1.3.1Тригонометрия на Ближнем и Среднем Востоке. Плоская тригонометрия. Тригонометрия древнего востока

История тригонометрии: возникновение и развитие

История тригонометрии неразрывно связана с астрономией, ведь именно для решения задач этой науки древние ученые стали исследовать соотношения различных величин в треугольнике.

На сегодняшний день тригонометрия является микроразделом математики, изучающим зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимающимся анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций.

Термин «тригонометрия»

Сам термин, давший название этому разделу математики, впервые был обнаружен в заголовке книги под авторством немецкого ученого-математика Питискуса в 1505 году. Слово «тригонометрия» имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник». Если быть точнее, то речь идет не о буквальном измерении этой фигуры, а об её решении, то есть определении значений её неизвестных элементов с помощью известных.

Общие сведения о тригонометрии

История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.

Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.

Предполагается, что изначально тригонометрия существовала как часть астрономии. Затем она стала использоваться в архитектуре. А со временем возникла целесообразность применения данной науки в различных областях человеческой деятельности. Это, в частности, астрономия, морская и воздушная навигация, акустика, оптика, электроника, архитектура и прочие.

Тригонометрия в ранние века

Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.

Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.

История развития тригонометрии в Древней Греции связана с именем астронома Птоломея - автора геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.

Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.

Средневековье: исследования индийских ученых

Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.

История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.

Первые таблицы синусов были у Ариабхаты, они была проведены через 3о, 4о, 5о. Позже появились подробные варианты таблиц: в частности, Бхаскара привел таблицу синусов через 1о.

Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. А в своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15') и таблицу тангенсов (с шагом 1°).

История развития тригонометрии в Европе

После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку.

По мнению исследователей, история тригонометрии в Европе связана с именем англичанина Ричарда Уоллингфордского, который стал автором сочинения «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах». Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии. К XV веку многие авторы в своих трудах упоминают о тригонометрических функциях.

История тригонометрии: Новое время

В Новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине XVI века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе Николая Коперника, Иоганна Кеплера, Франсуа Виета. Коперник отвел тригонометрии несколько глав своего трактата «О вращении небесных сфер» (1543). Чуть позже, в 60-х годах XVI века, Ретик - ученик Коперника - приводит в своем труде «Оптическая часть астрономии» пятнадцатизначные тригонометрические таблицы.

Франсуа Виет в «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.

Заслуги Леонарда Эйлера

Придание тригонометрии современного содержания и вида стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному. Таким образом, этот ученый смог определить обратные функции. Но и это еще не все.

Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.

Области применения тригонометрии

Тригонометрия не относится к прикладным наукам, в реальной повседневной жизни ее задачи редко применяются. Однако этот факт не снижает ее значимости. Очень важна, например, техника триангуляции, которая позволяет астрономам достаточно точно измерить расстояние до недалеких звезд и осуществлять контроль за системами навигации спутников.

Также тригонометрию применяют в навигации, теории музыки, акустике, оптике, анализе финансовых рынков, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (например, в расшифровке ультразвуковых исследований УЗИ и компьютерной томографии), фармацевтике, химии, теории чисел, сейсмологиии, метеорологии, океанологии, картографии, многих разделах физики, топографии и геодезии, архитектуре, фонетике, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике, кристаллографиии и т. д. История тригонометрии и ее роль в изучении естественно-математических наук изучаются и по сей день. Возможно, в будущем областей ее применения станет еще больше.

История происхождения основных понятий

История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.

Слово «косинус» появилось намного позже. Этот термин является сокращенным вариантом латинской фразы «дополнительный синус».

Возникновение тангенсов связано с расшифровкой задачи определения длины тени. Термин «тангенс» ввел в X веке арабский математик Абу-ль-Вафа, составивший первые таблицы для определения тангенсов и котангенсов. Но европейские ученые не знали об этих достижениях. Немецкий математик и астроном Регимонтан заново открывает эти понятия в 1467 г. Доказательство теоремы тангенсов – его заслуга. А переводится этот термин как «касающийся».

fb.ru

Лекция № 6 Тема: Зарождение и развитие тригонометрии

1.1. Зарождение и развитие тригонометрии.

