История современного города Афины.

Древние Афины
История современных Афин

Математика в Древней Греции (стр. 2 из 2). Математика древней греции

Математика в Древней Греции

Оглавление

Введение

Глава I. Школа пифагорейцев

1.1 Развитие математики как теории

1.2 Поворотный пункт в истории античной математики

Глава II. Проблема бесконечности

Глава III. Период Академии

3.1 Период самостоятельной деятельности греков

3.2 Период упадка

Заключение

Список литературы

Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н.э. и V веком н.э.

Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики".

Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже - механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи.

Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков.

Глава I. Школа пифагорейцев

Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571-479 гг. до н.э.).

Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста.

Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга.

Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.

Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т.е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14).

Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.

По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.

Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного.

В конце V века до н.э. Феодор из Кирены установил, что несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной не является исключением. Он показал, что стороны квадратов, площади которых равны 3, 5, 6, …, 17 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. Пифагор учил, что сущность всех вещей есть число; число - сами вещи; гармония чисел - гармония самих вещей. Аристотель говорил, что у пифагорейцев числа принимались за начало и в качестве материи и в качестве [выражения для] их состояния и свойств.

Открытие несоизмеримых величин сначала “вызвало удивление" (Аристотель). Это естественно: до открытия Пифагора древнегреческие математики считали, что любые два отрезка имеют общую меру, хотя, может быть, и очень малую. Когда, однако, пифагорейцы убедились, что доказательство существования несоизмеримых величин безупречно, они поняли, что их философия оказалась в затруднительном положении.

Пифагорейцы знали только положительные целые и дробные числа. Следуя своей философской установке, они, по сути дела, считали, что каждая вещь может быть охарактеризована положительным целым или дробным числом, которое “выражает сущность” этой вещи. На деле это означало, что геометрия строилась на базе арифметики. Открытие несоизмеримых отрезков знаменовало, поэтому начало кризиса пифагорейской философии и методологических основ развиваемой ими системы математики. После обнаружения существования несоизмеримых величин перед пифагорейцами открылись две возможности. Можно было попытаться расширить понятие числа за счет присоединения к рациональным числам чисел иррациональных, охарактеризовать несоизмеримые величины числами иной природы и таким образом восстановить силу философского принципа “все есть число".

Однако этот путь столь естественный и простой с современной точки зрения, для пифагорейцев был закрыт. В этом случае надо было построить достаточно строгую арифметическую теорию действительных чисел, что при уровне пифагорейской математики было делом невыполнимым. Поэтому надо было идти по другому пути - по пути определенного пересмотра исходных принципов, например, принять, что геометрические объекты являются величинами более общей природы, чем дробные и целые числа, и пытаться строить всю математику не на арифметической, а на геометрической основе. Именно этот второй путь и избрали пифагорейцы, а вслед за ними большинство древнегреческих математиков, вплоть до Архимеда и Аполлония.

Глава II. Проблема бесконечности

В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610-546 гг. до н.э.), преемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н.э. - расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи - это и есть бесконечность.

Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у Анаксигора (около 500-428 гг. до н. э). В сочинении “О природе" Анаксигор писал: вещи бесконечно делимы, нет последней ступени делимости материи; с другой стороны, всегда имеется нечто большее, что является большим.

Бесконечность для Анаксигора - потенциальная; она существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин - величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

Демокрит (около 560-570 гг. до н.э.), по-видимому, изучал так называемые роговидные углы (углы, образуемые дугой окружности и касательной к ней).

Поскольку каждый роговидный угол “меньше" любого прямолинейного угла, здесь появляется понятие актуально бесконечно малого. Впоследствии появилось и понятие актуальной бесконечности.

Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике.

Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона

Элейского (около 490-430 гг. до н.э.). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение - это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.

Зенон Элейский выдвинул 45 апорий (антиномий), имея при этом целью развить и лучше обосновать учение Парменида. Из этих антиномий до нашего времени дошло только 9.

Заслуга Зенона Элейского в развитии философии и математики состоит в том, что он выявил реальную противоречивость времени, движения и пространства, а значит и бесконечность. В.И. Ленин писал, что Зенон не отрицал чувственную достоверность движения; его интересовал вопрос, как выразить сущность движения в логике понятий.

Однако, Зенон последнюю задачу не решил, не решили её и другие ученые древней Греции.

Глава III. Период Академии

Период вполне самостоятельной деятельности греков в области математики начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии. С этого времени последующее развитие, если не всей математики вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведёт его, пока находит в своём распоряжении необходимые средства.

Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии математики и в частности её методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места её основным положениям, на приведение приобретённых ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но ещё не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались результаты произведённого им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остаётся ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его даёт. Таким писателем является Евклид, по определению которого "анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным". Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определённым образом, эти определения представляются в следующем виде.

mirznanii.com

Математика в древней Греции

Математика – одна из древнейших, важнейших и сложнейших компонентов человеческой культуры.

История математики тысячами нитей связана с историей других наук. Народная мудрость гласит, что невозможно понять подлинный смысл настоящего и цели будущего, если не знать и не ценить прошлое. Жизнь не стояла на месте. С развитием человечества появляется потребность передавать известия друг другу, писать, считать. Так в далёком прошлом постепенно зарождалась математика. Древние греки были удивительно талантливым народом, у которого есть чему поучиться даже сейчас. В те времена Греция состояла из многих мелких государств. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площади, обсуждали его, спорили, а потом голосовали. Они были хорошими "спорщиками". По преданию, в то время сложилось утверждение: " В споре рождается истина!" Греки отличались трудолюбием и смелостью. Среди них были отличные строители, мореплаватели, купцы и художники. Они внесли большой вклад в развитие культуры и науки, особенно математики. Истории известно что ученые-математики древней Греции были крупнейшими математиками в далеком прошлом и задачи, составленные ими интересны и в наши дни. Весьма большая часть нашего современного школьного курса математики, особенно геометрии, была известна древним грекам.

Хочу рассказать о Пифагоре, именем которого названа теорема, которую знают все. В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н. э., а умер в 500 г. до н. э.). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связано ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так что установить о Пифагоре правду невозможно. Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 100 доказательств. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору и его ученикам.

Архимед – вершина научной мысли древнего мира. Архимед родился в 287 году до нашей эры в греческом городе Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь. Отцом его был Фидий, придворный астроном правителя города Герона. Учился Архимед в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали самую большую в мире библиотеку. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики, физики, гидростатики и механики. В сочинении "Параболы квадратуры" Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" – отношение длины окружности к диаметру – и доказал, что оно одинаково для любого круга. Архимед, погибший при захвате римлянами его родного города Сиракузы в то время, когда пришел римский солдат. По преданию, Архимед был увлечен решением геометрической задачи, чертеж которой был выполнен на песке. Солдат, убивший Архимеда, или не знал о приказе военачальника сохранить жизнь Архимеду, или не узнал Архимеда. В наше время имя Архимеда связывают главным образом с его замечательными математическими работами, однако в античности он прославился также как изобретатель различного рода механических устройств и инструментов, о чем сообщают авторы, жившие в более позднюю эпоху. Считается, что Архимед был изобретателем т.н. архимедова винта, который служил для подъема воды на поля и явился прообразом корабельных и воздушных винтов.

Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты “ О шаре и цилиндре, Об измерении круга, О коноидах и сфероидах, О спиралях и о квадратуре параболы”. Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач: О равновесии плоских фигур, О плавающих телах. К третьей группе можно отнести различные математические работы: О методе механического доказательства теорем, Исчисление песчинок, Задача о быках и сохранившийся лишь в отрывках Стомахион.

Евклид. Древнегреческий ученый Евклиду принадлежат сочинения по механике, оптике, музыке. Известны его заслуги и в астрономии. Евклиду приписываются также несколько теорем и новых доказательств.

Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты “Начала”, состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. При построении правильных многоугольников опять звучит это имя Евклида. XIII книга "Начал" посвящена платоновым телам – правильным многогранникам, красотой которых восхищаемся на уроках стереометрии.

Фалес из Милета (ок.625 – ок.547 до н.э.) древнегреческий ученый и государственный деятель, первый из семи мудрецов. Во время путешествий он посетил Египет, где и познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени Задача. Измерить высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени. (Размеры даны в локтях; 1 локоть = 7 ладоням = 466 мм.). Зачинатель и родоначальник греческой философии и науки. Считается, что Фалес первым доказал несколько геометрических теорем, а именно:

вертикальные углы равны;
треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;
углы при основании равнобедренного треугольника равны;
диаметр делит круг пополам;
угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым.

Фалес определял высоту предмета по его тени, расстояния до кораблей, используя подобие треугольников.

Он сделал ряд открытий в области астрономии, установил время равноденствий и солнцестояний, Определил продолжительность года. Фалес был причислен к группе “семи мудрецов”.

