Математика в Древнем Египте. Математике древнего египта
Математика Древнего Египта Википедия
Данная статья — часть обзора История математики.
Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.
Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно[1], что греческие математики учились у египтян[2].
Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.
Источники
Часть папируса Ахмеса.Задачи с 49 по 55.
Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:
От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.
Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.
Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным[3].
Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.
Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень[4], решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.
Нумерация (запись чисел)
Иероглифическая запись числа 35736
Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.
Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:
или то же самое написать цифрами (три символа десятки):
Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр
Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.
Особые значки обозначали дроби вида 1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
и 23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}. Однако общего понятия дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}} у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.
Пример записи дробей из Папируса Ринда[5]
5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (= 5 5⁄7)
Арифметика
Знаки сложения и вычитания
Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф
или
Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».[6]
Сложение
Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.
Например: 2343 + 1671
+
Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:
Преобразуем:
Окончательный результат выглядит вот так:
Умножение
Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.
Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель
Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.
Разложение
Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.
Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:
1 x 2 = 22 x 2 = 44 x 2 = 88 x 2 = 1616 x 2 = 32
Пример разложения числа 25:
Кратный множитель для числа «25» — это 16.
25 — 16 = 9,
Кратный множитель для числа «9» — это 8,
9 — 8 = 1,
Кратный множитель для числа «1» — это 1,
1 — 1 = 0
Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.
Пример: умножим «13» на «238»:
✔
1 х 238
= 238
✔
4 х 238
= 952
✔
8 х 238
= 1904
13 х 238
= 3094
Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.
Уравнения
Иероглифическая запись уравнения x(23+12+17+1)=37{\displaystyle x\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+1\right)=37}
Пример задачи из папируса Ахмеса:
Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.
Геометрия
Вычисление площадей
В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как S=a+c2⋅b+d2{\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}}; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.
Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: S=(d−d9)2=(89d)2.{\displaystyle S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.}
Это правило соответствует приближению π≈4⋅(89)2{\displaystyle \pi \approx 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}} ≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %)[7]..
Некоторые исследователи[8] на основании 10-й задачи Московского математического папируса считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако другие учёные с этим не согласны[9][10].
Вычисление объёмов
Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха
Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Для вычисление объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле: V=(a2+ab+b2)⋅h4.{\displaystyle V=(a^{2}+ab+b^{2})\cdot {\frac {h}{3}}.}
Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке[источник не указан 1181 день].
Египетский треугольник
Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского[11]. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.
Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили[12]. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона)[13].
См. также
Примечания
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
↑ «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
↑ История математики, том I, 1970, с. 21—33..
↑ История математики, том I, 1970, с. 24..
↑ Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
↑ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. — Dover Publications, 1993. — P. pp. 229–230. — ISBN 0486677664.
↑ История математики, том I, 1970, с. 30—32..
↑ W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. — Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. — Berlin: Springer, 1930. — С. 157.
↑ История математики, том I, 1970, с. 31—32..
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45
↑ Прасолов В. В. Глава 1. Древний Египет и Вавилон // История математики. — (не публиковалась), 2013. — С. 5.
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание
↑ История математики, том I, 1970, с. 31..
Литература
Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград, 1937.
Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.
Ссылки
wikiredia.ru
Доклад - Математика Древнего Египта
МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ЕГИПТА
Бурдун Вячеслав
г. Луганск
ССФМШ №1 6-а класс
11 лет
Математика Древнего Египта
Мы начнем наше исследование гораздо раньше указанных дат в описании проекта. Ведь успехи античных математиков (в том числе и Фалеса) не могли возникнуть на пустом месте. Народы Древнего востока на протяжении многих веков сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии.
Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности — Египет и Месопотамия. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь.
Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус — его в декабре 1888 г. приобрёл в Луксоре русский Египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит Государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, «Кожаный свиток египетской математики», с большим трудом расправлённый в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. В папирусах есть задачи на вычисление — образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д.
Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции — многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели такие расчёты довольно громоздко. Для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/n, где n — натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Иногда вместо деления m:n производили умножение m*(1/n). Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.
Сравнительно небольшой круг задач в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным. При решении подобных задач для неизвестного использовали специальный иероглиф со значением «куча». В задачах про «кучу», решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях.
В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что ещё раз подчёркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики. Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии. Они умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы. Известно, что в середине І тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей. Концы верёвки связывали и затем натягивали её на 3 колышка. Если стороны относились как 3:4:5, то получался прямоугольный треугольник. И это — единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте.
Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы для площади круга диаметра d. Этому правилу из 50-ой задачи папируса Райанда соответствует значение π» 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. Заметим, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π=3. Так что в этом отношении египтяне намного опередили другие народы.
Среди пространственных тел самым «египетским» можно считать пирамиду, ведь именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов. Так вот, оказывается, кроме объёма куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объём усечённой пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами a и b, а высота h. Для этого они применяли специальную формулу. Эта формула считается высшим достижением древнеегипетской математики.
Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало чётких границ. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться и приобретать более абстрактные черты.
Как могло появиться первое приближение числа π
По поводу формулы площади круга нам кажется весьма правдоподобной гипотеза автора многочисленных книг по истории математика А.Е. Раик: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами (1/6)d и (1/9)d.
В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так. В первом приближении площади круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарной площадью 4-ёх малых квадратов А со стороной (1/6)d:
S » d2 -4(1/6*d)2 =d2 (1-1/9)=(8/9)d2
Далее из полученной площади нужно вычесть площадь 8-ми квадратов В со стороной (1/9)d, и тогда площадь круга будет приближённо равна следующему выражению:
S » (1-1/9)d2 -8(1/9*d)2 =(1-1/9)d2 -1/9*(8/9)d2 =(1-1/9)d2 -1/9(1-1/9)d2 =(1-1/9)2 d2
www.ronl.ru
Математика в Древнем Египте
Египетская математика. Возникает вопрос-противоречие: Что имеет большее значение? Древняя практика, переходящая в теорию. Или же теория, применяющаяся на практике?
Гипотеза: Предположим, что практика Древнего Египта породила теорию. Наиболее древние письменные тексты сохранились примерно до начало второго тысячелетия до нашей эры. В Египте появляются математические задачи, к которым приводит необходимость расчетов при проведении каналов, строительстве плотин, складов для зерна и т. д. Источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Во-первых, это папирус Райнда. Рукопись представляла собой узкую и длинную полосу папируса, содержащую 84 задачи. Во-вторых, так называемый “Кожаный свиток египетской математики”. Попробуем и мы приоткрыть тайну математических знаний Древнего Египта Техника счета. Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног.
Египетская система счисления. Она так же проста и примитивна как римская; она десятичная. В иероглифах это будет так, как изображено на рисунке Сложение чисел не составляет трудностей, нужно только сосчитать количество единиц, десятков, сотен. Удвоение представляет частный случай сложения. Однако своеобразным является умножение. Оно производится при помощи удвоения и сложения полученных результатов. В качестве примера рассмотрим умножение 12 х 12 по задаче №32 из папируса Райнда сначала в иероглифической записи (которую нужно читать справа налево), а затем в современной Что же, однако, делал египтянин, когда у него деление не выходило? Тогда, точно так же как и мы, он прибегал к дробям. Египетская дробь в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Дробь изображалась так: знак человеческого рта, который, по-видимому, читался как ре и означал «часть», писался над тем числом, которое мы сейчас назвали бы знаменателем. ре, написанный над 5, означал «часть пяти». ре в египетской дроби играл роль числителя. Хотя египтянин и мог понять, что означает четыре седьмых, тем не менее, выражал дробь 4/7 в виде 1/2 1/14. Вычисление «АХА» приблизительно соответствует нашим уравнениям. Вот один из примеров, задача 26 Райнда. «Количество и его четвертая часть дают вместе 15» Египетское решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Затем производится деление 15:5=3 и в заключение умножение 4•3=12. Требуемое «количество» будет, таким образом, 12, его четверть 3, а сумма 15. А какие знания о геометрии были в Древнем Египте? Обязательно надо отметить то, что самым удивительным в геометрии египтян было правило для определения объема усеченной пирамиды, которое можно выразить определенной формулой. Если H вертикальная высота, a сторона квадрата основания, а b сторона квадрата на вершине, то формула объема будет такова: H/3 (a2 ab b2) именно в такой форме она и была известна в Древнем Египте.