1.2. Сферическая тригонометрия.

1.3. Тригонометрия в Европе до Эйлера.

1.4. Вклад Эйлера в развитие тригонометрии.

1.5. Последователи Эйлера в развитии тригонометрии.

1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ.

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечаю­щий практическим нуждам человека.

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew - измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в IIIвеке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (Iвек н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”;cos=sin( 90-)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в Xвеке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь вXIVвеке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger(касаться), появилось в 1583 г.Tangensпереводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVIIв., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIIIвеке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

1.2. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон сферических треугольников. Применяется для решения различных геодезических и астрономических задач.

Основы сферической тригонометрии были заложены греческим математиком и астрономом Гиппархом во II веке до н. э. Важный вклад в её развитие внесли такие античные учёные, как Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Сферическая тригонометрия древних греков опиралась на применение теоремы Менелая к полному четырёхстороннику на сфере. Древнегреческие математики излагали условие теоремы Менелая не на языке отношений синусов, а на языке отношений хорд. Для выполнения требуемых расчётов применялись таблицы хорд, аналогичные последующим таблицам синусов.

Как самостоятельная дисциплина сферическая тригонометрия сформировалась в работах средневековых математиков стран ислама. Наибольший вклад в её развитие в эту эпоху внесли такие учёные, как Сабит ибн Корра, Ибн Ирак, Кушьяр ибн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Бируни, Джабир ибн Афлах, ал-Джайяни, Насир ад-Дин ат-Туси. В их работах были введены основные тригонометрические функции, сформулирована и доказана сферическая теорема синусов и ряд других теорем, применявшихся в астрономических и геодезических расчётах, ведено понятие полярного треугольника, позволявшее вычислять стороны сферического треугольника по трём его данным углам.

История сферической тригонометрии в Европе связана с трудами таких учёных, как Региомонтан, Николай Коперник, Франческо Мавролико.

Замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями. Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Никаланта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

studfiles.net

Реферат Тригонометрия

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 Определение тригонометрических функций
• 2 История
  • 2.1 Древняя Греция
  • 2.2 Средневековая Индия
Примечания

Введение

Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

В Школе СССР имела статус учебного предмета

1. Определение тригонометрических функций

Тригонометрические функции угла θ внутри единичной окружности

Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол (один из острых углов этого треугольника).

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
• Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол θ (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:

• Синус угла θ определяется как ордината точки A.
• Косинус — абсцисса точки A.
• Тангенс — отношение синуса к косинусу.
• Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу).
• Секанс — величина, обратная косинусу.
• Косеканс — величина, обратная синусу.

Для острых углов новые определения совпадают с прежними.

Возможно также чисто аналитическое определение этих функций, которое не связано с геометрией и представляет каждую функцию её разложением в бесконечный ряд.

2. История

2.1. Древняя Греция

Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде, опущенный из центра окружности, делит пополам дугу и опирающуюся на неё хорду. Половина поделенной пополам хорды — это синус половинного угла, и поэтому функция синус известна также как «половина хорды». Благодаря этой зависимости, значительное число тригонометрических тождеств и теорем, известных сегодня, были также известны древнегреческим математикам, но в эквивалентной хордовой форме.

Хотя в работах Евклида и Архимеда нет тригонометрии в строгом смысле этого слова, их теоремы представлены в геометрическом виде, эквивалентном специфическим тригонометрическим формулам. Теорема Архимеда для деления хорд эквивалентна формулам для синусов суммы и разности углов. Для компенсации отсутствия таблицы хорд математики времен Аристарха иногда использовали хорошо известную теорему, в современной записи — sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, где 0° < β < α < 90°, совместно с другими теоремами.

Первые тригонометрические таблицы были, вероятно, составлены Гиппархом Никейским (180—125 лет до н. э.). Гиппарх был первым, кто свёл в таблицы соответствующие величины дуг и хорд для серии углов. Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд. Возможно Гиппарх взял идею такого деления у Гипсикла, который ранее разделил день на 360 частей, хотя такое деление дня могли предложить и вавилонские астрономы.

