Жреческий и Магический - это два разнозначных понятия, потому что МАГ в переводе с Древне словенского и древне персидского означает ЖРЕЦ. Т.е. Магия - это Жречество. В понятиях нет Чёрной или Белой магии, как сейчас иногда называют продаваемые книги. Но есть определенные Древние Знания, только одни используют это знание для помощи другим, а другие используют это знание в свою выгоду. Так вот, та форма использования знания для помощи другим называлось Белой Магией, а когда использовались эти же знания для помощи себя и во вред другим - это называлось Чёрной Магией. Хотя сейчас уже продают книги с названиями: Серая магия, Зелёная магия Красная магия т.е. люди пользуются словами - не зная их смысла.
ЖРЕЧЕСКИЙ КВАДРАТ
Жреческих квадратов - множество.Первый квадрат заполняем по горизонтали так: 4 - 9 - 2 Сила Воли 3 - 5 - 7 Семейный Уклад 8 - 1 - 6 Решение ВопросовПочему именно таким образом заполнен первый квадрат? Потому что при сложении цифр по горизонтали, по вертикали, по диагонали, сумма трёх цифр в любом направлении вместе даёт 15 - пятнадцать, а это по харийской арифметике выдаёт цифру шесть - 6 т.к. 15 = 1+5 = 6.
666 - это Число Живущего. И вот этот квадрат определяет, что дано живущему, полное или не полное составление, что он получил при рождении.
Что человек получает при рождении?
Расшифруем сочетания цифр:492 - Сила Воли.357 - Семейный Уклад.816 - Решение Вопросов, или на современный манер - реализация общественных нагрузок. Но здесь - не только общественные, здесь - система решения вопросов.
438 - Твёрдый Жизненный стержень. Иногда его называют - Целеустремленность. Т.е. если в человеке твёрдый жизненный стержень, значит, человек имеет какую-то цель, и он к ней устремлён.
276 - Талант. Почему 276 даёт Талант? Два 2 - это Упорство. Шесть 6 - это скептицизм - это опыт. 7 - семь - это Лег - охранитель, Божья Помощь. Т.е. опыт, стремление, Божья помощь - это у нас дают талант.
456 - Любовь к ближнему 456 - нежность, любовь с элементами ревности - это любовь к ближнему.
852 - Жизнь, отмеченная Богом, т.е. человека, у которого эта диагональ совпадает, его называют - Любимчик Богов. Если в квадрате вообще нет сочетания по три т.е нет ни одной триады, это означает Свободу Выбора. Т.е. человек сам, как бы, выбирает, каким путём идти.
492 - Сила Воли. 4 - всё обдуманно, по полочкам разложено, это нам и даёт жизненный стержень. 9 - гармония полная внутренняя, 2 - упорство, с которым стремится, и
951 - гармония, любовь, созидание дают благосостояние. То есть мы не просто так пишем значения , а под каждым числом, под каждой цифрой есть Образ. Т.е. это не просто цифры, а образы. И тогда уже становится понятен смысл. 951 - Благосостояние. БЛАГО, в котором рождённый человек находился.
Итак, вы умеете высчитать свою Цифру Жизни. У нас был пример: 1943. 07. 09 = 33 = 6. (1) + (9) + (4) + (3) + (0) + (7) + (0) + (9) = (3) + (3) = (6) Вот во второй пустой квадрат мы записываем цифры из этого ряда, по одной каждую имеющуюся в ряду. Не зная часа рождения, мы уже можем сказать по пустующим клеткам, что человеку дана свобода времени.
А что, если человек родился в 11 часов вечера, т.е. в 23.00? 23 = 5 т.е. 23 соответствует. Эти цифры тоже добавляем в квадрат (зелёным цветом). Но, если, допустим, 23.54 =14=5, то из этого ряда в квадрат добавляем только цифры из 23.54 и 5, а промежуточные цифры времени рождения, в данном примере - 14, в расчётах не используются и в квадрат не добавляются.
Так, в квадрате временного рождения (т.е. даты рождения) записываются все цифры, присутствующие при вычислении цифры жизни, включая и промежуточные цифры, в данном примере 33, а также цифры времени рождения (часа рождения) без учёта промежуточных цифр, в данном примере -
Значения цифр Жреческого квадрата:
1 - это Энергия Жизни. Есть она у нас в квадрате? Есть. Она одна, поэтому мы её отмечаем - 1 т.е. это один поток энергии. Вспомните, юджизм и чакровую систему. Так вот цифры Жреческого квадрата от одного до девяти, они соответствуют девяти основным чакрам, на каждую из которых при открытии поступает определённое количество потоков энергии.
2 - это Энергия других жизненных сущностей. Есть она у нас в квадрате? Есть. Она одна, поэтому мы её отмечаем - 1. Энергия других Жизненных Сущностей - это может быть энергия, принятая от другого человека, от животного, от призрака, от Духа, от кого угодно.
3 - это Вселенская Энергия Жизни или, как её ещё называют, Космическая энергия Жизни. Её в данном примере, в дате и часе рождения, четыре штуки, поэтому отмечаем - 1111. Это означает, что Космической энергии жизни ребёнок при рождении получил четыре потока.
4 - это Творческая энергия. Здесь два потока - 11.
5 - это Энергия Любви. Здесь два потока - 11.
6 - это Энергия Интуиции. И заметьте, где находится 6-ая чакра? Слева на груди. Её иногда называют сердечной чакрой. И человек что? Сердцем чует. Интуиция подсказывает. Здесь в примере - 1 - один поток.
7 - это Энергия Чувств или Энергия Лега - охранителя. В данном примере - 1 поток.
8 - это Энергия Судьбы, на восточный манер её называют Энергия Кармы. В данном примере восьмерка при рождении была закрыта, поэтому потока нет - 0.
9 - это Энергия Разума, или как многие называют Энергия Интеллекта. В данном примере 11 - два потока.
Таким образом, мы получаем Энергетический Псипортрет данного человека: 1.Энергия Жизни - одна, т.е. один поток, копчик её принял. 2.Энергии других Жизненных сущностей - 1. Где у нас находится вторая чакра? В уровне лобка. Это так называемая половая чакра. Через неё передаются не только Образы Духа и Крови от супруга к супруге, но так же передаются сглазы, порчи, наговоры, колдовство и всякая гадость и болезни.и т.д.
ОБЕРЕГОВОЕ ЧИСЛО
Самыми Священными Числами Родов Расы Великой считаются: 3, 4, 7, 9, 16, 33, 40, 108, 144, 369. Это связано с древнейшим Наследием наших Мудрых Предков и сокровенными Знаниями всего Белого человечества, живущего на благословенной Мидгард-Земле. Каждое Священное Число имеет свой особый неповторимый характер, свою Духовную Силу, энергетическую вибрацию, структуру. Все числа связаны с определёнными событиями и явлениями в Наследии и Жизни Родов Расы Великой и их Древних Богов. Обереговое число жизни указывает на духовную и душевную характеристику человека. Оно высчитывается по славянской дате рождения и указывает на духовную основу в отличии от цифры жизни, которая указывает на эмоциональную основу.
Для первого примера:35.6.7487 ≡ 3+5 + 6 + 7+4+8+7 = (40) ≡ 4+0 ≡ 4.Т.е. сложили все числа Дня рождения до получения одного числа.
Для второго примера:9.6.7489 ≡ 9 + 6 + 7+4+8+9 = 43 ≡ (43) ≡ 4+3 ≡ 7.
Многие элементы Славянского Календаря дошли до наших дней в виде поговорок и обычаев, истоки которых, к сожалению, уже забылись. Например, Великая тризна, то есть поминовение умершего родственника, совершается через неделю (9 дней) и через месяц (40 дней), то есть на девятый и сороковой день. 7 - Семь месяцев вынашивает мать чадо во чреве своём и сорок сороков (40 - сорок месяцев) потом кормит его грудным молоком. А через 40 - сорок сороков (или четыре лета и четыре месяца) после рождения первого ребёнка у женщин наступает период жизненного совершенствования, в результате чего она становится Ведающей Матерью или ВедьМой. Сейчас под ведьмой понимается совсем другое. Через 369 недель после рождения человека начинается период его Духовного Обучения, ибо в девять лет происходит первое Великое приобщение к Древней Мудрости Богов и Предков. Когда же детям из Славяно-Арийских Родов исполнялось 12 лет (108 месяцев) и они достигали роста 7 пядей во лбу (124 см) (лоб – макушка головы, лобное место, а то, что сейчас называют лбом, называется челом, т.е. челом бьют и т.д.), для детей начинался новый этап в жизни. В 108 месяцев (или в 12 лет) наступает совершеннолетие человека, и он проходит обряды Совершеннолетия и Имянаречения, после чего мальчиков начинают обучать родовым ремеслам и воинскому искусству. А ещё через 108 месяцев, то есть в 24 лето, он, принимая Духовное освящение Священным Огнём, познает истинный смысл бытия своего Рода и истинное значение Родового имени. В 33 лето наступает время Духовного совершенствования. А в 369 месяцев или в 41 лѣто начинается эпоха Духовного Озарения. Обереговое число жизни указывает на духовную и душевную характеристику человека. Оно высчитывается по славянской дате рождения и указывает на духовную основу в отличии от цифры жизни, которая указывает на эмоциональную основу. Узнав Дату своего рождения по Славяно-Арийскому календарю для получения оберегового числа нужно сложить все числа Дня рождения до получения одного числа.
Пример: 7487.35.6 ≡ 7+4+8+7 + 3+5 + 6 = (40) ≡ 4+0 ≡ 4.Т.е. обереговое число равно 4:
1 - ПОКРОВИТЕЛЬСТВО Данная характеристика указывает на то, что человек, независимо от своего желания, проявляет покровительство, заботу тем людям, которые его окружают. Как правило, это выглядит как отеческая или материнская забота, даже если человек, на которого направлено покровительство по возрасту старше своего покровителя.
2 - УПОРСТВО Данное обереговое число указывает на то, что человек всегда стремится достичь поставленной перед собой Духовной цели.При этом он будет тянуться к людям, от которых он может получить различные полезные советы, но потом из всего этого разнообразия советов он выберет самый оптимальный и реальный, который поможет ему достичь поставленной цели. Такой человек слушает всех, всем внимательно внимает, от всех принимает советы, но при этом делает всё по-своему.