Эратосфен Киренский (ок. 276 – 194 до н.э.) – разносторонний ученый: математик, астроном, географ, историк и филолог. Прославился благодаря изобретению “решета Эратосфена”. В сочинении “ Решето” Эратосфен создал оригинальный метод для “отсеивания” простых чисел. В последовательности натуральных чисел зачеркнем 1. Число 2-простое. Зачеркнём все числа, кратные 2. Число 3– первое из незачеркнутых – простое. Затем зачеркнем всякое число, делящееся на 3, и т. д. Так можно получить сколь угодно большой фрагмент последовательности простых чисел. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках. Числа не зачёркивали, а прокалывали. Отсюда и название метода – решето. Сконструировал прибор – мезолябий для механического решения делосской задачи (удвоения куба).

Осуществил первое измерение размеров земли. Измерив длину 1/50 дуги земного меридиана, Эратосфен вычислил окружность земного шара и получил 25 200 стадий, или 39 960 км, что лишь на 319 км меньше действительного значения.

Нет сомнений в научности математики Древней Греции. Ни один народ древности не сделал столько для развития математики, как жители Греции. Человеческой природе свойственно уважение к прошлому. Это уважение иногда вызывает у учащихся желание взглянуть на математику как на науку сквозь туман старины, прикоснутся к седой древности, тысячелетним тайнам и загадкам.