Менелай Александрийский (100 н. э.) написал «Сферику» в трёх книгах. В первой книге он представил основы для сферических треугольников, аналогично I книге «Начал» Евклида о плоских треугольниках. Он представил теорему, для которой нет аналога у Евклида, о том, что два сферических треугольника конгруэнтны, если соответствующие углы равны, но он не делал различия между конгруэнтными и симметричными сферическими треугольниками. Другая его теорема гласит о том, что сумма углов сферического треугольника всегда больше 180°. Вторая книга «Сферики» применяет сферическую геометрию к астрономии. Третья книга содержит «теорему Менелая», известную также как «правило шести величин».

Позднее Клавдий Птолемей (90 — 168 г. н. э.) в «Альмагесте» расширил Гиппарховы «Хорды в окружности». Его XIII книга — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. Теорема, которая была центральной в вычислении хорд Птолемея, также известна сегодня как теорема Птолемея, которая говорит о том, что сумма произведений противоположных сторон выпуклого вписанного четырёхугольника равна произведению диагоналей. Отдельный случай теоремы Птолемея появился как 93 предложение «Данных» Евклида.

Теорема Птолемея влечёт за собой эквивалентность четырёх формул суммы и разности для синуса и косинуса. Позднее Птолемей вывел формулу половинного угла. Птолемей использовал эти результаты для создания своих тригонометрических таблиц, хотя, возможно, эти таблицы были выведены из работ Гиппарха. Ни таблицы Гиппарха, ни Птолемея не сохранились до настоящего дня, хотя свидетельства других древних авторов снимают сомнения об их существовании.

2.2. Средневековая Индия

Другие источники сообщают, что именно замена хорд синусами стала главным достижением Средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

Индийские учёные пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражаются как

sin2α + cos2α = 1

Индийцы также знали формулы для кратных углов sinn, cosn, где n = 2,3,4,5.

Тригонометрия необходима для астрономических расчётов, которые оформляются в виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в «Сурья-сиддханте» и у Ариабхаты. Позднее учёные составили более подробные таблицы: например, Бхаскара приводит таблицу синусов через 1°.

Южноиндийские математики в 16 веке добивались больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа π. Никаланта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18 вв. Так, ряды для синуса и косинуса вывел Исаак Ньютон около 1666 г., а ряд арктангенса был найден Дж. Грегори в 1671 г. и Г. В. Лейбницем в 1673 г.

В 8 в. Учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки.

Примечания

1. Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1982.

wreferat.baza-referat.ru

Семинар 6. История развития тригонометрии.

1. Возникновение и развитие тригонометрии в древности. (Древняя Греция и Индия).

2. Развитие учения о тригонометрических величинах в странах Среднего и Ближнего Востока в IX-XV вв.

3. Возникновение в тригонометрии нового аналитического направления на пороге XVII в. и его развитие.

4. Методика сообщения исторических сведений в школьном курсе математики при изучении:

а) Теоремы сложения. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов.

б) Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов. Формулы преобразования.

в) Теорема тангенсов, формулы площади треугольников и некоторые другие формулы.

Литература:

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл. § 14-15. М., Просвещение. 1982.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе 9-10 кл. § 3. М., Просвещение. 1982.

3. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М., Просвещение. 1987.

4. Матвиевская Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии. Серия: Математики и кибернетика. N 5. 1982.

5. Березкина Э.И. Математика древнего Китая. М., 1980.

6. Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики. М., 1977.

Семинар 7. Зарождение и создание исчисления бесконечно малых.

1. Возникновение и применение идеи бесконечности, предела и непрерывности в древности.

1. Метод неделимых.

2. Задача о квадратурах.

3. Задача о касательных.

4. Метод флюксий И.Ньютона и исчисление бесконечно малых Г.В.Лейбница.

5. Понятие предела в XVIII-XIX вв.

6. Разработка и обоснование дифференциального и интегрального исчисления в XVIII в.

7. Развитие дифференциального и интегрального исчисления в XIX в.

Литература:

1. Математический энциклопедический словарь. М., Советская энциклопедия. 1988. (стр. 24-27,89-91, 197-203,230-236).

2. Даан-Дальмедико А., Ж.Пейффер. Пути и лабиринты. М.: Мир. 1986.

3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., Наука. 1984.