3 - УМНОЖЕНИЕ (СОЗИДАНИЕ)Человек, рождённый под этим числом, следует Древней Мудрости: "Каждый из живущих должен построить хоромы, вырастить детей и посадить сад". Сие означает, что помимо физических созидательных плодов своего труда, человек должен обрести Мудрость, собрав её в единое целое, передать эту Мудрость своим детям. Вырастить детей, чтобы эта Мудрость не прерывалась, а передавалась из Рода в Род, из Поколения в Поколение. А вот это и означало - "посадить Сад", отсюда и название "Детский Сад".
4 - НЕЖНОСТЬ И ВЛАСТНОСТЬ (Владеющий святостью) Сия характеристика указывает на духовное проникновение человека к тяготам и заботам других людей. Доброжелательность ярко проявляется через нежность к любящему человеку. При этом всё подкреплено Мудростью. Владение Мудростью не означало властность. Сейчас говорят "Владыко", т. е. чем-то владеет, а в старом понимании это человек владеющий Мудростью.
5 - ЛЮБВЕОБИЛЬНОСТЬ Это определение указывает на повышенную чувствительность человека к окружающим его людям. У этих людей постоянно возникает желание помочь другому человеку жить так, чтобы у него не было никаких проблем, ибо любвеобильный человек воспринимает окружающих как детей. Он готов отдать себя без остатка ради другого человека, а в любимом и близком человеке он растворяется полностью, ибо для этого человека любовь неделима на такие понятия как физическая, Душевная, Духовная. Для этого человека любовь является цельным образом, который в древности назывался иринирование (полное слияние).
6 - ТРУДОЛЮБИЕ Человек, живущий под этим числом, не представляет своей жизни без созидательного труда. Любое безделье вызывает у него раздражительность. Он чувствует себя полноценным человеком только творя и созидая, но все его деяния не для себя, а для других, т.к. его Душа противится накоплению материального богатства или каких-либо благ.У этих людей существует мнение: "что если то, что я создал стоит у меня, и если оно будет стоять так и дальше, то оно либо сгниёт, либо поломается, но долго не просуществует". Но если такой человек что-либо сотворил и дал людям, то это будет существовать века.
7 - МУДРОСТЬ Мудрый человек, живёт по-особому, как он живёт известно только ему. Не являясь лидером, он к каждому человеку найдёт свой особый подход и для каждого человека у него найдётся тёплое слово и полезный совет. Мудрый ставит перед собой цель, чтобы каждый человек находил ответы на поставленные вопросы. При этом он осознаёт, что дача совета несёт за собой ответственность за жизнь другого человека, и при этом он всегда пользуется (руководствуется) правилом: "То, что подходит одним, не обязательно подходит для других". Люди, которым покровительствует это число, всегда стараются жить по древней поговорке: "Умный подумает и скажет, а мудрый, подумав, промолчит и загадочно улыбнётся".
8 - ОТКРЫТОСТЬ Человек, находящийся под оберегом данного числа, всегда стремится к какой-либо цели. Считается открытым для других, но при этом всегда рядом с ним должен быть человек, который поддерживает его в его начинаниях и будет оберегать от излишних планов. "Восьмёрки" в своих идеях готовы свернуть горы и выполнить любую работу. При этом они не щадят ни себя, ни других и не понимают того, что многие их деяния попросту никому не нужны, и они тратят свои силы понапрасну.
9 - ОДУХОТВОРЁННОСТЬ Данное число ведёт человека вверх по ступеням Духовного развития. И человек, идущий по этому пути открывает для себя множество необычных светлых Миров, но, т.к. человеку дана свобода выбора, он может идти вверх Светлым путём и либо вниз Тёмным. При этом человек, соскальзывает на тяжкий путь и подвергает себя Уроку Жизни. Если человек не выберется на Светлый путь, с него снимается покровительство всех Богов и Предков. И такой человек, ощущая потерю покровителей, осознаёт неправильность выбора и старается вернуться на Светлый путь, но сделать это ему будет намного тяжелее. Знание характера человека помогает создавать Одухотворённые пары при выборе невесты или супруга. Одухотворёнными парами считаются те, у которых сумма цифр покровителей даёт "9".
www.alpha-omega.su
Макотржасский квадрат (Makotřasy observatoř) - Достояние планеты
Макотржасский квадрат (Makotřasy observatoř)
Научный обозреватель чешской газеты "Млада фронта" (Mladá fronta DNES) К. Панцер рассказал, что в начале 1961 года со строительства Северной автомагистрали археологов известили, что за 20 километров от Праги найдены остатки старинного жилья. Ученые установили, что под дорогой, возле села Макотржасы, находится большой поселок каменного века. Со временем было доказано, что общая площадь его — сто гектаров.
Археологи обнаружили огромный квадрат с воротами в середине западной и восточной его сторон. Прямая линия, которая соединяет центры ворот, указывает на место горизонта, в котором приблизительно 5,5 тысяч лет тому заходила Бетельгейзе — ярчайший звезда созвездия Орион. По этому направлению древние астрономы могли установить расположение южного прямоугольника. Прямая линия от него к восточным воротам указывает на самую северную точку восхода Луны, которая бывает раз в 18,6 года. Если из юго-западного угла квадрата смотреть в центр ворот, то взгляд будет направлен на точку зимнего солнцестояния.
Макотржасский квадрат не ориентирован ни на какую из сторон света. Прямые линии между восточными воротами и прямоугольником на южной стороне одинаковы - 302 метра. А это не что иное, как 365 мегалитических ярдов, а число 365 означает, вероятней всего, число дней в году.
Вполне понятно, что строили этот "квадрат" не новички в астрономии и геометрии. Для своего времени они обладали большими знаниями. Думается, что далеко не всё, что зашифровано в Макотржасском квадрате, учёным удалось отгадать.
Чешское издание vedmag.cz пишет о найденном "квадрате" как о "...геометрически точном языческом святилище, назначение которого еще не известно." (цитата: "geometricky přesná pohanská svatyně, jejíž účel není doposud znám").
Знаменитые задачи древности удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение
«Волгоградский социально-экономический техникум»
Индивидуальный проект
на тему «Знаменитые задачи древности удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга »
Дисциплина____Математика____
Специальность:100801 Товароведение и экспертиза качества
потребительских товаров
Выполнил:
Студентка группы Т-15
Колесникова Юлия Вадимовна
(Ф.И.О. студента)
(подпись)
«_____»_______________2016г
Руководитель:
Мишина Ирина Сергеевна
(Ф.И.О. руководителя)
(подпись)
«_____» ______________2016г.
Волгоград, 2016
Оглавление.
I. Введение………………………………………………………………3
II Основная часть……………………………………………………….5
1. Историческая справка……………………………………………5
2. Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью ………6
циркуля и линейки.
3. Попытки решения задачи другими способами………..………7
III Заключение…………………………………………………………..13
IV. Библиографический список………………………………………..15
I. Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоении куба.
Квадратура круга Трисекция угла
Задача заключается в Задача о разделении угла
построении с помощью на три равные части с
циркуля и линейки квадрата помощью циркуля и
равновеликого данному кругу. линейки.
Удвоение куба
Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба.
Разрешимость задач на построение существенно зависит от тех средств, которые разрешается использовать при построении. Древние греки использовали в классическом варианте циркуль и линейку (без делений). Три знаменитые задачи древности (квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба) неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но становятся разрешимыми, если перейти к другим средствам построения. С древних времен математики опытным путём убедились, что одни правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а построить другие никак не удается, но какие многоугольники допускают построение, а какие не допускают, оставалось неизвестным.
Цель работы:
Убедиться в неразрешимости задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки.
Задачи:
1.Изучить известные в литературе способы решения данной задачи.
2.Выполнить некоторые способы решения задачи ( с другими условиями) самостоятельно.
II. Основная часть.
1. Историческая справка
Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорийцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла, как и задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, где надо построить квадрат на диагонали заданного квадрата.
Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков: «Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей.
Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.
2. Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки.
Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба. Обозначим через а ребро данного куба и длину ребра искомого куба x.
В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной с помощью циркуля и линейки. Задача об удвоении куба возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности или трансцендентности числа . Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства.
3. Попытки решения задачи другими способами.
Так и не сумев, справится с этой задачей с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые.
ПРИМЕР 1.
Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» x и y для данных отрезков a и b, т. е. к решению уравнений a:x=x:y=y:b (при b=2a получаем x=a 3√2). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов – двух прямых углов.
ПРИМЕР 2.
Примерно в 350 г. до н. э Менехм решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения – кривые, по которым плоскости пересекают конус.
Плутарх упоминает о том, что Менехм продемонстрировал Платону механическое устройство, решающее задачу построения ребра удвоенного куба; Плутарх добавляет, что Платон решительно не одобрил смешение высокой геометрии и низкой механики.
Прокл, цитируя Эратосфена, рассказывает об открытии Менехмом конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы) и называет их «триадой Менехма». Современные названия дал впоследствии Аполлоний Пергский, сам Менехм и его последователи называли исследуемые кривые просто сечениями конуса.
Занимаясь проблемой удвоения куба, Менехм обнаружил новые кривые. Напомним, что для удвоения куба требуется извлечение кубического корня, а оно недостижимо с помощью циркуля и линейки; однако если в класс допустимых кривых (прямые и окружности) добавить конические сечения, то построение кубических корней выполнить несложно.
Сам Менехм опубликовал два способа удвоения куба: пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы; они отмечены в комментарии Евтокия Аскалонского к сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре».
Первый из упомянутых способов, в современной терминологии, означает построение пересечения парабол x2 = ay и y2 = 2ax; абсцисса результата даёт 3√2.
А второй способ заключается в том, что для решения уравнения x3 = a, мы находим точку пересечения кривых y = x2 (парабола) и (гипербола).
Наше понятие уравнения кривой было чуждо античным геометрам, однако соотношения между различными атрибутами кривой грекам были известны; они называли их симптомами. Часть этих соотношений, например, включающая проекции точек гиперболы на её асимптоты, по существу ничем не отличается от наших уравнений, правда, в косоугольной системе координат.
