работы: 178

school-science.ru

Три знаменитые задачи древности

«КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ»

Исключительное значение математике приписывала школа Платона .

Платон и его школа позволяли для решения геометрических задач на построение пользоваться только циркулем и линейкой Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т.е. задач которые невозможно решить только указанными инструментами. Эти задачи древности стали знаменитыми потому, что в течении 2000 лет усилия многих математиков были направлены на их решение.

Классические задачи древности

Школа Платона породила три классические «невозможные» задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга.

Б ыло доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.

Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки.

Задача о трисекции угла

Задача о квадратуре круга

Задача об удвоении куба

Классические задачи древности

1.Задача о трисекции угла

(деление угла на три равные части).

2.Задача о квадратуре круга (построение квадрата, площадь которого равнялась бы площади данного круга).

3.Задача об удвоении куба (построение куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба).

S 2

S 1

S 1 =S 2

V 2

V 1

V 2 =2V 1

Классические задачи древности

Задача о трисекции угла

Успешное решение этой задачи дало толчок к постановке более общей задачи – о делении любого угла на три равные части. Задача эта была поставлена еще в V в. До н. э. и получила название у древних Греков задачи о трисекции угла .

За её решение брались многие из лучших греческих математиков, но так и не решили. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых.

Классические задачи древности

Решение задачи о трисекции угла греческим математиком НИКОМЕДОМ

Пусть AOB данный угол. Из т. К, принадлежащей стороне ОВ, на сторону ОА опускаем перпендикуляр KL и дополним треугольник OKL до прямоугольника О DKL . Пусть луч ON пересекает KL и DN , продолжение DK , соответственно в т. M, N . Если Р- середина MN, то MP=PN=KP=OK. Следовательно MN=2OK. Таким образом, направление луча, отсекающего от данного угла его третью часть, мы найдем, если нам удастся построить на продолжении DK точку N так, чтобы MN=2OK На этом пункте и останавливалось все решение.

B

K

N

D

1

1

2

P

M

4

3

A

Z

O

НИКОМЕД довел решение задачи до конца с помощью кривой, названной им КОНХОИДОЙ.

Классические задачи древности

Решение задачи о трисекции угла греческим математиком АРХИМЕДОМ

Решение Архимеда основано на лемме:

Если в окружности из точки, лежащей вне её, проведены две секущие – одна через центр, а другая так, что внешний её отрезок равен радиусу окружности, то угол между секущими измеряется третьей частью большей из дуг, заключенных между его сторонами.

A

C

M

D

B

O

Дан угол АОВ. Опишем произвольным R=OA=OB окружность с ц. в вершине угла. Если удастся построить на окружности т. С, так чтобы MC=R , т. M,C,A принадлежали одной прямой, то на основании леммы задача была бы решена. Но решение только при помощи циркуля и линейки не находилось. Поэтому Архимед построил т. С, а значит и решил задачу при помощи линейки на которой была нанесена длина радиуса проведённой окружности.

Знаменитые геометрические задачи древности

Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE . Описав окружность с центром O и  радиусом  и , проводим диаметр . Линейку CB на которой нанесена длина  радиуса r (например,  помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению диаметра , а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE . Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с  делениями, которая даёт длину определённого отрезка.

При решении этой задачи Архимед также открыл кривую, которая названа «Спиралью Архимеда»

Классические задачи древности

Дано круглое поле диаметром 9 мер. Каково содержание его поверхности?

Задача о квадратуре круга.

Вопрос о квадратуре круга древними египтянами был решен опытным путем. Они предполагали, что круг и квадрат со стороной, равной диаметру, египтяне покрывали сплошным слоем семян в один ряд. Простой подсчет числа семян на каждой из этих фигур сразу убеждал, что на площади квадрата семян больше. Постепенно уменьшая сторону квадрата и повторяя опыт с семенами, они пришли к выводу, что число зерен на площади квадрата будет совпадать с числом зерен круга только когда сторона квадрата равна 8/9 длины диаметра.

текст задачи из папируса Ахмеса

Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые.

Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата.

Многие греческие математики

Анаксагор,

Дейнострат,

Антифон,

Бризон,

Гиппократ и др. стремились решить эту задачу.