Необходимо указать еще, что широко распространенное мнение о знакомстве древних египтян с так называемой «теоремой Пифагора» не опирается на какие-либо египетские тексты. Греческие ученые, побывавшие в Египте, сообщают, что для построения прямого угла использовалась веревка, разделенная на 12 частей. С этой целью концы веревки связывались, и она натягивалась в виде прямоугольного треугольника со сторонами 3:4:5 Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность знаний, еще не разделенную на арифметику, алгебру, геометрию. Многие решения находили путем проб, «ощупью», шла интенсивная работа творческой мысли, и неудивительно, что наука древних египтян внесла огромнейший вклад в жизнь человечества! Математика Древнего Египта оказала несомненное влияние на последующую судьбу науки. Обобщение и заключение. Мы выяснили, что без практики и умений Древнего Египта не совершались бы многие открытия, и не появилась бы теория, которая в наше время ищет практического применения и, что практика Древнего Египта, действительно породила теорию математики сегодняшнего дня и позволила великим учёным совершать великие открытия.
novostynauki.com
Древняя египетская математика • ru.knowledgr.com
Древняя египетская математика - математика, которая развивалась и использовалась в Древнем Египте приблизительно 3000 до н.э к c.300 до н.э
Overvdates назад к по крайней мере 3 000 до н.э с этикетками слоновой кости, найденными в Могиле U-j в Абидосе. Эти этикетки, кажется, использовались в качестве признаков для погребального инвентаря, и некоторые надписаны с числами. Новые доказательства использования основы, которой 10 систем числа могут быть найдены на Narmer Macehead, который изображает предложения 400 000 волов, 1 422 000 коз и 120 000 заключенных.
Доказательства использования математики в Старом Королевстве (приблизительно 2690–2180 до н.э) недостаточны, но могут быть выведены из надписей на стене около mastaba в Meidum, который дает рекомендации для наклона mastaba. Линии в диаграмме располагаются на расстоянии одной локтевой кости и показывают использование той единицы измерения.
Самая ранняя истинная математическая дата документов 12-й династии (приблизительно 1990–1800 до н.э). Московский Математический Папирус, египетский Математический Кожаный Рулон, Математические Папирусы Lahun, которые являются частью намного большей коллекции Папирусов Kahun и Берлинского Папируса 6 619 всех дат к этому периоду. Математический Папирус Rhind, какие даты к Второму Промежуточному Периоду (приблизительно 1650 до н.э), как говорят, основаны на более старом математическом тексте от 12-й династии.
Московский Математический Папирус и Математический Папирус Rhind - так называемые математические проблемные тексты. Они состоят из коллекции проблем с решениями. Эти тексты, возможно, были написаны учителем или студентом, занятым решением типичных проблем математики.
Интересная особенность Древней египетской математики - использование частей единицы. Египтяне использовали некоторое специальное примечание для частей такой как и и в некоторых текстах для, но другие части были все написаны как части единицы формы или суммы таких частей единицы. Писцы использовали столы, чтобы помочь им работать с этими частями. Египетский Математический Кожаный Рулон, например - стол частей единицы, которые выражены как суммы других частей единицы. Математический Папирус Rhind и некоторые из других текстов содержит столы. Эти столы позволили писцам переписывать любую часть формы как сумма частей единицы.