Есть упоминание (не подтверждаемое в других источниках), что Менехм участвовал в обучении Александра Македонского, и при этом произнёс знаменитую фразу «В геометрии нет царского пути». Впрочем, за честь быть автором этой фразы с ним соперничает Евклид, а за честь её выслушать — Птолемей I.
ПРИМЕР 3.
Древнегреческий учёный Эратосфен Киренский не упускал возможности наглядно представить математические результаты и явления, а также предложить способы получения практических решений. Например, он разработал и построил мезолябий – прибор для механического вычисления двух средних пропорциональных между двумя данными.
Мезолябий сделан из трёх одинаковых прямоугольных пластинок (из металла, дерева, картона и т.п.), легко передвигающихся по двум параллельным направляющим; на каждой пластинке проведена её диагональ, как это видно на рисунке (каждая пластинка окрашена в свой цвет).
Если задана точка М (на ребре третьей пластинки), то, перемещая пластинки, их устанавливают так, чтобы четыре точки – A, Q, P и M – расположились на одной прямой (точки P и Q суть точки пересечения диагоналей с краями других пластинок). Тогда благодаря очевидному подобию маленьких треугольника внутри треугольника AFN получаются два средних пропорциональных между величинами AF и MK:
.
В частности, если AF=2, а MK=1, то PH=3√2:
,
что, в свою очередь, позволяет решить задачу об удвоении куба.
Именно об этом способе решения знаменитой задачи писал Эратосфен царю Птолемею Эвергету:
«Нами придуман лёгкий способ решения при помощи инструментов; пользуясь им, для двух данных прямых мы можем найти только две, но и сколько угодно средних пропорциональных. После этого мы сможем вообще любой заданный ограниченный параллелограммами объём превращать в куб, одну форму преобразовывать в другую, делать подобной и увеличивать, сохраняя подобие, и жертвенники, и храмы. Также меры жидкостей и сыпучих тел… мы сможем превращать в куб и по стороне последнего измерять вместимость различных сосудов. Это изобретение будет полезно и для желающих увеличить размеры катапульт и камнемётов, так как для увеличения длины броска нужно пропорционально увеличить всё – и ширину, и втулки, и вставляемые тяжести, а этого нельзя сделать без нахождения средних пропорциональных».
Евтокий Аскалонский, комментатор сочинений Архимеда, в одном из них – «О шаре и цилиндре» поместил письмо Эратосфена как приложение. Так оно и дошло до нас. Видимо, хорошо зная, сколь недолговечны рукописи и эпистолы (письма) – он заведовал Александрийской библиотекой, – Эратосфен поместил мезолябий в храме как дар по обету, снабдив надписью – в ней изложены правила работы с прибором. И изобретение учёного уцелело для грядущих поколений.
Прародитель логарифмической линейки, мезолябий так и не стал равноправным геометрическим инструментом наряду с линейкой и циркулем.
ПРИМЕР 4.
Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров, впрочем, и построения с помощью циркуля и линейки в своё время представлялись древним египтянам и грекам полезными инструментами.
Петер Мессер предложил решение рассматриваемой задачи (Построить два отрезка с отношением длин ) с помощью оригами.
Выполним построение вместе с автором.
Сначала проведём подготовительное построение:
Построим квадрат ABCD, разделённый на три равные части складками параллельными сторонe AB. Введём обозначения.: разделяющие отрезки через p и q, а правый конец p через X.
Теперь сложим лист так, чтобы точка B легла на сторону AD, a X легла на разделяющую складку q. При этом B′, образ B, разделит сторону AD в отношении 1 : .
С практической точки зрения, приближенные построения представляют ничуть не меньший интерес, чем математически строгие. В большинстве реальных приложений, ошибки в расстояниях менее 0,5% стороны квадрата редко имеют значения. К тому же, важным критерием того или иного метода построения является его ранг — количество складок, необходимых для того, чтобы отложить заданную пропорцию. Желательно также по возможности оставить внутреннюю область квадрата не мятой, создав лишь небольшие метки по краям листа.
III. Заключение
Итак, я рассмотрела одну из трёх знаменитых задач древности. Все они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.
Хотя удвоение куба оказалось неразрешимым с помощью только циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать другие средства, например, мезолябий Эратосфена или конхоиду Никомеда, также удвоение куба можно осуществить построением с помощью плоского оригами.
Решение вышеизложенной задачи долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эта проблема привела к созданию новых, весьма замечательных направлений математической мысли.
Сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.
Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решений любители математики – среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. И даже до сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо задачи с помощью циркуля и линейки.
В итоге, все старания решить задачу при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эту задачу было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.
IV. Библиографический список.
1. Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1982. 239с.
3. Энциклопедия для детей. М.: Аванта, 2000. Математика, том 11
4. Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая (геометрия), М.: Физматгиз, 1963. 568 с.
5. Д. Я. Стройк. Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.
6. А. Петрунин. Плоское оригами и построения
kursak.net
Квадратура круга — WiKi
Круг и квадрат одинаковой площади
Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.
Если обозначить R{\displaystyle R} радиус заданного круга, x{\displaystyle x} — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x2=πR2,{\displaystyle x^{2}=\pi R^{2},} откуда получаем: x=πR≈1,77245R.{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.} Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.
История
Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга. В древнем Египте уже знали, что эта площадь (S{\displaystyle S} ) пропорциональна квадрату диаметра круга d.{\displaystyle d.} В папирусе Ринда для вычислений используется формула[1]:
Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра d{\displaystyle d} считалась равной площади квадрата со стороной 89d.{\displaystyle {\frac {8}{9}}d.} В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение π{\displaystyle \pi } равным (169)2≈3,16.{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.}
Древнегреческие математики своей задачей считали не вычисление, а точное построение искомого квадрата («квадратуру»), причём, в соответствии с тогдашними принципами, только с помощью циркуля и линейки. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед и другие.
Гиппократ Хиосский в IV веке до н. э. первым обнаружил, что некоторые криволинейные фигуры (гиппократовы луночки) допускают точную квадратуру. Расширить класс таких фигур античным математикам не удалось. По другому пути пошёл его современник Динострат, показавший, что квадратуру круга можно строго выполнить с помощью особой кривой — квадратрисы[2].
В «Началах» Евклида (III век до н.э.) вопрос о площади круга не затрагивается. Важным этапом в исследовании проблемы стало сочинение Архимеда «Измерение круга», в котором впервые строго доказана теорема: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Это означало, что если удастся осуществить «спрямление окружности», то есть построить отрезок такой же длины, то проблема будет полностью решена. Архимед также дал оценку[3] числа π{\displaystyle \pi } :
Дальнейшие исследования индийских, исламских и европейских математиков по этой теме долгое время касались в основном уточнения значения числа π{\displaystyle \pi } и подбора приближённых формул для квадратуры круга. В средневековой Европе задачей занимались Фибоначчи, Николай Кузанский и Леонардо да Винчи. Позднее обширные исследования опубликовали Кеплер и Гюйгенс. Постепенно укреплялась уверенность в том, что число π{\displaystyle \pi } не может быть точно выражено с помощью конечного числа арифметических операций (включая извлечение корня), отсюда вытекала бы невозможность квадратуры круга[4]. В 1775 году Парижская академия наук (за которой последовал ряд других академий мира) постановила не принимать к рассмотрению попытки квадратуры круга и прочих неразрешимых задач.
Иррациональность числа π{\displaystyle \pi } была доказана Ламбертом в 1766 году в работе «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга». Труд Ламберта содержал пробелы, вскоре исправленные Лежандром (1794 год). Окончательное доказательство неразрешимости квадратуры круга дал в 1882 году Линдеман (см. следующий раздел)[5]. Математики также предложили множество практически полезных способов приближённой квадратуры круга с хорошей точностью[6].
Неразрешимость
Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x2=π{\displaystyle x^{2}=\pi } , откуда: x=π{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}} . С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π{\displaystyle \pi } . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π{\displaystyle \pi } , которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи[7]. Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания R{\displaystyle R} и высотой R2{\displaystyle {\frac {R}{2}}} , намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью πR2{\displaystyle \pi R^{2}} . Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.
Из теоремы Линдемана также следует, что осуществить квадратуру круга нельзя не только циркулем и линейкой, то есть с помощью прямых и окружностей, но и с помощью любых других алгебраических кривых и поверхностей (например, эллипсов, гипербол, кубических парабол и т. п.)[8].
Приближённое решение
Метафора «Квадратура круга»
Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадёжное, бессмысленное или тщетное предприятие. См. также вечный двигатель.
См. также
Примечания
↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 10—11..
↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 24—27..
↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 30—34..
↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 97—98..
↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 144—168..
↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 188—191..
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб: ЛКИ, 2008. — С. 71. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
↑ Рудио Ф., 1936, с. 87.
↑ Можно ли построить квадратуру круга?
Литература
Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — 320 с.
Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая (геометрия), М., Физматгиз, 1963. — 568 с.
Перельман Я. И. Квадратура круга. Л.: Дом занимательной науки, 1941.
Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
Рудио Ф. О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). — Изд. 3-е. — М.—Л.: ОГИЗ, 1936. — 237 с. — (Классики естествознания).
Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов. Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever. — М.: «Диалектика», 2007. — 320 с. — ISBN 0-471-35066-4.
Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — 96 с..
Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.
ru-wiki.org
Скифский квадрат - Символизм древних культур
Загадочный «скифский квадрат», о котором нам поведал «отец истории» Геродот, не может не волновать хоть сколько-нибудь склонный к романтизму ум. Для того же, кто видит в подобном «геометризме» не древнюю фантазию, но сакральный символизм, подобное волнение более чем чувствительно.
Мы можем с полным основанием утверждать, что Скифия представляла собой сакральную империю — многонациональное государство, возглавляемое непосредственными предками восточных славян — русов, «племенами», которые занимали восточную часть праславянского мира (многие историки считают нужным говорить о наличии внутри него двух культурно-диалектных ареалов). Здесь имеется ввиду древнейшее население Приднепровья, всегда отличавшегося высоким уровнем развития материальной культуры (пашенного земледелия и ремесел), который и позволил ему стать основным центром восточного славянства во времена Киевской Руси. В 1 тыс. до н.э. Приднепровье входило в состав т.н. «Геродотовой Скифии», описанной Геродотом (5 в. до н.э.) как «квадрат», ограниченный с юга — Черным морем, с запада — Днестром, с севера — реками Конская и Донец, с востока — Доном.По нашему мнению, Приднепровье тогда представляло собой ядро могущественного скифского государства, включавшего в свой состав (в основном) славян-земледельцев (доминирующий этнос) и северных иранцев-кочевников, а также — кельтские, фракийские и балтские племена.