11/09/16

Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π . Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна а так как площадь круга равна S = 2π r , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2π r и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

d

r

r

O

Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга

C

Пусть ABCD - квадрат. Сторона АВ равномерно вращается около т.А, и её конец В описывает дугу BD . Одновременно с началом вращения АВ начинает перемещаться вниз сторона ВС. Когда радиус АВ совместится со стороной AD, BC также совместится с ней. Геометрическое место указанных точек пересечения и есть квадратриса ВЕ Её основное свойство:

где l – длина дуги BFD

B

Mk

M3

M2

M1

D

E

A

Классические задачи древности

Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом:

«впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать».

Классические задачи древности

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры, известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC. На ВС и АВ, как на диаметрах, описываются полуокружности.

Классические задачи древности

Удвоение куба

а х

x 3 = 2 a3, или x = Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2 а 2, служит отрезок длиной а , т.е. диагональ данного квадрата со стороной а . Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2 а 3, т.е. отрезок х , равный , не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Классические задачи древности

удвоении куба

На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Классические задачи древности

Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» х и у для данных отрезков а и b, т. е. к решению уравнений .

a : x =x : y = y : b ( при b=2a получаем x=a). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов — двух прямых углов. Менехм примерно в .350 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения — кривые, по которым плоскости пересекают конус. Свои решения дали также крупнейшие древнегреческие математики Евдокс, Эратосфен, Аполлоний, Герон, Папп и др.

Классические задачи древности

Итак, все старания решить три знаменитые задачи  при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи.

Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.  

multiurok.ru

Три знаменитые классические задачи древности

Министерство Образования РБ.

Средняя общеобразовательная школа №42

«Три знаменитые классические

задачи древности»

Выполнил: ученик 9 класса «Д» Иванов Иван

Проверил: Леонова Вера Михайловна

г. Улан – Удэ

2005 г.

Введение

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности:

о квадратуре круга о трисекции угла

о удвоении S круга.

Задача о квадратуре круга

Одной из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, является задача о квадратуре круга , т.е. о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликому данному кругу. Если обозначить радиус круга через r , то речь будет идти о построении квадрата, площадь которого равна

Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требовалось найти решение построением. Работа, сделанная Шенксом, в сущности бесполезна – или почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного тому, кто, убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор ещё надеется, что можно найти точное отношение длины окружности к диаметру. Можно вычислить приближенное значение

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « О изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 – 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.

По теореме Пифагора:

Отношение

Различные другие, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в 4в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в 5в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом

Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усиль были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало ещё большее рвение к изысканиям. Что эта задача до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих попыток её решить.

Задача о трисекции угла

Знаменитой была в древности и задача о трисекции угла ( от латинских слов tria– три и section – рассечение , разрезание), т.е.о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов знаменитым греческим философом Платоном.

равен 60о , то

угла САВ , получаем искомое деление прямого угла MAN

на три равных угла:

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в

mirznanii.com

Математические задачи древней руси | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов

educontest.net

Задачи Древней Греции - PDF

УДК Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ

УДК 511.11 Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ 1 Аннотация: Статья посвящена вечной теореме П.Ферма с простой постановкой задачи, но сложным решением, как это обычно бывает в теории чисел. Мне удалось

ГРЕЧЕСКАЯ И РИМСКАЯ МИФОЛОГИЯ

Заполняется печатными буквами Имя, фамилия ученика Школа Учитель / руководитель Результат 60б/ ОЛИМПИАДА ПО ИСТОРИИ ШКОЛЬНЫЙ ТУР VI КЛАСС 19 ЯНВАРЯ 2016 г. 1. МЕСТА, СВЯЗАННЫЕ С ГРЕЧЕСКИМИ МИФАМИ. 6б/

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МАТЕМАТИКИ. содержание Математика это Зарождение математики. Древневосточная математика математика древнего Египта математика древнего Вавилона Древнегреческая математика Особенности

Выполнил ученик 8 класса Русанов К

Выполнил ученик 8 класса Русанов К Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. Гёте. Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем

Легендарная Эллада, 5 класс

Легендарная Эллада, 5 класс Гарифуллин Р. Х., МБОУ «Старочурилинская СОШ», Арский район, Республика Татарстан Планируемые результаты: - личностные: способствовать развитию у школьников интереса к истории,

