§ 1. Возникновение математики и развитие ее как науки. Математика наука древняя
Это интересно. Из истории математики
Как математика стала настоящей наукой
А разве у египтян или вавилонян математика не была наукой? – спросите вы. – Ведь они знали по математике уже немало и к тому же очень умело пользовались своими знаниями. Как и многие другие народы, египтяне просто пользовались готовыми правилами, которые «ощупью» находили на опыте и запоминали. В решениях их задач часто встречается совет: «Делай, как делается».
Настоящей наукой математика стала только у древних греков. Это был маленький, но удивительно талантливый народ, у которого учатся многому даже сейчас, тысячи лет спустя.
Греки были отличными моряками. Вместе с товарами корабли привозили в Грецию знания. Но греки не просто учились у других народов. Очень скоро они обогнали своих учителей.
С греческих ученых начиналась не только «настоящая» математика, но и очень многие другие науки. А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому, что они хорошо умели … спорить. Греки считали, что спор помогает найти самое лучшее, самое правильное решение. Они даже изречение придумали: «В споре рождается истина». Они не просто заучивали правила, а доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе.
Каждое правило, греческие математики старались объяснить, доказать, что оно действительно верное. Для этого они спорили друг с другом, рассуждали, старались найти в рассуждениях ошибки. Докажут одно правило – рассуждения ведут к другому, более сложному, потом – к третьему, к четвертому. Из правил складывались законы, а из законов – наука математика.
Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперед. Ей помогали чудесные сапоги – скороходы, которых у других народов не было. Они назывались «рассуждение» и «доказательство».
Как свои пять пальцев
Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.
Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. На крупного зверя – бизона или лося – приходилось охотиться всем племенем: в одиночку ведь с ним и не справишься. Командовал облавой обычно самый старый и опытный охотник. Чтобы добыча не ушла, ее надо было окружить, ну вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. И вождь первобытного племени справлялся с этой первой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь», он мог показать числа на пальцах рук.
Есть и сейчас на земле племена, которые при счете не могут обойтись без помощи пальцев. Вместо числа пять они говорят «рука», десять – «две руки», а двадцать – «весь человек», – тут уж присчитываются и пальцы ног.
Геометрия
Самое слово «геометрия» по–гречески означает « землемерие» . Ученые считают, что эта наука зародилась еще у самых древних египетских земледельцев. После каждого разлива Нила им приходилось заново разбивать поля на участки, находить их границы. А для этого надо было уметь измерять площади различных фигур : ведь поле может иметь какую угодно форму. Особенно тщательно поля измеряли чиновники фараонов , которые собирали с земли налоги.
Как измерять и считать время?
Предметы считать просто: один, два, три, четыре… Измерить небольшое расстояние тоже несложно. Надо только иметь какую – нибудь мерку. Даже теперь мы нередко меряем расстояние по способу первобытных людей – считаем шаги.
Гораздо труднее найти мерку для времени. Тут ни пальцы, ни шаги не помогут: время можно измерять только временем. А мерка? Мерку надо было искать в природе.
Самыми древними «часами», которые к тому же никогда останавливались и не ломались, оказалось Солнце. Утро, день, вечер, ночь. Не очень уж точные мерки, но поначалу первобытному человеку этого было достаточно. Потом люди научились определять время более точно: днем – по Солнцу, а ночью – по звездам.
Звезды для людей были не только первыми часами, но и первым компасом. По Солнцу и звездам удобно определять время суток. Но ведь людям были нужны и большие меры времени. Надо было знать, когда следует перекочевать в лес за озером, где начали поспевать орехи, а когда перебраться к верховьям реки, в которой рыба мечет икру.
Люди давным-давно заметили, что дни становятся то короче – зимой, то длиннее – летом. Промежуток времени от одного лета до другого – вот удобная большая мера. Мы ее называем – год. Только в древности год начинали не зимой, как у нас, а летом. Началом года считали самый длинный в году летний день, - по-нашему, 21июня.
А как разделить год? Весь год – это целых 365 дней, очень большая и не всегда удобная мера времени. На помощь пришла луна. Люди заметили, что от полнолуния до полнолуния проходит почти ровно тридцать суток. Так появилась еще одна мера времени – месяц. Потом месяц стали делить еще на четыре части. Из этих четвертушек месяца родились недели. Выходит, что все главные меры времени – сутки, месяц и год – люди позаимствовали у природы еще в доисторические времена, много тысяч лет назад.