4. Рыбников К.А. История математики. М., 1994.

5. Никифоровский К.А. Великие математики Бернулли. М. Наука. 1984.

6. Дорофеева А.В., Чернова М.А. Карл Вейерштрасс. М. Знание. 1985. (Новое в жизни, науке и технике. Серия "Математика и кибернетика", N 7)

7. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей. Под ред. Юшкевича А.П. М., Просвещение. 1977.

8. Коледько В.И. Бернард Больцано. М., Мысль. 1982.

9. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIXb. T.I. M., 1989.

10. .Александрова Н.В. Математические термины. М., 1978.

11. Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического анализа. М., Знание. 1985. (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Математика и кибернетика" N 11).

Семинар 8. Математика в России.

1. Состояние математических знаний Древней Руси. Кирик Новгородец.

2. Развитие математики в России в XVIII в.

а) Л.Ф.Магницкий и его "Арифметика".

б) Л.Эйлер и создание первой математической школы в Петербурге.

3. Развитие математики в России в первой половине XIX в.

а) Н.И.Лобачевский.

б) М.В. Остроградский.

4. Математика в России во второй половине XIX в. и в начале XX в.

а) П.Л.Чебышев и Петербургская математическая школа.

б) С.В.Ковалевская.

в) А.М.Ляпунов.

г) А.А.Марков (старший).

5. Возникновение новых научных центров. В.А.Стеклов и реорганизация Академии наук.

6. Н.Н.Лузин и московская математическая школа.

Литература:

1. История отечественной математики. T.I-IV. Киев-Москва. (АН СССР и Укр.АН). 1965-1969.

2. Юшкевич А.П. История математики в России. М., 1968.

3. Люди русской науки. (Математика, механика, астрономия, физика, химия. Под ред. Кузнецова И.В.). М., 1961.

4. Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. Минск. 1983. М., 1978.

5. Рыбников К.А. История математики. МГУ. 1974.

6. Энциклопедия элементарной математики. Т.1. 1958.

7. Симонов Р.А. Математическая мысль Древней Руси. М., 1977.

8. Симонов Р.А. Кирик Новгородец. М., 1982.

9. Денисов А.П. Леонтий Филиппович Магницкий. М., 1967.

10. Болгарский Б.В. Очерки о истории математики. Минск. 1974.

11. Гнеденко Б.В. О развитии математики в нашей стране за 60 лет Советской власти. М.Ш., N5. 1977.

12. Александров П.С. Лузинская математическая школа. М.Ш., N 5. 1977.

13. Александров П.С. Лузинская математическая школа. Квант. N 10. 1977.

14. Гнеденко Б.В. О математике страны Советов. Квант. N 11. 1977.

15. Математический энциклопедический словарь. М., Советская энциклопедия. 1982, (стр. 27-38).

5

studfiles.net

1.3.1Тригонометрия на Ближнем и Среднем Востоке. Плоская тригонометрия. Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

Похожие главы из других работ:

Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

1.2 Тригонометрия в Древнем Мире

...

Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

1.2.1 Греческая тригонометрия

В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии, достигла значительного развития. Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника...

Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

1.2.2 Индийская тригонометрия

Индийская тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии, как и древнегреческая, которая оказала на неё большое влияние. Наряду с этим индийские учёные испытали на себе также воздействие древневавилонских вычислительных методов...

Анализ различных подходов к определению тригонометрических функций

1.3.2 Тригонометрия в трудах европейских учёных

Обзор развития тригонометрии в Европейских странах, где в XVв., начался новый период истории этой науки, следует начать с трудов западно-арабских учёных...

Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi)в среднем квадратичном

Для построения прямой y = ax + b, наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:...

Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

Построение кривой y=px2+qx+r, наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi) в среднем квадратичном

Для построения кривой , наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа , и такие, что функция трех переменных принимает минимальное значение...

Интеграл Лебега-Стилтьеса

2.10 Теорема о среднем, оценки

Пусть в промежутке функция ограничена: а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от по , то имеет место формула (22) Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса...

Исследование линий на плоскости, заданных неявно

1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Пусть г - регулярная (трижды дифференцируемая) кривая, заданная уравнением . Отложим из произвольной точки P кривой на ее нормали отрезок, равный радиусу кривизны в направлении вектора . Конец этого отрезка называется центром кривизны кривой...