Урок соревнование в 6 классе по теме: «Длина окружности, площадь круга, шар». Цель: систематизировать, обобщить знания учащихся, проверить уровень

Урок соревнование в 6 классе по теме: «Длина окружности, площадь круга, шар». Цель: систематизировать, обобщить знания учащихся, проверить уровень усвоения темы, прививать любовь к математике, воспитывать

«Применение подобия к решению задач»

План-конспект урока геометрии «Применение подобия к решению задач» 9 класс Цели урока: Формировать умения и навыки применения теоретических знаний при решении задач Развивать сознательное восприятие учебного

Содержание курса математики в 5 6 классах

Содержание курса математики в 5 6 классах Натуральные числа и нуль Натуральный ряд чисел и его свойства Натуральное число, множество натуральных чисел и его свойства, изображение натуральных чисел точками

орхестры тэатрона скены

Основание театра Одним из замечательных явлений древнегреческой культуры был театр. Древнегреческий театр возник из сельских празднеств в честь бога Диониса. Несколько раз в году происходили празднества,

Математика. Семь веков до нашей эры

Математика Семь веков до нашей эры VII VI века до нашей эры Зарождение дедуктивной геометрии. Формулирование и попытки осуществления доказательств первых теорем. Фалес Милетский Пифагор Самосский Пифагор

S = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2)

7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у

Ответы и критерии оценивания

Ответы и критерии оценивания Часть 1 (максимально 10 баллов) Задание 1 Быки В различных культурах древности бык считался священным животным, и многие боги или мифологические существа имели в себе бычью

Лаборатория «Ладико», февраль 2013 года

Всероссийский блиц-турнир «Мифы Древней Греции» Когда-то Эллинское государство было величайшим на Земле. Оно завоевало значительные территории и распространяло свою культуру и достижения не только в подконтрольных

Древнекитайский символ

Древнекитайский символ Сравните Некоторые современные здания Золотое сечение «Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник

Зачем нужна математика

Математика Зачем нужна математика Автор: Серебрянская Л.А. Дудинская ВСШ Значение понятия математика Название "математика" происходит от греческого слова "матейн" (mathein) - учиться, познавать. Древние

Оборудование: карточки, бочонки, грамоты.

Внеклассное мероприятие по математике для 5-х классов Игра «Счастливый случай». Цель: повысить уровень заинтересованности у учащихся к предмету математики посредством проведения внеклассного мероприятия.

Приоткрытые тайны истории

Приоткрытые тайны истории «Знающие вещи» или авторы проекта: Ковтун Егор, Башуров Вячеслав, Сутулова Александра ученики 5 класса МОУ «Лицей 15» им. акад.ю.б.харитона Руководители: Теленгатор Светлана Владимировна,

Рождение Греческого театра

Рождение Греческого театра Особенности театрализованного действа. Автор: Булычева Ксения 11 А класс введение Древнегреческий театр один из древнейших театров на территории Европы. Он достиг своего расцвета

Древний механический компьютер

Древний механический компьютер Этот предмет был найден в 1901 году, и до сих пор он остается одной из величайших загадок античной цивилизации. Благодаря ему был развенчан миф о примитивной технике древности.

Золотое сечение в античной математике

Золотое сечение в античной математике А. И. ЩЕТНИКОВ 1. Постановка проблемы. Не будет преувеличением сказать, что без обсуждения вопроса о золотом сечении не обходится ни одна публикация, посвящённая взаимоотношениям

УРОК МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ «А»

104 Учитель математики Карташова Г. В. Тема урока: УРОК МАТЕМАТИКИ В 6 КЛАССЕ «А» «Приведение дробей к общему знаменателю». Цели урока: Развить навыки приведения дробей к общему знаменателю, развивать

«Сфера и шар. Решение задач»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Щебетовская школа им. М.А.Македонского г. Феодосии Республики Крым» Урок в 11 классе «Сфера и шар. Решение задач» Учитель математики Гордиёнок Т.В.