Числа и цифры
Мы с вами уже знаем, что первым способом «записи» чисел были зарубки на палке. Хорошо, если число небольшое – десятки или, в крайнем случае, сотни. А если тысячи? Пока сосчитаешь зарубки, чтобы «прочитать» число, пройдет больше часа. Очень неудобная «запись»! И вот примерно пять тысяч лет назад почти одновременно в разных странах – Вавилонии, Египте, Китае – родился новый способ записи чисел.
Только, прежде чем говорить об этом, давайте разберемся, как мы записываем числа сейчас.
Мы пользуемся всего десятью цифрами, но с помощью этих десяти значков – цифр – можем записать любое число. Как это получается? Возьмем какое – нибудь число, например 189. Чтобы получить это число, надо сложить: 1 сотню + 8 десятков + 9 единиц = 189.
Оказывается, каждое число состоит из ступенек: единиц, десятков, сотен, тысяч – и так далее. Математики называют такие ступеньки разрядами.
В Древнем Вавилоне считали не десятками, а шестидесятками. Математик сказал бы, что система счета была там не десятичная, как у нас, а шестидесятеричная. Число шестьдесят играло у них такую же роль, как у нас десять.
Интересно, что до сих пор мы иногда пользуемся вавилонской системой счета. Как вы думаете, почему в нашем часе 60 минут, а в минуте 60 секунд? Наверное, это осталось в наследство от вавилонян!
Очень интересная система счета была у народа майя, который жил в Средней Америке. Они считали двадцатками, - у них была двадцатеричная система счета. Числа от 1 до 20 обозначались точками и черточками. Если под числом был нарисован особый значок в виде глаза, это значило, что число надо увеличить в двадцать раз. Выходит, что изображение глаза играло у майя ту же роль, что у нас цифра нуль. Только они рисовали глаз не рядом с числом, а под ним.
Строители пирамид
Древние египтяне были замечательными математиками и инженерами. Вы, наверное, слышали о египетских пирамидах – огромных гробницах египетских царей – фараонов. Самая большая пирамида – пирамида Хеопса – выше сорокаэтажного дома. Даже сейчас поднять на такую высоту и расставить вплотную друг к другу тысячи многотонных каменных «кубиков» было бы не простым делом. А ведь у египтян не было ни подъёмных кранов, ни мощных домкратов.
Все пирамиды имеют совершенно одинаковую правильную форму. И стоят они не как попало: одна сторона пирамиды смотрит всегда точно на восток, другие – на север, юг и запад. Но ведь построить (хотя бы на бумаге) правильную пирамиду совсем не просто. Даже сейчас люди учатся этому только в средней школе. А египтяне умели строить пирамиды уже пять тысяч лет назад!
О замечательных постройках древних египтян можно рассказывать без конца. Некоторые секреты египетских строителей не раскрыты до сих пор.
Ясно, что строители пирамид должны были и знать и уметь очень много!
Кроме замечательных построек – пирамид, храмов и дворцов, – до нас дошли многие записи и даже большие рукописи, сделанные древними египтянами. Некоторые из них высечены на камне, а большая часть написана чернилами
На папирусе.
Некоторые из найденных учеными египетских рукописей специально посвящены математике. Это что – то вроде учебников, или, вернее, задачников, где даны решения разных практических задач.
Древнейшая математическая рукопись египтян написана около 4000 лет назад. Она храниться в Москве – в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина, и называется Московским папирусом.
Другой математический папирус, написанный лет на двести – триста позднее Московского, храниться в Лондоне. Он называется: «папирус Ахмеса», или папирусом Райнда.
В папирусе Ахмеса дается решение 84 задач на различные вычисления. Египтяне свободно производили арифметические действия не только над целыми числами, но и над дробями. Правда, они употребляли при счете только доли единицы, такие дроби, у которых в числителе единица. Однако это не мешало им решать задачи, которые имеют дробный ответ.
В папирусе Ахмеса почти нет задач по геометрии. Но о том, что египтяне отлично, для своего времени, знали геометрию, рассказывают другие документы, да и сами замечательные египетские постройки.