novainfo.ru

Математика в Древней Греции

В этой статье мы не будем задаваться целью изложить развитие математики в Древней Греции со всей серьезностью научного трактата, а попробуем рассказать доступным языком, чтобы наше повествование было занимательным и понятным школьникам разного возраста. Итак, как же математика стала настоящей наукой?.. — А разве у египтян и вавилонян математика не была наукой? — спросите вы. — Ведь они знали о математике уже немало и к тому же очень умело пользовались своими знаниями. В том-то и дело, что знания были, а настоящей науки ещё не было. Потому что математика, как и всякая другая наука, прежде всего должна отвечать на вопрос «почему». Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту? Почему два любых числа всегда можно точно сложить друг с другом, а вот разделить друг на друга без остатка можно не всякие числа? Египтяне знали, что у треугольника со сторонами в 3, 4 и 5 локтей один угол прямой. Но почему так получается, они не объясняли. Такой вопрос, может быть, и не приходил им в голову. Как и многие другие народы, египтяне просто пользовались готовыми правилами, которые «ощупью» находили на опыте и запоминали. В решениях их задач часто встречается совет: «Делай как делается». Настоящей наукой математика стала только у древних греков. Это был удивительно талантливый народ, у которого учатся многому даже сейчас, тысячи лет спустя. Греческие племена стали селиться на северных и восточных берегах Средиземного моря более трёх тысяч лет назад. Большая часть греков осела на Балканском полуострове — там, где и сейчас государство Греция. Остальные расселились по большим и маленьким островам Средиземного моря и поберегу Малой Азии. Как и финикийцы, греки были отличными моряками. Их лёгкие остроносые корабли во всех направлениях бороздили Средиземное море. Они везли посуду и украшения из Вавилона, бронзовое оружие из Египта, шкуры зверей и хлеб с берегов Чёрного моря. И конечно,как и у других народов, вместе с товарами корабли привозили в Грецию знания. Но греки не просто учились у других народов. Очень скоро они обогнали своих учителей. Греческие мастера строили удивительной красоты дворцы и храмы, которые потом тысячи лет служили образцом для архитекторов всех стран. Греческие скульпторы создавали из мрамора чудесные статуи. А с греческих учёных началась не только «настоящая» математика, но и многие другие науки, которые изучаются в школе. А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому что они хорошо умели... спорить. Чем же споры могут помочь науке? В древние времена Греция состояла из многих маленьких государств. Чуть не каждый город с окрестными деревнями был отдельным государством. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площадь, обсуждали его, спорили о том, как сделать лучше, а потом голосовали. Понятно, что они были хорошими спорщиками: на таких собраниях приходилось опровергать противников, рассуждать, доказывать свою правоту. Греки считали, что спор помогает найти самое лучшее, самое правильное решение. Они даже изречение придумали: «В споре рождается истина». И в науке греки стали поступать так же, как на народном собрании. Они не просто заучивали правила, а доискивались причины: почему правильно делать так, а не иначе.Каждое правило греческие математики старались объяснить, доказать, что оно действительно верное. Для этого они спорили друг с другом, рассуждали, старались найти в рассуждениях ошибки. Докажут одно правило — рассуждения ведут к другому, более сложному, потом — к третьему, к четвёртому. Из правил складывались законы, а из законов — наука математика. Едва родившись, греческая математика сразу семимильными шагами пошла вперёд. Ей в этом помогали «рассуждение» и «доказательство» - то, чего раньше у других народов не было. Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — его еще называют египетским треугольником. Если Вы заметили, 3, 4 и 5 —не случайные числа. Смотрите-ка: 3 х 3 = 9; 4 х 4 = 16; 5 х 5 = 25. А если теперь сложить два первых результата? Ведь тоже получается 25. Оказывается, стороны египетского треугольника обладают каким-то особым свойством. Это видно на рисунке . К каждой стороне треугольника мы пририсовали по квадрату. В маленьком квадрате 9 клеток, в среднем — 16, а в большом, который лежит против прямого угла, — 25 клеток. Выходит, что в двух меньших квадратах столько же клеток, сколько в большем. Египтяне на это, возможно, не обращали внимания. Греки же не только заметили это свойство «египетского» треугольника, но и сделали интереснейшее открытие. Две с половиной тысячи лет назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике стороны обладают тем же свойством, что в «египетском». Это знаменитая теорема Пифагора, которая теперь есть в каждом школьном учебнике геометрии. Теорема Пифагора — уже не правило, а закон, потому что она верна не для одного или нескольких, а для всех прямоугольных треугольников. Греческие учёные не случайно так много занимались математикой. «Математика есть ключ ко всем наукам», — говорил один из них. И он, конечно, был прав. Ведь всё, что можно измерить, выразить числами, становится материалом для применения математики. Наверное, поэтому другой знаменитый учёный — Платон — над дверью дома, в котором он занимался со своими учениками, велел сделать такую надпись: «Не обучавшийся геометрии пусть не входит в эту дверь». В надписи Платона не случайно говорится не о математике вообще, а о геометрии, которую греки считали особенно важной наукой. Примерно 2200 лет назад жил знаменитый греческий геометр Евклид, имя которого сейчас знает весь мир. Евклид написал книгу «Начала», которую мы с вами назвали бы учебником геометрии. В неё вошла и вся геометрия того времени. Каждое свойство фигур Евклид доказывал и делал это так замечательно, что наш нынешний школьный учебник геометрии больше чем половину берёт прямо от Евклида. Представляете