Красивый безрассудный царь

Библия для детей Представляет Красивый безрассудный царь Автор: Edward Hughes Иллюстрировано: Janie Forest Адаптировано: Lyn Doerksen Издано: Bible for Children www.m1914.org BFC PO Box 3 Winnipeg, MB

В этом уроке вы изучите следующие темы...

Урок 8 Церковь Существует много красивых зданий и соборов, а также скромных помещений миссий и хижин, на которых написано Церковь. Над зданиями возвышаются кресты, звонницы, башни, которые по-своему возвещают

docplayer.ru

Древние задачи | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов

educontest.net

задачи Древнего Египта - Математика

ЗАДАЧИ ДРЕВНЕГО ЕГИПТА

Наставление, как достигнуть знания

всех темных (трудных) вещей. . .

всех тайн, которые скрывают в себе вещи...

писец Ахмес написал это со старых руко­ писей . .

Сохранившаяся часть заглавия па­ пируса Ахмеса

Наиболее древние письменные математические тексты датируются примерно началом II тыс. до н. э. Математические документы сохранились только в Египте, Вавилоне, Китае и Индии.

Около пяти тысяч лет назад при фараоне Джосере был признан богом мудрости великий врачеватель, государственный деятель и первый известный нам по имени математик Имхотеп.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на папирусах. Еще 4 тыс. лет назад они решали практические задачи по арифметике, алгебре и геометрии, причем в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями. Высшим достижением египетской математики является точное вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием.

Задачи из папируса Ахмеса

Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст — это так называемый папирус писца XVIII — XVII вв. до н. э. Ахмеса. Папирус имеет размер 5,25 м × 33 см и содержит 84 задачи. Папирус был приобретен в 1858 г. Г. Райндом и изучен впервые профессором А. Эйзенлором в 1877 г. Другой папирус (5,44 м × 8 см) включает 25 задач. Он был приобретен русским востоковедом В. С. Голенищевым в 1893 г. и в на­ стоящее время принадлежит Московскому музею изобразительных искусств им. A. С. Пушкина. Московский папирус исследовали ученые — академики Б. А. Тураев и B. В. Струве.

Фрагмент папируса Ахмеса (основная часть папируса хранится в Британском музее)

1. Решение:

Переведя условие задачи на математический язык, мы видим,

что она имеет геометрическую прогрессию.

5 членов со знаменателем 7: 7, 49, 343, 4201, 16807.

Подсчитаем сумму пяти членов г. п. по формуле: S5=(a5g – a1) / (g-1) S5 =(16807·7 – 7) / (7-1) = 19067 Ответ: Числа этого ряда: 7, 49, 343, 4201, 16807. Сумма: 19067

1. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мы­ шей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

2. Наставление, как определять разности. Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет 1 — меры.

3. Найти приближенное значение для числа π, приняв площадь круга равной площади квадрата со стороной 8/9 диаметра круга.

Московский папирус

• Его в декабре 1888 г. Приобрел в Луксоре русский египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач.
•   Среди задач в московском папирусе можно выделить чисто  алгебраические  (№1,19 и 25), показывающие, что египтяне могли решать линейные уравнения с одной неизвестной  х , называемой "куча" (типа  ax + bx+...+cx =d ), а также возводить в степень и извлекать корень.

Решение:

Vусеч. пир.=1/3h·(a 2 +ab+b 2 ),

где h-высота пирамиды, a и b – соответственно нижнее и верхнее основания.

Vусеч. пир.= 1/3·6·(16+4+8)=56

1.Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4, верхнего 2.

2. Определить длину сторон прямоугольника, если известно их отношение и площадь фигуры.

3. Определить объем квадратной усеченной пирамиды, если ее высота равна 6, сторона нижнего основания 4,верхнего 2.

«Кожаный свиток египетской математики»

(размер 25 ×43см), с большим трудом расправлённый в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее.

Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. В папирусах есть задачи на вычисление -образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д.

multiurok.ru

Смотрите также

• 
  Мировоззрение древних
• 
  Украшение древние
• 
  Пророчества древних
• 
  Древние своды
• 
  Древние подвиги
• 
  Древний завет
• 
  Артефакты древних
• 
  Древние рабы
• 
  Древние чудеса
• 
  Стена древняя
• 
  Община древняя