Наличие славянского элемента внутри Скифии отмечалось еще в 19 в. такими историками, как П.И. Шафарик и И.Е. Забелин, однако наиболее полная и систематизированная аргументация в его пользу была приведена академиком Б.А. Рыбаковым. Последний осуществил подробнейший социокультурный анализ легенды о происхождении скифов, которая дошла до нас в пересказе Геродота (записавшего ее со слов ираноязычного рассказчика). Легенда рассказывает о трех сыновьях прародителя скифов Таргитая — Липоксае (Гора-Царь), Арпоксае (Царь водных глубин) и Колаксае (Солнце-Царь). В ней фигурирует, в качестве священного предмета, плуг с ярмом, что сразу исключает ее принадлежность к собственно скифам — ираноязычным кочевникам. К ее носителям можно отнести только «скифов-земледельцев» (иначе — «скифов-пахарей») — разделение скифов на две части — кочевую и земледельческую — составляет один из важнейших элементов геродотовой системы описания скифов. Скифы-земледельцы помещаются «отцом истории» в район Среднего Приднепровья (античный историк называет их «борисфенитами», т.е. «днепрянами»), входившего в состав т.н. «чернолесской» археологической культуры (10-8 вв. до н.э.), которая удивительнейшим образом (по весьма сложной конфигурации) совпадает с зоной древнейших славянских гидронимов, т. е. может с полным основанием считаться праславянской. Последующие культуры Среднего Приднепровья, в том числе и т.н. «скифская» (7-4 вв. до н.э.), сохраняют преемственность от чернолесской. Получается, что скифско-земледельческая культура времен Геродота является славянской, следовательно, славянами являются и носители легенды.
Показательно, что скифы в указанной легенде называются еще и сколотами, а этот этноним великолепно этимологизируется на славянской основе. Очевидно, он произошел от реконструированного праславянского слова *kolo («колесо», «плуг»), восходящего к общеиндоевропейскому *kuolo, производному от глагольной основы *kuel — («двигаться», «вращаться»). В пользу славянства сколотов говорит и название самого мощного их «племени» (правильнее говорить — диалектно-бытовой группы) — паралатов. Учитывая крайнюю легкость перехода «р» в «л» и «а» в «о» его можно считать иранизированной формой этнонима «поляне», естественно, звучащего в 1 тыс. до н.э. несколько иначе, очевидно — палы (некие палы — спалы — спалеи локализуются в Северном Причерноморье Диодором Сицилийским в 1 в. до н.э., Плинием Младшим в 1 в. н.э. и Иорданом в 5 в.)
Методология Рыбакова позволяет значительно приблизиться к истине, однако она имеет существеннейший изъян. Уважаемый академик слишком много внимания уделяет различиям между славяно-скифами и скифо-иранцами, делая это в ущерб их сходству. А между тем, сам Геродот считал нужным именовать сколотами (признавая этот синоним самоназванием) всех скифов и приписывать всем им (как земледельцам, так и кочевникам) одну этногенетическую легенду. Конечно же, такой подход во многом неправомерен, т.к. он, в свою очередь, игнорирует факты этнического различия, существовавшего внутри Скифии. (Сам этноним «скифы» — греческого происхождения. Так называли эллины всех жителей Скифии вообще, и кочевников-иранцев в частности. Очевидно, оно получило столь широкое распространение, что его стали использовать как славяне, так и северные иранцы, чье исконное самоназвание — «саки»). Вместе с тем нельзя не допустить наличие какой-то причины, заставившей Геродота пойти на подобное объединение.
Такая причина, безусловно, была. Скифское единство и в самом деле следует считать исторической действительностью, только не этнической, а социальной, точнее — социально-политической. Очень часто историки упускают из виду то, что определенный термин может иметь одновременно и этническое, и социальное значение. Здесь наблюдается наличие двух значений одного того же слова: исследователь имеет дело и со сколотами как народом (славянским), и со сколотами, выступающими в качестве поданных единого многонационального государства имперского типа.
Именно таким государством была Геродотова Скифия. Это утверждение многим покажется неправдоподобным, однако, при внимательном рассмотрении проблемы любой непредвзятый наблюдатель придет к выводу, что только оно и является единственно правильным. Во-первых, сам Геродот описывает Скифию как нечто единое. Вряд ли здесь достаточно наличие лишь культурного единства, слишком уж четко отграничен от других регионов знаменитый «квадрат», называемый «отцом истории» «великой страной». Кроме того, культура не могла бы стать главным фактором, объединяющим славян и скифо-иранцев. Геродот сообщает, что для борьбы с Дарием скифы выставили 400-тысячное войско. Для создания такой армии необходимо политическое единство и весьма многочисленное население. Во-вторых, только признав существование единого скифского (сколотского) государства, можно объяснить почему Геродот приписывает легенду славян-земледельцев всем обитателям «квадрата». Совершенно очевидно, что он просто исходил из наличия их гражданского единства. Зная о том, что: 1) сколоты — самоназвание славян, доминирующих в военно-политическом отношении; 2) сколоты — название всех граждан Скифии; он объединил эти два значения в одно, и не стал особо вдаваться в этнические тонкости, приписав этому «одному» конкретную славянскую легенду. Подобным образом, поступают, скажем, современные французы или немцы, считая татарина или чукчу русскими — они имеют ввиду принадлежность к Российскому государству, не утруждая себя разделением на конкретные этносы.Государство, конечно же, могло быть только славянским, т.е. славяне-сколоты доминировали в военно-политическом и экономическом отношении. Лишь славянское Приднепровье с его богатейшей земледельческой и ремесленной культурой, с мощными городищами и укрепленными крепостями имеет право претендовать на роль этнического «ядра», цементирующего всею имперскую многонациональную систему, известную как Скифия.
Примерную дату его возникновения определить достаточно легко. Геродот дает вполне конкретный ориентир — согласно «отцу истории» три брата прародителя жили за тысячу лет до прихода на скифские земли войск персидского царя Дария, т.е. где-то в 16 в. до н.э. (Кстати, именно этим временем археологи датируют появление славян в районе Приднепровья.) Тогда и было создано мощное славянское государство — царство сколотов.
Мы предлагаем обратить особое внимание на слово «царство», которое нужно понимать именно в плане наличия у сколотов монархической государственности. Скифские цари, о которых столько много пишут античные авторы, не были племенными вождями, как то утверждается многими представителями «официальной» науки, давно уже обуянной идеей фикс — принизить любую древность. Достаточно взять для примера скифского царя Атея, объединившего, по данным Страбона, земли от Дона до Дуная. Атей вел себя как равный на переговорах с царем Филиппом II Македонским и чеканил собственную монету.
Вряд ли столь обширная скифская территория, заселенная разными народами (по данным письменных источников и археологии в интересующем нас регионе проживали еще фракийцы и кельты), управлялась посредством варварской системы т.н. «военной демократии», предусматривающей власть народного собрания (веча, тинга и т.д.). Еще менее вероятно, что варварская «демократия» была способной к организации столь длительной и победоносной военной экспансии, которая характерна для скифов. Известно, что скифы 28 лет господствовали в Передней Азии, собирая дань с тамошних народов. Прекратить их господство смог только мидийский царь Киаксар, заманивший сколотских вождей на пир и вероломно их убивший. Но даже отступавшее, лишенное предводителей войско сколотов сумело разгромить государство Урарту. Сколоты участвовали в разгромных походах на Ассирию, дошли до границ Египта, чей правитель поспешил умилостивить их богатыми дарами и «мольбами убедил далее не продвигаться» (Геродот).
В 5 в. до н.э. персидский царь Дарий I двинул на Скифию 700 тысячное войско, однако, так и не смог покорить сколотов, отступив с позором. Характерно, что скифы сумели выставить против него 400 тысяч бойцов. Через сто лет попытку завоевать Скифию предпринял Филипп II — отец знаменитогоАлександра Македонского. В исторической литературе почему-то бытует мнение, что он разгромил Скифское царство, но римский автор Помпоний Мела сообщает: «Некогда два царя, осмелившиеся не покорить Скифию, а только войти в нее, именно — Дарий и Филипп — с трудом нашли путь оттуда».
Получается, Филипп был сам разбит скифами. При этом Помпоний в другом месте своего сочинения сообщает уже о том, как скифы «были побеждены хитростью Филиппа». Тут имеет место быть либо произвольная правка текста кем-то из переписчиков, либо изложение двух, отличных друг от друга событий. Вероятнее всего второе — Филипп не одерживал победы над сколотами, ее одержал его сын Александр Македонский, ходивший на них походом в правление своего отца (об этом сообщает Геродот). Просто было осуществлено два похода — один, неудачный, возглавлял Филипп, другой, удачный (приписываемый Филиппу) — его гениальный сын.Кстати, уже в правление Александра Македонского, скифы нанесли поражение его полководцуЗопириону. Римлянин Помпей Трог рассказывает: «…Зопирион, оставленный Александром Великим в качестве наместника Понта, полагая, что его признают ленивым, если он не совершит никакого предприятия, собрал 30 тысяч войска и пошел войной на скифов, но был уничтожен со всей армией…»
Сколоты устраивали походы и на запад. Они доходили до Центральной Европы. Наконечники скифских стрел в большом количестве находят на месте современного Берлина. В 1 тыс. до н.э. здесь проживали племена т.н. «лужицкой археологической культуры», которую многие археологи считают праславянской. Скорее всего войны скифов с лужичанами преследовали цель объединения восточного и западного ареалов древнейшего славянства под скипетром сколотских царей.