Науку развивают мореплаватели
Примерно на полпути между Египтом и Вавилоном, на восточном берегу Средиземного моря, лежала небольшая страна, которая называлась Финикией.
Море для финикиян было не только кормильцем, но и учителем. Раньше всех других народов финикияне поняли, что Земля круглая. Ведь каждый раз, когда корабль приближался к берегу, сначала были видны верхушки мачт, потом паруса, и только в последнюю очередь из–за «горба» моря показывалось все судно.
Финикияне плавали не только вдоль берегов, но и в открытом море. Поэтому финикийские моряки хорошо изучили звездное небо. Они знали, что звезды на небе не везде одни и те же. Они научились по звездам и Солнцу Находить в открытом море дорогу для своих кораблей. Недаром долгое время они считались лучшими знатоками мореплавания и астрономами.
Финикяне сделали еще одно очень важное открытие, которое по наследству досталось и нам. Они первыми стали писать буквы.
Числа финикяне тоже стали писать буквами.
Это было гораздо удобнее и, главное, скорее, чем египетский и вавилонский способ записи. Способ записи чисел буквами перешел позднее и к грекам и к другим народам.
Рим
Единственным наследством, которое Древний Рим оставил после себя в математике, был еще один способ записи чисел – римские цифры. Сейчас мы пользуемся другим, гораздо более удобным способом, но и римские цифры иногда находят себе применение. Их можно увидеть на циферблатах часов, на корешках книг, на праздничных лозунгах.
Римские цифры вам знакомы.
Народная математика
Чем же и как мерили землю древние египтяне?
Главной мерой длины у египтян служил локоть. Локоть делился на семь «ладоней», «ладонь» – на четыре «пальца». Как и многие другие народы, в качестве мерок длины египтяне использовали части человеческого тела. Но люди бывают разного роста, и локти у них не одинаковые. Египтяне это, конечно, понимали. Для того чтобы измерения получались точными и не происходило никакой путаницы, они придумали образцовые меры: локоть, ладонь и палец, общие для всего Египта. Теперь было уже не важно, какой длины руки у человека, который хотел, что-либо измерить. Он мерил не своим, а «общим» локтем.
Традиционные метрические единицы, которые существовали на Украине, происходят от древнерусских, то есть за эталон измерения брали часть человеческого тела.
Математика в древней Руси
У славян как и у всех других народов, первым учителем математики была жизнь, практика. Постепенно рождались и накапливались навыки счета, правила измерения: ведь без этого нельзя было ни торговать, ни даже обмениваться продуктами. В первом тысячелетии у славян появилась денежная единица – рубль, название которой сохранилось до наших дней. Слово «рубль» происходит от глагола «рубить». Первые рубли, по всей вероятности, были просто кусочками метала, которые отрубали от полосы серебра или меди.
В раскопках славянских селений ученые находили изображение циркуля. Значит, древним славянам были известны некоторые свойства окружности. Основу своего алфавита славяне вместе с христианской религией позаимствовали от средневековых греков – византийцев. Способ записи цифр буквами со специальными значками – «титлами» – они тоже взяли от греков. С появлением письменности на Древней Руси стали появляться переводы греческих книг, но в них нет-нет да и встречались обрывки замечательной математики древних греков. Знания славян по математике постепенно росли. Известно, что в Англии в VII веке чудом учености считался монах, который мог выполнить деление чисел; и долго считалось, что нет труднее четырех действий арифметики над целыми числами. По-видимому математические знания славян около 1000–го года были не ниже, чем у западных народов.
Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем Магницким. «Арифметика» Магницкого была написана при Петре I, в 1703 году, и долгое время была настольной книгой всех образованных людей. Великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов знал ее наизусть и называл ее вместе с учебником грамматики «вратами всей учености».
Замечательной книгой Магницкого закончилась многовековая история древнерусской математики.
xn--j1ahfl.xn--p1ai
§ 1. Возникновение математики и развитие ее как науки
Вопрос о возникновении математики с давних временинтересовал многих ученых и педагогов-практиков.Действительно,интересно знать, как возникли первые математические понятия, как они развивались,пополнялись и постепенно формировались в отдельную науку. Особенно это важно для дошкольной педагогики и методики формирования элементарных математических представлений,которые изучают особенности начального ознакомления ребенка с числом и счетом.