себе, каким гениальным человеком был этот учёный, если его книга приносит людям большую пользу даже сейчас, более 2000 лет спустя! Для построения фигур Евклид пользовался только линейкой и циркулем — других инструментов он не признавал. Самым важным «инструментом» у Евклида были рассуждения, правильные и точные рассуждения, которыми он доказывал всё то, что писал. Много греки занимались и наукой о числах, которая у них называлась, как и у нас, арифметикой. В школьном учебнике математики мы находим правило греческого учёного Эратосфена, которое служит людям две с лишним тысячи лет. Люди давно заметили, что числа бывают двух разных видов. Например, число 12 можно без остатка разделить на 2, 3, 4 и 6. А следующее за ним число 13 делится без остатка только само на себя: 13 : 13 = 1. Кроме того, каждое число делится на 1. Такие числа, как 12 или 15, которые можно разделить на какое-нибудь другое, меньшее число, не равное 1, называются составными. Те, которые делятся только сами на себя и на 1, например 2, 7, 11, 13, называются простыми. В математике часто бывает важно определить, простое или составное получившееся в задаче число. Если такое число маленькое, как в наших примерах, для этого достаточно таблицы умножения. А вот когда число большое — приходится пользоваться правилом Эратосфена. В учебниках математики оно называется «решетом Эратосфена». Другого способа математики так и не придумали. Греческие учёные много занимались задачей: найти длину ребра куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба («удвоение куба»). Задача эта украшена многими преданиями. Греки стремились решить её при помощи только циркуля и линейки. Ныне доказано, что это невозможно. Эратосфен для решения этой знаменитой задачи применил придуманный им прибор, который назывался мезолябия и служил для извлечения кубических корней. Вот как ему удалось это сделать. Между рейками АВ и СД расположены три равных прямоугольных треугольника 1, 2, 3 (см. рисунок) . Первый закреплён, 2 и 3 могут передвигаться вдоль реек. Если К — середина отрезка ДВ и треугольники 2 и 3 передвинуты так, что точки пересечения сторон треугольника L и N находятся на прямой АН, то куб с ребром ML имеет объём вдвое больший, чем куб с ребром ДК. Греки открыли и много других важных свойств чисел и правил вычисления. И всё, что они делали, они не только объясняли, показывали, но и обязательно доказывали. Кроме арифметики и геометрии в греческую математику входила...музыка. Музыкой греки называли ту часть нашей математики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Почему такое странное название? Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже, «толще» получается звук, который она издаёт. Они знали, что короткая струна издаёт высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длины звучащих частей их должны быть в определённом отношении. Поэтому учение об отношениях, о дробях и стало называться музыкой. До сих пор мы с вами говорили о греческих учёных, которые изучали свойства чисел, свойства фигур, открывали законы математики.Таких учёных сейчас называют теоретиками. Но математика всегда решала те задачи, какие ставила перед ней жизнь, практика. Поэтому греческие учёные решили и множество практических задач, которые до них люди решать не умели. Например, греки первыми научились издали определять расстояние до корабля в море или другого недоступного предмета. Для этого они использовали свойства прямоугольного треугольника с двумя одинаковыми сторонами — равнобедренного треугольника. У такого треугольника каждый из двух одинаковых углов равен 45 градусам - половине прямого угла. Выходит, что если мысленно построить такой прямоугольный треугольник, то расстояние по берегу от вершины прямого угла, где вбит шест, до человека с угольником как раз равно расстоянию от шеста до корабля (см. рисунок) . Оставалось лишь измерить расстояние до шеста по берегу, что, конечно, легче, чем по воде! Этот принцип до сих пор лежит в основе определения расстояний с помощью оптических приборов. Греческий математик Фалес первым определил высоту египетской пирамиды по длине её тени. Как это делалось, понятно из рисунка . Высота пирамиды во столько раз меньше длины тени, во сколько тень от палки длиннее палки. Очень интересную задачу решил математик Эратосфен, тот самый, который придумал «решето». Он впервые определил размеры земного шара. Эратосфен был греком, но жил около 2000 лет назад не в Греции, а в Египте, в городе Александрии. Южнее Александрии на берегу Нила лежит город Асуан. Эратосфен узнал, что в день летнего солнцестояния — самый длинный день года — в Асуане солнце заглядывает на дно самых глубоких колодцев. А в Александрии в этот день дно колодцев остаётся в тени. Там солнечные лучи падают на землю не отвесно, как в Асуане, а под углом, и освещают только стенку колодца. Эратосфен измерил угол между направлением солнечного луча и стенкой колодца. Оказалось, что этот угол равен 1/50 части полной окружности. Вероятно, Эратосфен рассуждал примерно так: «Солнечные лучи всюду параллельны, а колодцы всегда копают по отвесу. Солнце может по-разному освещать колодцы в Асуане и Александрии только потому, что Земля не плоская. Скорее всего она круглая как шар. Но раз угол между солнечным лучом и отвесом в Александрии равен 1/50 части полной окружности, то расстояние между Александрией и Асуаном также равно 1/50 части окружности, которая опоясывает земной шар». Расстояние от Александрии до Асуана Эратосфен приблизительно знал. Умножив это расстояние на 50, он определил длину окружности (меридиана), «надетой» на Землю. Если величину разделить на 3,14, то и получится диаметр земного шара. Много практических задач по математике и физике решил греческий учёный и изобретатель Архимед, имя которого упоминается в каждом учебнике физики. Он нашёл, что при взвешивании тела, погружённого в жидкость (например, в воду), весы показывают на столько меньше веса тела в воздухе, сколько весит вытесненная телом жидкость, — это один из самых важных законов физики. По этому закону плавают по воде тяжёлые железные суда, летают воздушные шары. По преданию, Архимед додумался до своего закона, когда ему поручили решить, не подмешал ли мастер в царскую корону из сплава золота с серебром слишком много серебра. Подозревали, что мастер утаил часть золота. Архимед знал, что золото гораздо тяжелее серебра, и, взвесив корону сначала в воздухе, а потом в воде, он сумел ответить на этот вопрос. За свою жизнь Архимед сделал так много, что рассказывать об этом подробно надо в отдельной книге. Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашёл правила вычисления площадей и объёмов различных тел, с большой точностью определил отношение длины окружности к длине её поперечника. Среди других задач была и такая: найти отношение объёма шара, вставленного (математики говорят: «вписанного») в цилиндр, к объёму этого цилиндра. Архимед определил, что объём вписанного шара равен 2/3 объёма цилиндра, и велел, чтобы после его смерти на могильном камне вырезали чертёж этой задачи: шар в цилиндре. Потом, двести лет спустя, по этому рисунку нашли могилу Архимеда. В арифметике Архимед особенно интересовался очень большими числами. Одна из его книг так и называется: «Исчисление песчинок». Но больше всего Архимед славился среди греков своими изобретениями. Некоторые его изобретения живут и по сей день. Например, каждая хозяйка, сама того не зная, часто пользуется «винтом Архимеда». Главную часть мясорубки — винт, который вертится внутри трубки и толкает мясо к ножам, — изобрёл Архимед две с лишним тысячи лет назад. Он придумал его, конечно, не для мясорубки, а для насосов, которыми качали воду на поля.Когда Архимеду было около семидесяти лет, в 212 году до нашей эры, его родной город Сиракузы осадили войска могущественного Рима и потребовали сдачи. Сиракузцы решили защищаться. Одним из руководителей обороны стал Архимед. Под руководствомАрхимеда горожане построили много военных машин для метания тяжёлых камней и брёвен. Машины помогали им почти год отбиваться от многотысячных римских войск, но в конце концов римляне всё-таки ворвались в город и перебили почти всех жителей. Среди погибших был и Архимед. Предание говорит, что, когда римский солдат уже замахнулся на старого Архимеда мечом, он крикнул: «Не трогай мои чертежи!» Несмотря на то, что греческие учёные были замечательными мастерами «рассуждений и доказательств», они все же встречали трудности в решении некоторых задач. Одной из таких задач, в которой как будто правильное рассуждение приводит к явно нелепому результату, является знаменитая задача про Ахиллеса и черепаху. Герой греческих сказаний Ахиллес был самым быстрым на свете бегуном. А условия задачи были такие: Ахиллес и черепаха стоят на одной и той же дороге, черепаха на одну меру пути впереди Ахиллеса. Они одновременно пускаются в путь в одном и том же направлении. Пусть Ахиллес двигается в 10 раз быстрее черепахи. Догонит ли Ахиллес черепаху и когда? Рассуждали так. Когда Ахиллес добежит до того места, где стояла черепаха, скажем, километр, черепаха уползёт вперёд на 100 метров.Ахиллес пробежит оставшиеся 100 метров, но черепаха опять уползёт на 10 метров. Ахиллес пробежит 10 метров, а черепаха опять уползёт наметр, и так — до бесконечности. Выходит, что Ахиллес как будто никогда не только не перегонит злополучную черепаху, но даже не сможет её догнать. Кроме замечательных математических рукописей греки оставили нам в наследство еще одно важное и знаменитое математическое изобретение. Это изобретение — счётный столбик, абак. Наши счёты, которыми иной раз ещё пользуются, — очень близкий родственник греческого абака. Мы знаем, что греки записывали числа буквами (см. рисунок) . Это был не очень удобный способ. Мы при сложении, например, пишем слагаемые одно под другим и складываем столбиком. Изобретение такого способа сложения было важным шагом вперёд в развитии арифметики. Забавно, но по некоторым современным школьным программам обучения в младших классах не учат решать примеры столбиком... При обозначении же чисел буквами сложение столбиком невозможно. Чтобы облегчить себе сложение и вычитание больших чисел, люди (возможно, ещё вавилоняне) придумали счётный столбик — абак. Доска абака разделена на вертикальные полоски. Каждая полоска назначена для откладывания отдельных разрядов чисел: в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску — сколько в числе десятков, в третью — сколько в числе сотен, и так далее. Полоски соединены дужками по три в классы: единицы, тысячи, миллионы. Наши счёты в общем-то тоже абак, в котором место полосок занимают проволоки с бусинами для единиц, десятков, сотен и так далее. В некоторых книгах пишут, что наши счёты китайского происхождения и были привезены в Россию при Петре I в начале XVIII века. Это мнение ошибочное. Китайцы, правда, также изобрели счёты, но они отличаются от наших. В них на каждой проволоке не по десять шариков, как у нас, а по семь.Последние два шарика отделены от первых, и каждый из них обозначает «пять». Когда при расчётах набирается пять шариков, вместо них откладывают один шарик второго отделения счётов. Китайские счёты изобретены в то отдалённое время, когда пользовались не десятичной системой счисления, а пятеричной, что, возможно, говорит об их более древнем происхождении. Пятеричное счисление сохранялось до недавнего времени у некоторых народов, например, у чукчей. Десятичная система счисления — это дальнейшая, более поздняя ступень развития арифметики. Но в общем-то, и китайские счеты, и абак, основаны на едином принципе — вычислениям в столбик. На этом мы закончим занимательный рассказ о греческой математике, а в дальнейших статьях расскажем о развитии математики и у других народов и цивилизаций в разные временные эпохи.