Перед взором исследователя предстает не типичная варварская экспансия (подобная экспансии кельтов и германцев), но широкомасштабное геостратегическое распространение имперского этноса, управляемого царями, которые, к слову сказать, опирались на сформировавшуюся прослойку военной знати — археологические раскопки в древнем Приднепровье (1 тыс. до н.э.) позволяют говорить о наличии в крае богатейшей и влиятельной прослойки знатных людей (Помпей Трог пишет о неких скифских вельможах).Скифское царство пало под натиском сарматских кочевых орд в 3 в. до н.э., однако, приднепровская государственно-политическая традиция не прекратилась. Не позднее 4 в. н.э. поляне (паралаты-палы-спалы-спалеи) устанавливают новую империю, подчеркивая ее преемственность от Скифии. Во «Велесовой книге» об этом сказано следующее: «…Русь поднялась своей силою и отразила гуннов, сотворив Край Антов и Скуфь Киевскую». (дощ. II 7 в.) Скуфь Киевская (Великая Скуфь, о которой писали византийцы) — это известное всем со школьной скамьи государство Киевская Русь. Оно возникло вовсе не в 8 — 9 вв., как уверяет академическая наука, но гораздо раньше.
Скифское царство, описывается Геродотом как геометрически правильный квадрат. Это всегда вызывало недоумение у историков, воспитанных в духе рационализма и склонных обвинять «отца истории» в фантазировании или использовании фантастических сведений. На самом же деле Геродот имел ввиду не военно-политические, а сакральные границы Скифии — первые, безусловно, могли не совпадать со вторыми — действительно, крайне сложно расселяться в пределах точно очерченной геометрической фигуры. Зато сравнительно легко очертить сакральные пределы государства, указывая тем самым на его основу, существующую в виде некоей территории, символизирующей определенные небесные, потусторонние реалии.Что же символизировал сколотский тетрагон? Для ответа на поставленный вопрос нужно вспомнить о древнейшей, сакральной «геометрии», использующей четкость фигур в целях характеристики символического значения основных территориальных единиц — страны и города. Вообще, страна в системе традиционного мировоззрения всегда воспринималась как продолжение главного, столичного города — в принципе, их считали чем то тождественным. От этого отождествления и произошло русское «гражданин» (ср. со словом «град») и английское «citizen» (ср. со словом «сity» — «город»). И страна, и город представлялись чем-то строго очерченным, ограниченным, отгороженным. И здесь уже прослеживается связь слов «город» и «сад» («огород»), сам город представлялся как образ небесного, райского сада. Город и страна символизировали рай, а их геометрическая форма (если таковая имела место быть) конкретизировала данный символизм, «графически» выражая отгороженность небесной обители от инфернального хаоса. Для этого обычно использовались — либо круг, либо квадрат. Именно в виде последнего римляне представляли себе город Ромула, называя его «квадратным Римом». Для нас, как для граждан Третьего Рима это совпадение римской и скифской геометрий особенно важно. Квадратным представляют и Новый Иерусалим. Теперь к указанному символизму можно смело причислить и скифский тетрагон, который обладал для сколотов огромным сакральным значением.
В одной из самых глубоких своих работ — «Царстве количества и знамениях времени» — Рене Генон блестяще сопоставил символизм двух геометрических форм — круговой и квадратной, связав первую из них с растительным символизмом рая-сада, а вторую с минеральным символизмом священного эсхатологического града. Им же было отмечено их сущностное единство, взятое в динамике — изначальная сферичность мира в ходе инволюции и отвердения приобретает кубическую форму минерала, выражая реализацию всех возможностей. «Можно сказать, — утверждал Генон, — что сам круг окончательно превращается в квадрат, потому что два конца должны соединиться или, скорее… в точности соответствовать друг другу; само присутствие «Древа Жизни» в центре в обоих случаях как раз указывает на то, что речь идет, в действительности, о двух состояниях одной и той же вещи: квадрат здесь изображает исполнение возможностей цикла, которые заключались в зародыше в «органической ограде» вначале и которые таким образом стабилизировались и были зафиксированы в некотором смысле в окончательное состояние по крайней мере в отношении к самому циклу». Само отвердевание мира в соответствии с подобной трактовкой приобретало характер чего-то двухаспектного — положительного (реализация возможностей) и отрицательного (материализация). Касаясь первого аспекта, связанного с символизмом эсхатологического града, Генон счел нужным говорить о «минерале уже «преображенном» или «сублимированном», так как в описании «Небесного Иерусалима» фигурируют драгоценные камни…» В такой оптике скифский квадрат приобретает четко выраженное эсхатологическое значение. Вообще, если исходить из мысли, что Россия (Русь) есть Скифия (Великая Скуфь), то становится лучше понятно предсказание св. Иоанна Кронштадского, видевшего как наша страна станет престолом Господа во время Его Второго Пришествия. Древняя, еще языческая, Скифия выступает прообразом нового, христианского, третьего Рима и грядущего Нового Иерусалима — Царства Небесного.
Сакральное значение Скифии признавали не только сколоты, но и другие народы. Например — греки, которые теснейшим образом связывали Скифию со священным для них нордическим народом гипербореев — жителей Золотого Века. При этом сами гипербореи либо отождествлялись со скифами (особую ценность имеет рассказ Ямблиха об ученике Пифагора скифе Абарисе, являвшемся также и гипербореем), либо представлялись народом, который граничит с Гипербореей на севере и непосредственно воспринимает от нее все священные дары, отправляемые в Грецию на остров Делос — особым почитателям солнечного бога Аполлона — покровителя загадочных северян. Некоторые античные авторы уверяли, что скифы живут на побережье некоего Северного или Кронийского океана. Здесь также очевидна связь с Золотым Веком, ибо Кронос был его повелителем. Эллины представляли его священным властелином, спящим посреди великого северного океана на чудесном острове, в котором легко угадывается древний пра-материк — Гиперборея.
Для многих последняя версия, отстаиваемая Геродотом и многими другими античными исследователями, маловероятна, вернее, маловероятно наличие в античное время такого народа, как гипербореи. Действительно, вряд ли тогда могли жить люди, не ведающие печали и не подверженные смерти от старости, а ведь именно такими качествами наделяли гипербореев античные авторы. Качества эти больше подходят жителям Золотого Века, который разные традиции считали временем изначального могущества, близкого к райскому. Описывая чудесную жизнь гипербореев, их воздушные полеты и медные дожди, эллины определенным образом преодолевали тоску по человеческому совершенству, утерянному «во время оно», приписывая это совершенство якобы реально существующему северному народу. А вот то, что с этим народом теснее всего связывали именно сколотов весьма показательно. (Эллины наделяли гиперборейскими чертами действительно существующий этнос скифо-славян. Гиперборейские мистерии, описанные Геродотом, замкнуты на земледельческом культе, следовательно возможность отождествления гипербореев с ираноязычными скифами-номадами следует полностью исключить.)
Славяне сохранили больше архетипических черт древнего, изначального могущества Гипербореи и ее прямой наследницы — Арианы — империи ариев-индоевропейцев. Это может подтвердить даже современная наука, накопившая достаточно данных из областей мифологии, лингвистики, антропологии и т.д. Сегодня русские ученые убедительно доказали, что праславянская диалектная группа занимала центральное положение в общеиндоевропейском этническом массиве и в силу этого видоизменилась весьма незначительно. Тому есть многочисленные подтверждения.
Особенно хотелось бы выделить интереснейшее исследование Ю.Д. Петухова «Дорогами богов». Внимательнейшим образом проанализировав древнейшие арийские мифы, автор пришел к выводу — т.н. «основной миф» индоевропейской мифологии, повествующей о схватке Громовержца со змеевидным противником, у славян сохранился наиболее полно, в своем самом архаичном варианте. То же можно сказать и о других мифах.В области этимологии к потрясающим результатам пришел академик О.Н. Трубачев («Этногенез и культура древнейших славян»). Он привел убедительнейшие аргументы в пользу того, что прародина славян совпадала с одной из прародин индоевропейцев. Праславяне, по его мнению, представляли собой этнокультурное «ядро» древнего арийства и когда началась миграция отделившихся «диалектных» групп, оно осталось на прежнем месте, сохранив наибольшее количество древнейших черт. Потом, конечно, началась и миграция славян, но это произошло намного позже.
Сказанное выше косвенно подтверждают новейшие антропологические исследования. Меня особенно заинтересовала гипотеза В.П. Бунака («Происхождение русского народа по антропологическим данным»), согласно которому русские антропологические варианты восходят к некоему древнейшему антропологическому слою, относящемуся к ранненеолитическому и мезолитическому времени. Этот слой был назван им «древним восточноевропейским».
Со своей стороны я могу предложить еще и такой аргумент. Известно, что до 6 в. н.э. наши пращуры вообще не пользовались названием «славяне». На основании этого некоторые узколобые догматики даже стали отрицать наличие самих славян в предшествующий период. А что, скажите на милость, мешало им использовать другой этноним? Они его и использовали. За доказательством надо обратиться к готскому историку Иордану. По его данным, во времена, предшествующие распаду праславян на три ветви, они назывались одним именем — венеды. Но уже в 6-м веке, когда распад только начался, славяне известны Иордану под тремя именами: венетов (западная ветвь), антов (восточная ветвь) и склавинов (южная ветвь).
Само слово «венед» восходит ко временам индоевропейского единства. Это выяснил польский топонимист С. Роспонд, сопоставивший три этнонима: «венеты», «анты» и «вятичи». Оказывается, все они должны быть сведены к общеиндоевропейскому корню «ven».
Очевидно, венетами именовали себя и сами индоевропейцы периода единства. В связи с этим очень интересно утверждение скандинавского автора Снорри Стурлусона о том, что в древности вся Европа именовалась Энетией, т.е. Страной энетов или венетов. Вывод здесь напрашивается вполне однозначный: праславяне, в отличие от других арийских народов, сохранили старый этноним и после распада самой арийской общности. Они сохраняли его и после разделения на три ветви, при этом лишь несколько видоизменив. Западные славяне называли себя абсолютно по старому — венедами, южные — склавинами, т.е. «посланцами народа венедов» (ср. со старосл. «слы, склы» — послы), а восточные — антами, используя одну из форм этнонима «венед» («Вантит» — государство славян-вятичей, описываемое арабами). Общий этноним «славяне», скорее всего, заимствован именно у южных венедов, которые некогда практиковали чрезвычайно активную миграцию.По всему получается, что после выделения из индоевропейского массива периферийных «диалектов» протославянское ядро претерпело минимальные видоизменения. В некотором смысле можно даже отождествить древнюю арийскую солнечную расу и русских — естественно, не скатываясь при этом в шовинистическое болото отвратительной розенберговщины.