Счет и вычисление вошли в наш быт так, что мы неможем себе представить взрослого человека, который не умеет считать и выполнять простейшие вычисления.Точно неизвестно,когда появились у того или другого народа начальные математические понятия о счете,множестве и числе, но суверенностью можно сказать,что потребность сравнивать и считать разные величины возникла с самого начала развития человеческого общества.
На основании изучения культуры и языков народов,анализа археологических раскопок, изучения жизни и быта народов,особенно с низким уровнем общественного развития ,а также наблюдения за усвоением математических знаний детьми дошкольного возраста ученые вьщвигают рядгипотез о том, как сравнивались множества в дочисловойпериод,как формировались первые представления и понятия о числе и натуральном ряде чисел, как в процессе развития человеческого общества складывались системы счисления и письменная нумерация.Установлено,что математика возникла из потребностей людей и развивалась в процессе их практической деятельности.
Бурное развитие математики тесно связано с тем, что сначала практика, а потом и теория выдвигали перед ней все новые и новые задачи. Для решения практических или теоретических задач приобретенных знаний было недостаточно,приходилось искать новые способы, создавать новые методы формирования знаний.
11
Придерживаясь схемы, предложенной академикомА.М.Колмогоровым,всю историю развития математики можно разделить на три основные этапа.
Первый этап —самый продолжительный.Он охватываеттысячелетия— от начала человеческого общества доXVIIв. В этот период формировались и разрабатывались понятия действительного числа, величины,геометрической фигуры. Позже были освоены действия с натуральными числами, дробями,разработаны возможности и способы измерения длины, угла,площади, объема.Большим достижением в этот периодстало открытие существования иррационального числа типа ^2 (иррациональные числа записываются в виде бесконечной периодической дроби). Характерным для первого периода является то,что математика была призвана удовлетворять непосредственные потребности,которые возникали в хозяйственной и военной деятельности человека: простой счет голов скота, разнообразный раздел урожая,сравнение длинразных отрезков,планирование земельных участков, измерение их площадей,вычисление объема, а позже всякие денежные расчеты и др.Математика была тесно связана с астрономией,физикой, механикой.
Известно,что в Вавилоне и Египте (2 тыс.лет до н.э.) решали математические задачи арифметического,алгебраического и геометрического содержания.При этом нередко обращались к определенным правилам, таблицам.Но теорий ,из которых выводились бы эти правила,чаще всего несуществовало.Поэтому не удивительно,что среди этих правил были и такие,которые давали в некоторых случаях правильные результаты,а в других —ошибочные.Следует также подчеркнуть,что накопление математических знаний вЕгипте имело эмпирический характер.
Становление математики как науки началось в Древней Греции,где появились значительные достижения в области геометрии.Именно в Греции начиная с XIIв. до н.э. разрабатывается математическая теория . Из науки практической математика превращается в логическую,дедуктивную.
Знаменательным событием в истории развития математики было пояапение,меньше чем за300 лет до н.э.,классического произведения Эвклида «Начало»,где систематически изложена геометрия приблизительно в том объеме,в котором она теперь изучается в средней школе.Кроме того, в нем есть данные о делении чисел и решении квадратных уравнений. ВIIIв. до н.э. Аполоний написал книгу о свойствах некоторыхчудесных кривых — эллипса,гиперболы и параболы.
12
Однако в эпоху рабо&чадельческого общества развитие науки осуществлялось очень медленно.Это объясняется прежде всего отрывом теории от практики,господством убеждений, что настоящая наука не должна интересоваться жизненнымипотребностям людей, что применять науку на практике— означает унижать ее. В этот период в Древней Греции господствовала идеалистическая философская школа Платона,которая установила в математике ряд запретов и ограничений,негативное значение которых чувствуется иногда и до сих пор (например,пользование только циркулем и линейкой пригеометрических построениях).Но уже тогда были ученые,которые правильно рассматривали взаимоотношения теории и практики,опыта и логики,логической дедукции. К ним следует отнести Архимеда, Демокрита,Евклида и других.