История геометрии

1. Геометрия на Востоке

Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. Греческие писатели единодушно сходятся па том, что геометрия возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу. Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии...

Основы тригонометрических вычислений

7. Сферическая тригонометрия

Важным частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов...

Понятия сферической геометрии

§ 3. Сферическая тригонометрия

Длины сторон и величины углов произвольного треуголь-ника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называются теоремами ко-синусов и синусов: В этих формулах a, b, c-длины сторон треугольника ABC...

Различные подходы к определению тригонометрических функций

1.2 Тригонометрия в Древнем Мире

...

Различные подходы к определению тригонометрических функций

1.2.1.Греческая тригонометрия

В древней Греции тригонометрия, как часть астрономии, достигла значительного развития. Древнегреческие ученые впервые поставили перед собой задачу решения прямоугольного треугольника...

Различные подходы к определению тригонометрических функций

1.2.2 Индийская тригонометрия

Индийская тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии, как и древнегреческая, которая оказала на неё большое влияние. Наряду с этим индийские учёные испытали на себе также воздействие древневавилонских вычислительных методов...

Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

1. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функции

...

math.bobrodobro.ru

Тригонометрия: синус, косинус, тангенс, котангенс

История тригонометрии

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π  в таблицах стоит для радиан. Рад  — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x =  π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

Основные свойства котангенсоиды:

1. Y = tg x.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
4. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
5. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
6. Tg x = 0, при x = πk.
7. Функция является возрастающей.
8. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Tg x ‹ 0, при x ϵ ( — π/2 + πk, πk).
10. Производная (tg x)’ = 1/cos2⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

1. Y = ctg x.
2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
7. Функция является убывающей.
8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin2⁡x Исправить

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Артефакт из древнего Вавилона содержит более точную тригонометрическую таблицу, чем у современных математиков

Ученые из Университета Нового Южного Уэльса (Сидней) установили настоящее предназначение 3700-летней вавилонской глиняной таблички, которая оказалась самой древней и самой точной среди древних тригонометрической таблицей в мире.

Она почти на тысячу лет старше «таблицы хорд» Гиппарха и использует оригинальный подход к тригонометрии, основанный на точных шестидесятеричных отношениях сторон прямоугольных треугольников, а не на углах и дугах окружности. Статья опубликована в ScienceDirect.

Считается, что Гиппарх (190–120 до нашей эры) был первым математиком, который составил тригонометрическую таблицу и использовал ее в астрономических расчетах. Строго говоря, это таблица длин хорд для окружности длиной в 21600 и радиусом в 3438 единиц, всего были рассчитаны значения для 24 углов с шагом в 7,5 градусов. В дальнейшем Птолемей (100–170 годах) усовершенствовал таблицу, вычислив длины хорд с шагом в ½ градуса и указав интерполяционные методы, с помощью которых можно было найти значения для промежуточных углов.

Также в XV веке индийский астроном Мадхава из Сангамаграмы независимо составил тригонометрическую таблицу, пользуясь найденным им разложением синуса в степенной ряд. Изобретение тригонометрии сыграло большую роль в науке, поскольку позволило астрономам разрабатывать количественные модели и делать численные предсказания.

В то же время, геометрия древнего Вавилона развивалась исходя из практических потребностей администраторов, землемеров и строителей. Из их измерений полей, стен, столбов, зданий, садов и каналов выросло понимание фундаментальных типов практических фигур – квадратов, прямоугольников, трапеций и прямоугольных треугольников. Произвольным треугольникам уделялось мало внимания, и с понятием угла в Вавилоне знакомы были плохо.

Отсюда вытекает основанный на измерении отношений сторон фигур подход к геометрии. Вавилонские математики были знакомы с понятием подобия и теоремой Пифагора (известный голландски математик ХХ века Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли ее между 2000 и 1786 годами до нашей эры).

Для вычислений они использовали позиционную шестидесятеричную систему счисления и множество таблиц, с помощью которых перемножали числа, возводили их в степень, находили обратное, квадратный и кубический корень и даже двоичный логарифм числа.