Тридцатая школа

Материалы по теме

< История геометрии
Математика в Древней Руси >

30school.ru

Математика в Древней Греции

Внеклассное занятие

по математике

Математика в Древней Греции

Цель: развитие интереса к математике, исследовательской и проектной деятельности обучающихся

Задачи: познакомить обучающихся с историей развития математики в Древней Греции; развивать умение выделять главное в тексте,

умение работать на компьютере; воспитывать ответственность за порученное дело

Краткое содержание:

1. Развитие математики

2 . Школа Пифагорейцев

3 . Поворот в истории развития античной математики

4. Проблема бесконечности

5. Период самостоятельной деятельности греков

6. Заключение

Что такое математика?

Математика зародилась в V-VI веке до н.э. в Древней Греции. Затем она появилась у арабов, а несколько позже дошла до европейцев.

Термин « математика» произошел от греческого слова mathema, что означает - наука, учение, знание.

Математика занимается изучением чисел и величин, их сходствами и отличиями. Изучая математику, мы находим ответы на многие вопросы, объясняем форму и объём предметов, находим способы решения многих задач. Математика включает в себя различные разделы: алгебру, геометрию, арифметику, логику и многие другие.

"Нет стремления более естественного, чем стремление к знанию." - М.Монтень

Математики Древней Греции

Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис

В Древней Греции математика развивалась по иному направлению, чем на Востоке

Греки связывали высокое развитие арифметики с их обширной торговлей; начало же греческой геометрии связано с путешествиями. Появились римские цифры: I II III IV V VI VII VIII IХ Х.

Школа Пифагорейцев

Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571-479 гг. до н.э.). Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.

Пифагор (ок. 580- ок. 550 гг. до н.э.)

Полагают, что жил Пифагор около 580—550 гг. до н. э., о жизни его до нас дошли очень скудные данные. По отрывочным сведениям некоторых историков известно, что Пифагор родился на острове Самосе.

В молодости для изучения наук жрецов путешествовал по Египту, жил также в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрологию и астрономию у халдейских жрецов. После Вавилона, побыв некоторое время в своем отечестве, переселился в Южную Италию, а потом в Сицилию и организовал там пифагорейскую школу, которая внесла ценный вклад в развитие математики и астрономии. Однако, приняв количественное отношение за сущность вещей и оторвав их от материального мира, эта школа пришла к идеализму. В политической жизни пифагорейская школа стала реакционной политической организацией рабовладельческой аристократии того времени.

Пифагор и его ученики много потрудились над тем, чтобы придать геометрии научный характер.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции

Успехи пифагорейцев в стереометрии были значительными. Они занимались изучением свойств шара, открыли построение четырех правильных многоугольников - тетраэдра, куба, октаэдра и додекаэдра (икосаэдр исследовал впоследствии Геэтет). Однако они не смогли обосновать утверждения, относящиеся к объемам тел (пирамиды, конуса, цилиндра и шара), хотя, конечно, эти утверждения были установлены эмпирически много веков раньше. Не знали пифагорейцы и отношения поверхности шара к большому кругу. В области арифметики пифагорейцы изучали свойства четных и нечетных, простых и составных натуральных чисел, искали совершенные числа, т.е. такие, которые равны сумме всех своих делителей (например, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Пифагорейцы знали также дробные числа и в этой связи разработали теорию арифметической и геометрической пропорций. Они владели понятиями среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического.

Греческий театр

Перед вами остатки древнего греческого театра. Обратите внимание, как идеально выдержана в нем форма конуса. Это сделать довольно сложно! Нужны серьезные математические инструменты. Кстати в самой древней Греции существовали предания, что такие театры, когда-то ранее использовалось совсем для других целей. Для каких – неизвестно.

Несоизмеримые величины

Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики.
По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному.
Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного.

Проблема бесконечности

В древнегреческой философии понятие бесконечности появилось впервые у материалистов милетской школы. Анаксимандр (610-546 гг. до н.э.), преемник Фалеса, учил: материя бесконечна в пространстве и во времени; вселенная бесконечна, число миров бесконечно. Анаксимен (546 г. до н.э. - расцвет деятельности) говорил: вечный круговорот материи - это и есть бесконечность.

Бесконечность

Бесконечность для Анаксигора - потенциальная; она существует в двух формах: как бесконечно малое и бесконечно большое. В математике точка зрения Анаксагора нашла благоприятную почву благодаря открытию несоизмеримых величин - величин, которые не могут быть измерены любой, какой угодно малой, общей мерой.

Аристотель

Аристотель (384-322 гг. до н.э.) отчетливо различает два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Понятие актуальной бесконечности в древней Греции не получило развития как в философии, так и в математике.

Период самостоятельной деятельности греков

Период вполне самостоятельной деятельности греков в области математики начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии. С этого времени последующее развитие, если не всей математики вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведёт его, пока находит в своём распоряжении необходимые средства.

Философия математики

Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии математики и в частности её методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места её основным положениям, на приведение приобретённых ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но ещё не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический.

Школа Платона

В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперёд мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал своё развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: Леоном в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона.

АРХИМЕД ( около287 - 212 гг. до нашей эры )

- величайший математик и механик древней Греции, основоположник теоретической механики и гидростатики. В работах по статике и гидростатике дал образцы применения математики к задачам естествознания и техники, применил физико-математические знания к конструированию машин и сооружений. Архимед вошел в историю как один из первых ученых, работавших на войну, и как первая известная жертва войны среди ученых. Он был убит римским воином во время решения геометрической задачи.