Во время Нового Королевства (приблизительно 1550–1070 до н.э) математические проблемы упомянуты в литературном Пэпирусе Анэстэзи I и Пэпирусе Вилбуре со времени измерений земли отчетов Рамзеса III. В деревне рабочего Дейр el-Медина несколько ostraca были найдены тот рекордные объемы грязи, удаленной, добывая могилы.
Источники
Нашему пониманию древней египетской математики препятствует недостаток, о котором сообщают, доступных источников. Источники, которые мы действительно имеем, включают следующие тексты, обычно датированные в Среднее Королевство и Второй Промежуточный Период:
Московский математический папирус
Египетский математический кожаный рулон
Математические папирусы Lahun
Из Нового Королевства у нас есть горстка математических текстов и надписи, связанной с вычислениями:
Папирус Anastasi я - литературный текст из Нового Королевства. Это написано как (вымышленное) письмо, написанное писцом по имени Ори, и адресовало к писцу по имени Аменемоуп. Сегмент письма описывает несколько математических проблем.
Черепок Senmut 153 - текст, написанный в культовом.
Черепок Турин 57170 является текстом, написанным в культовом.
Ostraca от Deir el-Медина содержат вычисления. Черепок IFAO 1206, например, показывает вычисления объемов, по-видимому связанных с карьерными работами могилы.
Цифры
Древние египетские тексты могли быть написаны или в иероглифах или в Культовом. В любом представлении система числа всегда давалась в основе 10. Номер 1 был изображен простым ударом, номер 2 был представлен двухтактниками, и т.д.
У
номеров 10, 100, 1000, 10,000 и 1,000,000 были свои собственные иероглифы. Номер 10 - прихрамывание для рогатого скота, номер 100 представлен намотанной веревкой, номер 1000 представлен цветком лотоса, номер 10,000 представлен пальцем, номер 100,000 представлен лягушкой, и миллион был представлен богом его руками, поднятыми в обожании.
Египетские цифры относятся ко времени Преддинастического периода. Этикетки слоновой кости из Абидоса делают запись использования этой системы числа. Также распространено видеть цифры в предложении сцен, чтобы указать на число предлагаемых пунктов. Дочь Короля Неферетиэбет показывают с предложением 1 000 волов, хлеба, пива, и т.д.
Египетская система числа была совокупной. Большие количества были представлены коллекциями глифов, и стоимость была получена, просто добавив отдельные числа вместе.
Египтяне почти исключительно использовали части формы 1/n. Одно заметное исключение - часть 2/3, который часто находится в математических текстах. Очень редко специальный глиф использовался, чтобы обозначить 3/4. Часть 1/2 была представлена глифом, который, возможно, изобразил часть полотна, свернутого в два. Часть 2/3 была представлена глифом для рта с 2 (разного размера) удары. Остальная часть частей всегда представлялась ртом, нанесенным на число.
Умножение и разделение
Египетское умножение было сделано повторным удвоением числа, которое будет умножено (сомножитель), и выбор, который из doublings, чтобы добавить вместе (по существу форма двоичной арифметики), метод, который связывается со Старым Королевством. Сомножитель был написан рядом с рисунком 1; сомножитель был тогда добавлен к себе и результату, написанному рядом с номером 2. Процесс был продолжен, пока doublings не дал число, больше, чем половина множителя. Тогда удвоенные числа (1, 2, и т.д.) неоднократно вычитались бы из множителя, чтобы выбрать, какой из результатов существующих вычислений должен быть добавлен вместе, чтобы создать ответ.
Как короткий путь для большего числа, сомножитель может также быть немедленно умножен на 10, 100, 1000,10000, и т.д.
Например, проблема 69 на Папирусе Rhind (RMP) приводит следующий пример, как будто Иероглифические символы использовались (а не фактический культовый подлинник RMP).