Одновременно с греческой и в основном независимо от нее развивалась математическая наука в Индии,где не былохарактерного для греческой математики отрыва теории от практики,логики от опыта. И хотя индийская математикане достигла уровня развития математики греков, она создала немало ценного, что вошло в мировую науку и сохранилось до нашего времени,например десятичная система счисления,решение уравнений1-й и 2-й степени,введение синуса и т.д.
Преемниками как греческой,так и индийской математической науки стали народы, которые были объединены в VIIIв. арабским халифатом.Среди них необычайно важную роль в истории культуры сыграли народы Средней Азии и Закавказья— узбеки, таджики,азербайджанцы.Научные работы тогда писались на арабском языке, который был международным языком стран Ближнего и Среднего Востока.Начиная с VIIIв. на арабский язык переводятся произведения индийских и греческих математиков,благодаря чему с ними смогли познакомиться европейцы.Период с XIIпо XVв. характеризуется началом овладения учеными Европы древней математической наукой. Этого требовали торговые операции большого масштаба.На латинский язык качалипереводить научные произведения и первые книги по математике,написанные в Азии.
В конце XVст. введение книгопечатания ускорило развитие математики как науки в целом. В XVIв. было сделанонесколько выдающихся математических открытий: найдено решение уравнений3-й и 4-й степени в радикалах,установлены методы приближенных вычислений,нахождение корней уравнений любой степени с числовыми коэффициекта-
13
ми,достигнуты большие успехи в создании алгебраическойсимволики.
На основании археологических данных, изучения летописей можно сделать вывод, что общий уровень математических знаний на Руси в XII—XVIвв. был не ниже,чем в Западной Европе того времени, несмотря на татаро-монгольское нашествие,тормозившее развитие культуры.
Второй этап развития математики по продолжительностинамного короче, чем первый. Он охватываетXVI— начало XIXв. С XVIв. начинается расцвет математики в Европе. В этовремя зарождаются новые математические теории , которыепринадлежат к области высшей математики.Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия,дифференциальное и интегральное исчисления.Их возникновение связано с именами великих ученых XVIIв. Декарта, Ферма,Ньютона, Лейбница.Появилась возможность с помощью математических методов изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Огромное значение имело введение системы координат,измерение величин и понятие функции.
Выдающимся открытием философии этого периода является признание общности движения и измерения(функции).
Следует отметить, что на первом этапе математика несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности.Во втором этапе развития математики основным объектом изучения стали зависимости между изменяющимися величинами.
Особенно бурно на этом этапе развивалась математика в России.В XVIв. появилось много рукописей математическогосодержания,посвященных арифметике и геометрии.Именно тогда вышла книга по элементарной математике Л.Ф.Магницкого«Арифметика»(1703 г.). По этой книге обучался математике М.В Ломоносов.
Л.Ф.Магницкий был достаточно образованным человеком своего времени.Он закончил Московскую славяно-греко-латинскую академию, где получил разностороннее образование.Зная много европейских языков, Л.Ф.Магницкийознакомился с методической литературой разных стран,в том числе и по математике.Свои знания он изложил в книге,которая стала первым российским учебником по арифметике.По своему характеру учебник не был по-настоящемуакадемическим.Часто мысли излагались в стихотворной форме,текст сопровождался символическими рисунками.Однако это было более менее систематизированное изложение
14
начальной математики.Кроме того, в учебнике был помещен материал по алгебре, геометрии и тригонометрии.
Долгое время единственным высшим учебным заведением Восточной Европы была Киево-Могилянская академия. Она играла важную роль в развитии науки, культурного и литературного процесса на Украине XVII—XVIIIвв., входившей тогда в состав России. В этот период весьма плодотворными были научные связи Киево-Могилянской академии с образовательными учреждениями Кракова, Магдебурга,Константинополя и др. С концаXVIIIв. академияпостепенно теряет роль культурно-образовательного центра ив1817 году закрывается.Ее функции приняли Киевскаядуховная академия (1819) и Киевский университет(1834).
В1724 году была создана Петербургская академия наук,где с 1727 года работал великий математик Л.Ейлер, опубликовавший большую часть своих трудов(473) в изданияхАкадемии.
В1755 году благодаря заботам выдающегося российскогоученого М.В.Ломоносова был основан первый российскийуниверситет в Москве . Появились многочисленные русские переводы лучших иностранных учебников по математике,а также ряд оригинальных российских учебников по арифметике,алгебре, геометрии,тригонометрии и анализу, которые по научному уровню не уступали западноевропейскимучебникам того времени.