Не удивительно, что именно на территории России находилась древнейшая арийская прародина. На этом стоит задержаться подольше.
В последнее время многие историки больше склоняются к признанию наличия нескольких «прародин». Весьма интересна в данном отношении уже упоминавшаяся монография Сафронова. Историк убедительно доказал — было несколько общеиндоевропейский миграционных потоков по линии Малая Азия — Балканы — Подунавье. В этих регионах и находились прародины индоевропейцев.
В целом согласившись с точкой зрения Сафронова, привлекшего обширный фонд археологических и лингвистических источников, не могу не заметить, что его концепция совершенно игнорирует данные индоевропейской мифологии, свидетельствующие о наличии изначальной, арктической прародины. Ни один из мифологических источников не указывает на Малую Азию, ни на Балканы, ни на Подунавье, хотя индоевропейцы жили и там. Вполне естественно, ведь конечные точки миграций не могли обладать таким сакральным значением, каким обладает изначальная прародина — место, где этнос возник и стал самим собой.В поисках этой изначальной страны нужно обратиться к т.н. «арктической теории». Ее основатели — Б. Тилак и Е. Елачич привлекли в своих работах многочисленные выдержки из индоарийской «Ригведы» и иранской «Авесты», описывающих явления, более подходящие для приполярных областей России, чем для Индии и Ирана. Например, в гимнах «Ригведы» и «Авесты» говорится о том, что на родине предков день длится полгода и столько же — ночь.
Священные тексты настаивают на расположении блаженной страны предков за великими и бескрайними горами (хребты Меру и Хару). Именно с этих гор текут все великие земные реки, направляющие ход и на юг, и на север, в белопенное море. Древние греки и индоиранцы тоже знали о существовании гигантских северных гор, тянущихся, по их мнению, с запада на восток. Эллины называли их Рипейскими горами и заселяли области, лежащие за ними, гиперборейцами.
Для этого надо найти расположение священных арийских гор. Вряд ли их нужно искать на Урале, следуя за некоторыми исследователями (Г.М. Бонгард-Левин, Э.А. Грантовский). Уральские хребты ориентированы строго с юга на север, в отличии от интересующих нас гор. Кроме того, отроги Урала никак нельзя отождествить с границей, которая разделяет земные воды на текущие в северное море и впадающие в море теплое, южное. Отметив эти и некоторые другие моменты, С. Жарникова, автор замечательной работы «Древние тайны Русского Севера», решила соотнести великие арийские горы с Северными Увалами — высотной аномалией Русской равнины. Скорее всего, они действительно тождественны и Меру, и Хару, и Рипеям, поскольку отвечают нескольким условиям.
Во-первых, Северные Увалы являются главным водоразделом северных и южных рек, а также бассейнов Белого (белопенного) и Каспийского морей. Во-вторых, с них берет свое начало Северная Двина («двойная»), которую вполне можно сравнить с авестийской рекой Ардви (тоже переводимой как «двойная»), впадающей в белопенное море. И, наконец, в-третьих, на Северных Увалах (60 с.ш.) уже можно наблюдать год, разграниченный на темную и светлую половины.
Древнейшая Индоевропа находилась на территории современной России. И это не случайно — такова мистика Истории, таков символизм священной географии. Русь — это не только Третий Рим, это еще и Вторая Гиперборея, Вторая Арьяварта, Вторая Туле. Земля, где звезды полубогов, уснувших на севере, зажгли огонь священной крови ариев.
Эллины были правы и тогда, когда отождествляли скифов с гипербореями, и тогда, когда помещали первых рядом с последними. Изначальная священная земля — Гиперборея — не исчезла, она просто покинула сугубо физический план, переместившись в область, срединную между материальным и духовными мирами. Она и видима, и невидима, то есть ее можно увидеть, однако это очень трудно и для этого нужно достигнуть не только географического Севера, но еще и Севера духовного: «Ни сушей, ни морем не найдешь ты дороги в Гиперборею» (Пиндар). Новгородский епископ Василий Калика в своем письме к тверскому владыке Федору утверждает о существовании наряду с небесным («мысленным») раем рая земного, невидимого для обычных людей. По мысли новгородского владыки рай сей находится где-то на севере, на высоких горах. Он осиян небывалой красой — «многочасьтным» светом — а на вершине одной из гор чудесной лазоревой краской написан Деисус (изображение Христа, Богородицы и Иоанна Крестителя). До путешественников, сумевших, в силу духовной чистоты, добраться до чудесной северной земли и увидеть ее красоты, доносились сладчайшее пение и веселые возгласы.
И если Скифия-Россия есть новая Гиперборея, то она должна сохранять черты своей предшественницы. Мы также и «видимы», и «невидимы». Видимы для тех, кто в силу своего духовного чутья способен узреть нас и невидимы для духовно слепых. Таких более, чем достаточно и очень часто Россия просто выпадает из поля зрения «мировой общественности», выпадает как субъект и рассматривается только как некоторая территория, населенная дешевой рабочей силой и заполненная огромными запасами сырья. Еще и в древности о наших предках славянах писали немного (хотя то, что написано потрясает и заставляет о многом задуматься) — несмотря на обильнейшее расселение их по всей ойкумене (Прокопий Кесарийский приводил одно из древнейших названий славян — «споры», т.е. рассеянные). «Невидимой» была сама имперская основа славянства — Гиперборейская Скифия.
И тогда, и сегодня русских как бы нет…
Но мы есть. Не случайно в России так любят легенду о граде Китеже. Подобно ему, мы находимся в некоем сокрытии, но часто из под толщи спасительных вод вселенского Светлояра доносится музыка сфер — колокольный звон и выстрелы русских танков.
«Да, скифы мы…»
Источник
Понравился материал? Поделитесь, пожалуйста, ссылкой в социальных сетях:
< Назад
Вперёд >
www.symbolizm.ru
Индивидуальный проект на тему «Знаменитые задачи древности удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга »
Оглавление.
I. Введение………………………………………………………………3
II Основная часть……………………………………………………….5
1. Историческая справка……………………………………………5
2. Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью ………6
циркуля и линейки.
3. Попытки решения задачи другими способами………..………7
III Заключение…………………………………………………………..13
IV. Библиографический список………………………………………..15
I. Введение
Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: о квадратуре круга, о трисекции угла, об удвоении куба.
Квадратура круга Трисекция угла
Задача заключается в Задача о разделении угла
построении с помощью на три равные части с
циркуля и линейки квадрата помощью циркуля и
равновеликого данному кругу. линейки.
Удвоение куба
Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба.
Разрешимость задач на построение существенно зависит от тех средств, которые разрешается использовать при построении. Древние греки использовали в классическом варианте циркуль и линейку (без делений). Три знаменитые задачи древности (квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба) неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но становятся разрешимыми, если перейти к другим средствам построения. С древних времен математики опытным путём убедились, что одни правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а построить другие никак не удается, но какие многоугольники допускают построение, а какие не допускают, оставалось неизвестным.
Цель работы:
Убедиться в неразрешимости задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки.
Задачи:
1.Изучить известные в литературе способы решения данной задачи.
2.Выполнить некоторые способы решения задачи ( с другими условиями) самостоятельно.
II. Основная часть.
1. Историческая справка
Считают, что задача об удвоении куба появилась во времена пифагорийцев, около 540 г. до н. э. Возможно, она возникла, как и задачи об удвоении квадрата, которую легко решить, опираясь на теорему Пифагора, где надо построить квадрат на диагонали заданного квадрата.
Согласно легенде, жители Афин, на которых боги ниспослали эпидемию чумы, отправили делегацию к оракулу на остров Делос за советом, как задобрить богов и избавиться от морового поветрия. Ответ был таков: «Удвойте жертвенник храма Аполлона, и чума прекратится». Жертвенник имел кубическую форму. Афиняне решили, что задание простое, построили новый жертвенник, с вдвое большим ребром. Однако чума только усилилась. Вторично обратились к оракулу и получили ответ: «Получше изучайте геометрию». История умалчивает о том, как удалось умилостивить богов, но чума в конце концов покинула город. А задачу об удвоении куба стали называть делосской задачей.
Известна и другая легенда. Греческий комментатор VI в. до н. э. сообщает о письме, предположительно написанном царю Птолемею I. В нём говорится, что царь Минос построил на могиле сына надгробие кубической формы, но остался недоволен размерами памятника и приказал удвоить его, увеличив вдвое ребро куба. Комментатор указывает на ошибку царя Миноса (площадь поверхности памятника в результате увеличилась в четыре, а объём в восемь раз) и рассказывает, что тогда геометры попытались решить эту задачу.
2. Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки.
Задача заключается в построении куба, имеющего объём, вдвое больший объём данного куба. Обозначим через а ребро данного куба и длину ребра искомого куба x.
В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной с помощью циркуля и линейки. Задача об удвоении куба возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины . Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности или трансцендентности числа . Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства.
3. Попытки решения задачи другими способами.
Так и не сумев, справится с этой задачей с помощью циркуля и линейки, греки попробовали применить другие инструменты, механизмы и даже специальные кривые.
ПРИМЕР 1.
Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» x и y для данных отрезков a и b, т. е. к решению уравнений a:x=x:y=y:b (при b=2a получаем x=a 3√2). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов – двух прямых углов.
ПРИМЕР 2.
Примерно в 350 г. до н. э Менехм решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения – кривые, по которым плоскости пересекают конус.
Плутарх упоминает о том, что Менехм продемонстрировал Платону механическое устройство, решающее задачу построения ребра удвоенного куба; Плутарх добавляет, что Платон решительно не одобрил смешение высокой геометрии и низкой механики.
Прокл, цитируя Эратосфена, рассказывает об открытии Менехмом конических сечений (эллипса, параболы и гиперболы) и называет их «триадой Менехма». Современные названия дал впоследствии Аполлоний Пергский, сам Менехм и его последователи называли исследуемые кривые просто сечениями конуса.