Известная как Плимптон 322 (P322), маленькая глиняная табличка размером 12,7 см на 8,8 см (примерно как паспорт) была обнаружена в начале 1900-х годов в южном Ираке археологом, академиком, дипломатом и торговцем антиквариатом Эдгаром Бэнксом. Сравнивая стиль письма с другими древневавилонскими текстами, Элеанор Робсон датировала ее между 1822 и 1762 годами до нашей эры. Табличка имеет четыре столбца и 15 строк чисел, написанных клинописью, но ее левый край отломан.

В четвертом столбце выписаны номера строк, во втором и третьем содержатся два из трех чисел пифагоровой тройки. В первом столбце записаны значения, соответствующие обратному квадрату синуса угла при основании треугольника, которые соотносятся с данной пифагоровой тройкой.

Основываясь на предыдущих исследованиях, ученые представили новые математические доказательства того, что изначально в P322 было шесть столбцов и 38 строк, а сама таблица использовалась для вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум известным, то есть как тригонометрическая. Сравнивая числа из разных столбцов, исследователи пришли к выводу, что в недостающих двух столбцах содержатся значения β и δ, которые в современных обозначениях равны котангенсу и косекансу угла при основании прямоугольного треугольника соответственно.

Данные были рассчитаны для пифагоровых троек, определяющих различные углы. Интересно, что составители P322 выбирали такие треугольники, чтобы все отношения записывались конечной последовательностью цифр в шестидесятеричной системе счисления.

Другими словами, все значения, представленные в таблице, абсолютно точны, и это отличает P322 от остальных тригонометрических таблиц. Правда, вавилоняне допустили несколько ошибок при расчете значений или их переписывании, но это ошибки исполнительные, а не идейные.

Исследователи не первыми предполагают в своей работе, что недостающий фрагмент таблицы содержит значения β и δ, но существенно новой является идея о том, что содержимое P322 следует рассматривать как описание третьего отношения β/δ (или δ/β).

Из-за приверженности вавилонян к точности оно было заменено тремя колонками, чтобы обойтись без приближений. Квадраты в первой колонке – это индексы, указывающие на уменьшение угла при основании треугольника, а значения из третьей и четвертой равны β и δ с отброшенным общим множителем и нужны для упрощения вычислений.

Ранее считалось, что P322 помогала учителю проверять решения квадратных уравнений, которые задавались студентам – например, найти такое x, что (x – 1/x) = 7. Однако эта таблица могла также служить мощным инструментом для выполнения точных архитектурных расчетов или разметки полей.

Как показал американский математик, обладатель премии Тьюринга Дональд Кнут, вавилоняне умели интерполировать из таблицы промежуточные значения, но даже без интерполяции она дает лучшие результаты вычислений, чем некоторые более поздние таблицы.

Например, в данной статье авторы сравнили таблицу Мадхавы и P322, которая почти на 3000 лет древнее, решив с их помощью нескольких задач на треугольники. Во всех случаях ответы, полученные с помощью вавилонской таблицы, были ближе к истинному значению.

P322 исторически значима потому, что является не только древнейшей, но также и единственной абсолютно точной тригонометрической таблицей. Иррациональные числа и их приближения кажутся нам необходимыми в классической геометрии, но P322 показывает, что в тригонометрии можно обойтись без них.

Как замечают авторы работы, если бы история сложилась по-другому и глубокое математическое понимание составителя таблички не было утеряно, вполне возможно, что основанная на отношениях тригонометрия развилась бы вместо привычной нам науки, оперирующей с углами.

Ранее мы писали, что в вавилонских клинописных табличках нашли начала матанализа, с помощью которых древние астрономы рассчитывали движение Юпитера.

Дмитрий Трунин

paranormal-news.ru

Смотрите также

• 
  Полисы древней греции
• 
  Язык древней индии
• 
  Майя древняя цивилизация
• 
  Древняя цивилизация майя
• 
  Войны древней греции
• 
  Древний вавилон википедия
• 
  Древний рим фото
• 
  Таблица древнейшие государства
• 
  Иконописцы древней руси
• 
  Характеристика древнего рима
• 
  Жилище древнего человека