Обозначение промежуточных результатов, которые добавлены вместе, чтобы произвести окончательный ответ.
Стол выше может также использоваться, чтобы разделить 1120 на 80. Мы решили бы эту проблему, найдя фактор (80) как сумма тех множителей 80, которые составляют в целом 1120. В этом примере, который привел бы к фактору 10+4=14. Более сложный пример алгоритма подразделения обеспечен проблемой 66. В общей сложности 3 200 ro жира должны быть распределены равномерно более чем 365 дней.
Сначала писец удваивался бы 365 неоднократно, пока самое большое кратное число 365 не достигнуто, который меньше, чем 3 200. В этом случае 8 раз 365 2920, и дальнейшее добавление сети магазинов 365 ясно дало бы стоимость, больше, чем 3 200. Затем отмечено, что времена 365 дают нам ценность 280, нам нужно. Следовательно мы находим, что 3 200 разделенных 365 должны равняться.
Алгебра
Египетские проблемы алгебры появляются и в Rhind математический папирус и в Московском математическом папирусе, а также нескольких других источниках.
Ага проблемы включают находящие неизвестные количества (называемый как Ага), если сумма количества и часть (и) ее даны. Математический Папирус Rhind также содержит четыре из подобных проблем. Проблемами 1, 19, и 25 из Московского Папируса являются Ага проблемы. Например, проблема 19 просит, чтобы вычислил количество, взятое 1 и ½ раза, и добавила к 4, чтобы сделать 10. Другими словами, в современном математическом примечании нас просят решить линейное уравнение:
:
Решение их Ага проблемы включает технику, названную методом ложного положения. Технику также называют методом ложного предположения. Писец заменил бы начальным предположением ответа в проблему. Решение, используя ложное предположение было бы пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ при помощи этого отношения.
Математические письма показывают, что писцы использовали (наименьшее количество) общие множители, чтобы повернуть проблемы с частями в проблемы, используя целые числа. Мультипликативные факторы часто регистрировались красными чернилами и упоминаются как Красные вспомогательные числа.
Использование глазных частей Horus показывает некоторое (элементарное) знание геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников.
Квадратные уравнения
Древние египтяне были первой цивилизацией, которая разовьет и решит (квадратные) уравнения второй степени. Эта информация найдена в Берлинском фрагменте Папируса. Кроме того, египтяне решают алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математическом Папирусе Rhind.
Геометрия
Есть, только имеют ограниченное число проблем из древнего Египта та геометрия беспокойства. Геометрические проблемы появляются и в Moscow Mathematical Papyrus (MMP) и в Rhind Mathematical Papyrus (RMP). Примеры демонстрируют, что Древние египтяне знали, как вычислить области нескольких геометрических форм и объемы цилиндров и пирамид.
Треугольники: писцы делают запись проблем, вычисляя площадь треугольника (RMP и MMP).
Прямоугольники: проблемы относительно области прямоугольного земельного участка появляются в RMP и MMP. Подобная проблема появляется в Математических Папирусах Lahun в Лондоне.
Круги: проблема 48 из RMP сравнивает область круга (приближенный восьмиугольником) и его квадрат ограничения. Результат этой проблемы используется в проблеме 50, где писец находит область круглой области диаметра 9 khet.
Полушарие: проблема 10 в MMP находит область полушария.
Цилиндрические зернохранилища: Несколько проблем вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (RMP 41–43), в то время как проблема 60 RMP, кажется, касается столба или конуса вместо пирамиды. Это довольно маленькое и крутое с seked (наклон) четырех пальм (за локтевую кость). В разделе IV.3 Математических Папирусов Lahun найден объем зернохранилища с круглой основой, использует ту же самую процедуру в качестве RMP 43.
Прямоугольные зернохранилища: Несколько проблем в Московском Математическом Папирусе (проблема 14) и в Математическом Папирусе Rhind (номера 44, 45, 46) вычисляют объем прямоугольного зернохранилища.