Занимаясь проблемой удвоения куба, Менехм обнаружил новые кривые. Напомним, что для удвоения куба требуется извлечение кубического корня, а оно недостижимо с помощью циркуля и линейки; однако если в класс допустимых кривых (прямые и окружности) добавить конические сечения, то построение кубических корней выполнить несложно.
Сам Менехм опубликовал два способа удвоения куба: пересечением двух парабол или пересечением параболы и гиперболы; они отмечены в комментарии Евтокия Аскалонского к сочинению Архимеда «О шаре и цилиндре».
Первый из упомянутых способов, в современной терминологии, означает построение пересечения парабол x2 = ay и y2 = 2ax; абсцисса результата даёт 3√2.
А второй способ заключается в том, что для решения уравнения x3 = a, мы находим точку пересечения кривых y = x2 (парабола) и (гипербола).
Наше понятие уравнения кривой было чуждо античным геометрам, однако соотношения между различными атрибутами кривой грекам были известны; они называли их симптомами. Часть этих соотношений, например, включающая проекции точек гиперболы на её асимптоты, по существу ничем не отличается от наших уравнений, правда, в косоугольной системе координат.
Есть упоминание (не подтверждаемое в других источниках), что Менехм участвовал в обучении Александра Македонского, и при этом произнёс знаменитую фразу «В геометрии нет царского пути». Впрочем, за честь быть автором этой фразы с ним соперничает Евклид, а за честь её выслушать — Птолемей I.
ПРИМЕР 3.
Древнегреческий учёный Эратосфен Киренский не упускал возможности наглядно представить математические результаты и явления, а также предложить способы получения практических решений. Например, он разработал и построил мезолябий – прибор для механического вычисления двух средних пропорциональных между двумя данными.
Мезолябий сделан из трёх одинаковых прямоугольных пластинок (из металла, дерева, картона и т.п.), легко передвигающихся по двум параллельным направляющим; на каждой пластинке проведена её диагональ, как это видно на рисунке (каждая пластинка окрашена в свой цвет).
Если задана точка М (на ребре третьей пластинки), то, перемещая пластинки, их устанавливают так, чтобы четыре точки – A, Q, P и M – расположились на одной прямой (точки P и Q суть точки пересечения диагоналей с краями других пластинок). Тогда благодаря очевидному подобию маленьких треугольника внутри треугольника AFN получаются два средних пропорциональных между величинами AF и MK:
.
В частности, если AF=2, а MK=1, то PH=3√2:
,
что, в свою очередь, позволяет решить задачу об удвоении куба.
Именно об этом способе решения знаменитой задачи писал Эратосфен царю Птолемею Эвергету:
«Нами придуман лёгкий способ решения при помощи инструментов; пользуясь им, для двух данных прямых мы можем найти только две, но и сколько угодно средних пропорциональных. После этого мы сможем вообще любой заданный ограниченный параллелограммами объём превращать в куб, одну форму преобразовывать в другую, делать подобной и увеличивать, сохраняя подобие, и жертвенники, и храмы. Также меры жидкостей и сыпучих тел… мы сможем превращать в куб и по стороне последнего измерять вместимость различных сосудов. Это изобретение будет полезно и для желающих увеличить размеры катапульт и камнемётов, так как для увеличения длины броска нужно пропорционально увеличить всё – и ширину, и втулки, и вставляемые тяжести, а этого нельзя сделать без нахождения средних пропорциональных».
Евтокий Аскалонский, комментатор сочинений Архимеда, в одном из них – «О шаре и цилиндре» поместил письмо Эратосфена как приложение. Так оно и дошло до нас. Видимо, хорошо зная, сколь недолговечны рукописи и эпистолы (письма) – он заведовал Александрийской библиотекой, – Эратосфен поместил мезолябий в храме как дар по обету, снабдив надписью – в ней изложены правила работы с прибором. И изобретение учёного уцелело для грядущих поколений.
Прародитель логарифмической линейки, мезолябий так и не стал равноправным геометрическим инструментом наряду с линейкой и циркулем.
ПРИМЕР 4.
Искусство складывания из бумаги, или оригами, насчитывает уже несколько сотен лет. В последние десятилетия в данном виде искусства стали использоваться достижения математики. Подобные исследования занимаются вопросами различных геометрических построений и во многом похожи на соответствующий раздел математики — построения с помощью циркуля и линейки. Помимо этого, математика оригами решает вопрос о возможности плоского складывания, а также вопрос о возможности твердого складывания какой-либо модели. Данные работы, кроме чисто академического интереса для математиков имеют и практическую ценность как для оригамистов, так и для инженеров, впрочем, и построения с помощью циркуля и линейки в своё время представлялись древним египтянам и грекам полезными инструментами.
Петер Мессер предложил решение рассматриваемой задачи (Построить два отрезка с отношением длин ) с помощью оригами.
Выполним построение вместе с автором.
Сначала проведём подготовительное построение:
Построим квадрат ABCD, разделённый на три равные части складками параллельными сторонe AB. Введём обозначения.: разделяющие отрезки через p и q, а правый конец p через X.
Теперь сложим лист так, чтобы точка B легла на сторону AD, a X легла на разделяющую складку q. При этом B′, образ B, разделит сторону AD в отношении 1 : .
С практической точки зрения, приближенные построения представляют ничуть не меньший интерес, чем математически строгие. В большинстве реальных приложений, ошибки в расстояниях менее 0,5% стороны квадрата редко имеют значения. К тому же, важным критерием того или иного метода построения является его ранг — количество складок, необходимых для того, чтобы отложить заданную пропорцию. Желательно также по возможности оставить внутреннюю область квадрата не мятой, создав лишь небольшие метки по краям листа.
III. Заключение
Итак, я рассмотрела одну из трёх знаменитых задач древности. Все они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой.
Хотя удвоение куба оказалось неразрешимым с помощью только циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать другие средства, например, мезолябий Эратосфена или конхоиду Никомеда, также удвоение куба можно осуществить построением с помощью плоского оригами.
Решение вышеизложенной задачи долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки. Не поддаваясь решению, эта проблема привела к созданию новых, весьма замечательных направлений математической мысли.
Сама постановка задачи – «доказать неразрешимость» – была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.
Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решений любители математики – среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. И даже до сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо задачи с помощью циркуля и линейки.
В итоге, все старания решить задачу при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эту задачу было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии.
IV. Библиографический список.
1. Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1982. 239с.
3. Энциклопедия для детей. М.: Аванта, 2000. Математика, том 11
4. Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая (геометрия), М.: Физматгиз, 1963. 568 с.
5. Д. Я. Стройк. Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.
6. А. Петрунин. Плоское оригами и построения
kursak.net
Древние знания - КУБ и КВАДРАТ
Форма расположения точек пересечения окружностей в Цветке жизни, позволяет увидеть в них фигуру гексаэдр. Гексаэдр или, проще говоря, куб в списке Платоновых тел имеет значение «Земля», т.е. с помощью его описывали всё то, что относится к земле, либо всю нашу Землю и описывали её совсем не как плоскость.
Итак, куб. Когда смотришь на куб, то при желании можно видеть только его одну сторону, можно видеть две стороны, максимум у куба можно видеть одновременно три стороны и изобразить это положение можно довольно-таки однозначно. В Цветке жизни как раз и просматривается такое положение куба, когда видны три его стороны. У куба в таком положении один из его углов находится в центре, при этом остальные шесть углов равноудалёны от этого центра, а три его стороны видны, как три одинаковых ромба.
Рис.7. Здесь красными линиями я указал рёбра куба. В таком положении можно видеть 9 рёбер, 3 стороны и 7 углов куба.
Такой вид куба мало что может сказать, можно рассуждать только о трёх числах - 9, 3 и 7. Кстати, сумма этих чисел нам даёт число 19, которое равно количеству полных окружностей входящих в Цветок жизни.
Но если соединить линиями все точки, то можно увидеть более сложный куб. Становится видно, что большой куб включает в себя более мелкие кубики. При прорисовке это выглядит так:
Рис.8. Каждая сторона большого куба состоит из 9 отдельных кубиков, т.е. весь куб состоит из 27 кубиков меньшего размера.
Если пронумеровать кубики одной стороны, то получим числовую матрицу с числами от 1 до 9. Используя только эти числа, можно расположить их иначе, это позволит создать другую цифровую матрицу, отвечающую закону квадратов, где сумма каждого столбца соответствует сумме каждого ряда и сумме каждой из двух диагоналей. Сумма эта будет равна числу 15.
Рис.9. Числовая матрица по закону квадратов.
Ещё одна особенность этой матрицы в том, что нечётные чисел образуют крест вертикальной и горизонтальной линией. В углах матрицы расположены только чётные числа. Последовательность чётных и нечётных чисел это две арифметические прогрессии.
Итак, куб, изображённый в Цветке жизни, привёл нас к квадрату с определённой нумерацией, или другими словами, к некой числовой матрице. Это направление выводит на более интересные размышления.
5. МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ.
Об этой числовой матрице известно давно. Она носит название Квадрат Ло Шу. Название китайское. Существует даже китайская легенда или предание, рассказывающее о появлении или обретении этой числовой матрицы.
В легенде говорится, что некогда давно в реке или возле реки Ло была обнаружена огромная черепаха на панцире которой мудрец Да Юй заметил знаки из точек. Количество точек на пластинах панциря он приравнял к числам. Эти числа и составили Квадрат Ло Шу. Одно из значений слова Шу по-китайски - число, цифровой расчёт, счёт. Тогда Ло Шу означает «цифровой счёт реки Ло», или проще говоря, «числа реки Ло». Да Юй или Юй Великий – это один из древних мифических правителей в Китае. Считается, что на престол он вступил в 2205 году до н.э. и положил начало династии Ся. Получается, что предание затрагивает приблизительно этот временной период. Хотя, возможно, что и Да Юю приписали более древние события.
Рис.10. Магический квадрат Ло Шу.
Считается, что Квадрат Ло Шу можно ориентировать по четырём сторонам света Только здесь, на китайском рисунке непривычно указаны стороны света: Север обозначен внизу, Юг сверху, Запад справа, а Восток слева. Мы как-то привыкли, что Север у нас всегда вверху, ну и всё остальное располагается соответственно. Интересно ещё то, что цифра 5 обозначена здесь расположением точек в виде креста.