Третий этап развития математики— с XIXв. до наших дней.
Он характеризуется интенсивным развитием классической высшей математики.Математика стала наукой о количественных и пространственных формах действительного мира в их взаимосвязи.Она переросла предыдущие рамки, ограничивавшие ее изучением чисел, величин,процессов изменения геометрических фигур и их превращений, и стала наукой о более общих количественных отношениях,для которых числа и величины являются лишь отдельными случаями.
Большой вклад в развитие математики внесли российскиеученые(М. И .Лобачевский,П.Л.Чебышев,А.М.Колмогоров и др.). Современная математика достигла очень высокого уровня развития .Теперь насчитывается несколько десятков разныхобластей математики,каждая из которых имеет свое содержание,свои методы исследования и сферы применения.
Во второй половинеXXв. возникли математическая экономика, математическая биология и лингвистика, математическая логика, теория информации и др,
15
Современное развитие общества,экономики и культуры предусматривает высокий уровень обработки информации.Решение многих научных и хозяйственных задач невозможно без использования вычислительной техники, создания специального оборудования и машин. Сейчас широко используются вычислительно-аналитические и электронно-вычислительные машины, работающие с недоступной для человека быстротой.
В середине XXв. возниклакибернетика—новая математическая наука. Кибернетика— наука о руководстве,связи и переработке информации.Основателем ее считается американский математик Норберт Винер,в 1948 году опубликовавший книгу под названием«Кибернетика,или Руководство и связь в живом организме и машине». Кибернетикавозникла благодаря синтезированию данных целого ряда смежных научных дисциплин: теории информации, теории вероятности,автоматов, а также данных физиологии высшей нервной деятельности,современной вычислительной техники и автоматики.
Кибернетика— одна из самых молодых математических наук,ей всего несколько десятков лет,но перспективы ее развития велики. Кибернетические машины руководят полетом космических кораблей, они находятся на службе у медицины и др. Однако все эти машины производит и строит сам человек. Все это продукт человеческого гения, результат его знаний,где ведущее место занимают математические науки.
Итак,математика,возникшая из практических потребностей человека,преобразовалась в комплексную науку, обеспечивающую дальнейшее развитие современного общества.
studfiles.net
4.Возникновение математики как теоретической науки в Древней Греции. Пифагорейцы. Место математики в философии Платона.
Прежде всего отметим, что практическая и теоретическая математики различны по происхождению. Практическая математика, обслуживающая хозяйственные операции, в той или иной форме возникает во всех древних цивилизациях (древневавилонской, египетской, китайской, индийской и др.), причем на весьма ранних ступенях их развития. Так, первые известные нам шумерские тексты экономико-математического содержания относятся к третьему тысячелетию до н.э. Что же касается теоретической математики, то ее доаксиоматическая ветвь возникает в целом ряде древних цивилизаций (например, древневавилонской или китайской) и связана с фактором социального характера — становлением специального математического образования («математика школы»).
Первой ясно выраженной философией математики был пифагореизм. Пифагорейцы отделяли мир чувственных предметов и явлений, в которых царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, которая может быть понята только умозрительно, посредством самого разума. Все, высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью.
Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении «Все есть число». Это положение выражало веру пифагорейцев в то, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определенное гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, ; Что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие •ее числа, ее внутренней пропорциональности. В соответствии с такой | установкой они пытались соединить наиболее значимые для них вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. . Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу — с числом четыре, вселенную — с числом десять и т.д
Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии. Мы видим это в диалогах Платона, в особенности, в «Теэтете» и «Тимее». Платоновский Бог-демиург строит мир, опираясь на идею пропорционального соотношения всех его частей. «...Бог поместил между огнем и землей воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так он сопряг их, построив из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нем возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам ее сплотил»1. Мы видим далее у Платона, что каждое из природных начал соединяется с одним из пяти правильных многогранников: огонь — с тетраэдром, земля — с гексаэдром, вода — с октаэдром, воздух — с икосаэдром. Космос как высшее совершенство имеет форму сферы2. Здесь мы наблюдаем первые, еще очень наивные попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения ее сущностных связей.
Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесен развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин.