Усеченная пирамида (frustum): объем усеченной пирамиды вычислен в MMP 14.
Seqed
Проблема 56 из RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. Эта проблема обсуждает пробег/повышение отношения, также известный как seqed. Такая формула была бы необходима для строительства пирамид. В следующей проблеме (проблема 57), высота пирамиды вычислена от основной длины и seked (египтянин для наклона), в то время как проблема 58 дает длину основы и высоты и использует эти измерения, чтобы вычислить seqed. В проблеме 59 частей 1 вычисляют seqed, в то время как вторая часть может быть вычислением, чтобы проверить ответ: Если Вы строите пирамиду с основной стороной 12 [локтевые кости] и с seqed 5 пальм 1 палец; какова его высота?
См. также
Вавилонская математика
Дополнительные материалы для чтения
Boyer, Карл Б. 1968. История математики. Джон Вайли. Перепечатка Принстон U. Нажмите (1985).
Чэйс, Арнольд Баффум. 1927–1929. Математический Папирус Rhind: Вольный перевод и Комментарий с Отобранными Фотографиями, Переводы, Транслитерации и Буквальные Переводы. 2 Классики изданий в Образовании Математики 8. Оберлин: Математическая Ассоциация Америки. (Переизданный Рестон: Национальный совет Учителей Математики, 1979). ISBN 0-87353-133-7
Clagett, Маршалл. 1999. Древняя египетская наука: исходная книга. Том 3: древняя египетская математика. Мемуары американского философского общества 232. Филадельфия: американское философское общество. ISBN 0-87169-232-5
Couchoud, Сильвия. 1993. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique. Париж: Éditions Le Léopard d'Or
Daressy, G. «Ostraca», Cairo Museo des Antiquities Egyptiennes Catalogue General Ostraca hieraques, vol 1901, номер 25001-25385.
Джиллингс, Ричард Дж. 1972. Математика во Время Фараонов. MIT Press. (Дувр переиздает доступный).
Джонсон, G., Срирэмен, B., Залцтштайн. 2012. «Где планы? Социо критический и архитектурный обзор ранней египетской математики» В Бхарате Срирэмене, Редакторе. Перекресток в Истории Образования Математики и Математики. Монографии Энтузиаста Математики Монтаны в Образовании Математики 12, Information Age Publishing, Inc., Шарлотта, Северная Каролина
Peet, Томас Эрик. 1923. Математический Папирус Rhind, британский Музей 10057 и 10058. Лондон: Университетское издательство Ливерпуля ограничило, и Hodder & Stoughton ограничила
Малиновки, Р. Гэй. 1995. «Математика, Астрономия и Календари в фараонском Египте». В Цивилизациях Древнего Ближнего Востока, отредактированного Джеком М. Сэссоном, Джоном Р. Бэйнсом, Гэри Бекманом и Карен С. Рубинсон. Издание 3 4 изданий Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Шрибнера. (Переизданный Peabody: Издатели Хендриксона, 2000). 1799–1813
Малиновки, Р. Гэй и Чарльз К. Д. Лоток. 1987. Математический папирус Rhind: древний египетский текст. Лондон: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
Sarton, Джордж. 1927. Введение в историю науки, Vol 1. Willians & Williams.
Strudwick, Найджел Г. и Рональд Дж. Лепрохон. 2005. Тексты с возраста пирамиды. Камбала-ромб академические издатели. ISBN 90-04-13048-9.
Struve, Василий Vasil'evič и Борис Aleksandrovič Тураев. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste в Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Берлин:J. Спрингер
Ван-дер-Варден, B.L. 1961. Научное Пробуждение». Издательство Оксфордского университета.
Часть папируса Ахмеса.Задачи с 49 по 55. 
Иероглифическая запись числа 35736 
Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр 
. Однако общего понятия дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}
у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы. 
; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. 
≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %)[7].. 
Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха 