Сам квадрат Ло Шу с его числами оказал огромное влияние на китайскую культуру. Квадрат Ло Шу лёг в основу магической практики даосизма. Его связали с триграммами Багуа и Книгой перемен. На этом квадрате основано учение Фен-шуй.
Рис.11. Связь значений магического квадрата , триграмм Богуа и цветовой гаммы.
6. ВЕДИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ.
Фен-шуй в Китае стал развиваться на основе ведических знаний пришедших из древней Индии. В Индии это учение называлось Васту-шастра или Васту-видью, или просто Васту.
По ведическим представлениям Земля является первичной материей, или Васту (Vastu). Жизненные силы, содержащиеся в Земле, также являются Васту и все объекты на Земле, содержащие эту жизненную энергию по традиции тоже называются Васту. Все – и деревья, и здания считаются живыми и являются частью экосистемы. Все материальное или Васту расположено на поверхности земли в определенном пространстве и эта поверхность, и ограниченное пространство называются Ваасту (Vaastu). Таким образом, Ваасту – это жизненное пространство. Проще говоря, саму форму называют Васту, а пространство как внутри этой формы, так и снаружи нее называют Ваасту. "VAS" означает "быть" или "жить".
По некоторым данным, Васту-видья, как отдельная научная концепция, сформировалась к концу VI века на базе двух ведических концепций: Пуруш (душа) и Пракрити (природа или материя), нашедших логическое разъяснение и описанных в двух текстах: Манасара (Х век) и Майямата (ХI век) и именно эти две книги служат основой учения. Известно, что ведические знания тысячелетиями передавались в устной форме, т.е. существовала специальная каста жрецов, которая заучивала веды наизусть, и так они передавались из поколения в поколение, и только в VI веке веды стали записывать и составлять сборники рукописей. Так что вполне возможно, что учение Васту-видья существует уже несколько тысячелетий.
Многие концепции Васту символичны по природе и нуждаются в пояснении для правильного понимания, и одна из них – концепция Васту Пуруш. Пуруш - это универсальный физический принцип, который сам по себе не производит действий, а только делает жизненной, оживляет природу – Пракрити. Таким образом, Пуруш и Пракрити действуют совместно, побуждая материальный мир к активности. Всё это отображалось схематически, в виде различных мандал.
Васту-пуруш мандала представляет собой квадрат как символ жилища и основу существования. Древние индийцы, по учению Васту, считали, что энергии вселенной лучше всего сбалансированы в квадратной форме.
Рис.12. Влияние энергий на мандалу Васту-пуршу.
В древних ведических текстах две влиятельные силы называются Праник – космическая или солнечная энергия и Джайвик – органическая энергия, электромагнитные силы. Праник это солнечная энергия или сила, вектор которой направлен от солнца к земле, а так как земля вращается вокруг солнца, то и направление вектора непрерывно меняется. Джайвик есть электромагнитная сила и ее вектора огибают поверхность земли и направлены от северного полюса к южному.
В квадратную мандалу, разделённую ещё на девять квадратов, вписаны имена девяти основных богов, обладающих разными силами и отвечающих за различные аспекты земной жизни - это вселенские боги и это вселенские силы. В центральном квадрате находится Брахма - творец Вселенной, а по сути, сама Вселенная, породившая эти вселенские силы и объединяющая их в единое целое. Имена этих богов следующие:
Агни – повелитель огня, внутренней энергии, здоровья;Адитья (Индра) – повелитель всего хорошего, рождения и плодородия;Брахма – создатель;Варуна – повелитель воды, спасения;Гаган – демон, приносящий горести;Иша – повелитель энергии, духовности и знаний;Павана – повелитель воздуха и ветра;Сома – повелитель богатства, обогащения;Яма – повелитель смерти.
Помимо девятки вселенских сил, на земную жизнь влияют силы Солнечной системы. Они тоже образуют свою девятку также отображаемую в мандале. Творцом этих сил является Солнце, по-индийски Сурья, который, как положено творцу, занимает центральное место в этой мандале, т.е. пятый квадрат.
И что же, по мнению древних индийцев, смогло создать Солнце? Как ни странно, Солнце стало творцом планет своей же Солнечной системы. В список входили небесные тела, видимые невооружённым глазом с земли. Эти небесные тела носили общее название «граха» (graha). Все они в индуизме обладали определёнными силами и являлись могущественными сущностями. К граха относились пять планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн), Солнце и Луна, все они считались божествами. Ещё в этот список включались два демонических существа, отвечающие за восходящий и нисходящий узлы в движении Луны. Эти демоны ответственны за затмение Солнца. Астрономия индуизма определяет «граха» как планеты, образующие наваграху. Боги, равно как и демоны в «граха», называются планетарными божествами. Список этих божеств и что они обозначают:
Будха – Меркурий
Шукра – Венера
Чандра – Луна
Гуру – Юпитер
Сурья – Солнце
Мангала – Марс
Кету – Нисходящий лунный узел
Шани – Сатурн
Раху – Восходящий лунный узел
Граха или наваграха используется в индуистских «самскарах» (samskaras, правоверные церемонии) и обычно представлены 9-ю квадратами, расположенными тремя рядами по три в каждом. Каждому божеству отведён свой квадрат. Центральный квадрат является солнцем, созидательным началом, вокруг которого расположены остальные планетарные божества, которые вместе с солнцем представляют определённый уровень мироздания.
Такое расположение девяти планетарных богов в большом квадрате непосредственно связывает их с таким древнейшим ведическим символом, как четырёхконечная свастика. Символика свастики заключена в её 9-ти ключевых точках, которые представляют восемь планетарных божеств и солнце в центре. Поэтому свастику считают солярным символом. И ещё, свастику начертить легче и быстрее, чем девять квадратов, объединённых в один 3Х3. Поэтому свастику изображали чаще, а девять квадратов чертили только для специальных обрядов и церемоний. Смысл свастики многоуровневый, первый уровень – это силы Солнечной системы, а второй уровень, более глубокий и главный – это мощь творения и саму сотворённую Вселенную.Рис.13. Старинный амулет-свастика. Для более подробного описания влияния небесных тел использовали числа. В квадраты, отведённые под определённые небесные тела или богов вписывались числовые значения, которые, в свою очередь, образовывали некую числовую матрицу. Эту числовую матрицу можно было назвать ведическим квадратом, Парамасайкой или Янтрой. Расширенный вариант представлял собой квадрат, состоящий из 9 других квадратов, каждый из которых, в свою очередь, тоже был разделён на 9 меньших квадратов. Итого получался 81 квадрат с числами. Девять центральных квадратов Парамасайки (из 81) принадлежат богу Сурье, либо являются сердцем Пуруши – местом бога Брахмы, поэтому это место называют Брахмастаном. Из оставшихся 72 квадратов каждый принадлежит какому-либо одному из 8 направлений, связывается с каким-либо богом или небесным телом которым присущи вполне определенные силы, энергия, качества и атрибуты, действующие на соответствующие аспекты человеческой жизни.
Числовые янтры составляют основу ведической нумерологии.
Рис.14. Нумерологические янтры на основе наваграху.
Все нумерологические янтры являются «магическими квадратами», где. сумма вертикального ряда равна сумме горизонтального ряда и сумме диагонали данного квадрата. Эту сумму можно назвать числом магического квадрата или магическим числом. Рассмотрим подробнее эти числа.
У квадрата Меркурия магическое число равно 24, а сумма всех чисел этого квадрата равна 72 (24*3=72). У квадрата Венеры число равно 30, общая сумма – 90 (30*3=90). У квадрата Луны – 18*3=54. Квадрат Юпитера – 27*3=81. Квадрат Солнца – 15*3=45. Квадрат Марса – 21*3=63. Квадрат Кету – 39*3=117. Квадрат Сатурна – 33*3=99. Квадрат Раху – 36*3=108.
Числа, образующие нумерологические янтры, показанные на рисунке выше, ограничены числовым рядом от 1 до 17. Если разместить их в таблице в соответствующем порядке по возрастанию, то получаем следующую квадратную числовую матрицу:
Круг и квадрат одинаковой площади 
радиус заданного круга, x{\displaystyle x}
— длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x2=πR2,{\displaystyle x^{2}=\pi R^{2},}
откуда получаем: x=πR≈1,77245R.{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.}
Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно. 
) пропорциональна квадрату диаметра круга d.{\displaystyle d.}
В папирусе Ринда для вычислений используется формула[1]: 
считалась равной площади квадрата со стороной 89d.{\displaystyle {\frac {8}{9}}d.}
В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение π{\displaystyle \pi }
равным (169)2≈3,16.{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.}
в десятичной записи: 3,1408<π<3,1429{\displaystyle 3{,}1408<\pi <3{,}1429}
, откуда: x=π{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}
. С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π{\displaystyle \pi }
, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью πR2{\displaystyle \pi R^{2}}
. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат. 
Загадочный «скифский квадрат», о котором нам поведал «отец истории» Геродот, не может не волновать хоть сколько-нибудь склонный к романтизму ум. Для того же, кто видит в подобном «геометризме» не древнюю фантазию, но сакральный символизм, подобное волнение более чем чувствительно.
Рис.10. Магический квадрат Ло Шу. 
Рис.13. Старинный амулет-свастика. Для более подробного описания влияния небесных тел использовали числа. В квадраты, отведённые под определённые небесные тела или богов вписывались числовые значения, которые, в свою очередь, образовывали некую числовую матрицу. Эту числовую матрицу можно было назвать ведическим квадратом, Парамасайкой или Янтрой. Расширенный вариант представлял собой квадрат, состоящий из 9 других квадратов, каждый из которых, в свою очередь, тоже был разделён на 9 меньших квадратов. Итого получался 81 квадрат с числами. Девять центральных квадратов Парамасайки (из 81) принадлежат богу Сурье, либо являются сердцем Пуруши – местом бога Брахмы, поэтому это место называют Брахмастаном. Из оставшихся 72 квадратов каждый принадлежит какому-либо одному из 8 направлений, связывается с каким-либо богом или небесным телом которым присущи вполне определенные силы, энергия, качества и атрибуты, действующие на соответствующие аспекты человеческой жизни. 