Заключение

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних.
Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей. Евдопс развил общую теорию пропорций - геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел - и разработал метод исчерпывания - зачаточную форму теории пределов.

Информационные ресурсы

1) Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И.Н. Веселовского - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.
2) Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире - М.: Просвещение, 1967. - 101 с.
3) Глейзер Г.И. История математики в школе - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
Список литературы
4) Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе - М.: Просвещение, 1965. - 102-103, 236-238 с.
5) История математики Т 1: С древнейших времен до начала Нового времени / Под редакцией А.П. Юшкевича (в трёх томах): - М.: Наука, 1970. - 321 с.

videouroki.net

Математика в Древней Греции Википедия

Данная статья — часть обзора История математики.

Введение[ | код]

Математика как наука родилась в Древней Греции[1][2]. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировал эту же мысль Галилей два тысячелетия спустя: «книга природы написана на языке математики»[3].

Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями математики.

Источники[ | код]

Бо́льшая часть античных сочинений по математике не дошла до наших дней и известна только по упоминаниям позднейших авторов и комментаторов, в первую очередь Паппа Александрийского (III век), Прокла (V век), Симпликия (VI век) и др. Среди сохранившихся трудов в первую очередь следует назвать «Начала» Евклида и отдельные книги Аристотеля, Архимеда, Аполлония и Диофанта.

Начальный период[ | код]

Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем не выделялась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.

Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.

В VI веке до н. э. начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно комментаторов Евклида, Платона и Аристотеля.

Фалес, богатый купец, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию — вероятно, во время торговых поездок. Ионийцы, по сообщению Евдема Родосского, дали первые доказательства нескольких простых геометрических теорем — например, о том, что вертикальные

ru-wiki.ru

Математика в Древней Греции - часть 2

Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним - предложение уже доказанное.

Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего.

Об апагогическом методе, или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Евклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза даёт Прокл, при своём приписывании их Платону; "Третий (апагогический) метод, - говорит он, - есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину". В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого.

Учёные математики, принадлежавшие к Академии распадались на две группы: на учёных, получивших своё математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодам Фасосский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых - Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона - Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп Мендейский и Филипп Опунтский.

В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперёд мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал своё развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги "Элементов" геометрии: Леоном в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона.

Создание в школе Платона философии математики должно было повести необходимым образом к разработке необходимой для неё истории математики. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории математики этих учёных заключается всё крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство наук, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до н.э., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира.

В деятельности Евклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным.

В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н.э., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской математики, об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.

Третьей фазой упадка греческой математики была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём "Собрании", этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.

Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н.э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних.

Пифагорейцы заложили основы геометрической алгебры. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония. Теэтет и Евклид установили классификацию квадратичных иррациональностей. Евдопс развил общую теорию пропорций - геометрический эквивалент теории положительных вещественных чисел - и разработал метод исчерпывания - зачаточную форму теории пределов.

Эти теории создали прочный каркас здания древнегреческой математики, фундаментом которого была геометрия; тем самым преодолевались трудности, связанные с фактом существования несоизмеримых величин. Чтобы избежать трудностей в обосновании математики, связанных с парадоксами бесконечности (Зенон, Аристотель), большинство ученых древней Греции предпочли отказаться от использования в математике идей бесконечности и движения или свести их применение к минимуму. В качестве такого минимума было принято утверждение о неограниченной делимости геометрических величин.

Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

1) Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского И.Н. Веселовского - М.: Физматгиз, 1959. - 456 с.

2) Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире - М.: Просвещение, 1967. - 101 с.

3) Глейзер Г.И. История математики в школе - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.

4) Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. Изд. второе - М.: Просвещение, 1965. - 102-103, 236-238 с.

5) История математики Т 1: С древнейших времен до начала Нового времени / Под редакцией А.П. Юшкевича (в трёх томах): - М.: Наука, 1970. - 321 с.

6) Клайн М. Математика. Утрата определённости - М.: Мир, 1984. - 231с.

7) Крыситский В. Шеренга великих математиков - Варшава: Наша Ксенгарня, 1981. - 31-34 с.

8) Рыбников К.А. История математики - М.: Просвещение, 1994. - 123 - 125 с.

9) Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А.П. Юшкевича - М.: Наука, 1976. - 23 с.

mirznanii.com

Математика в Древней Греции

Оглавление

Введение

Глава I. Школа пифагорейцев

1.1 Развитие математики как теории

1.2 Поворотный пункт в истории античной математики

Глава II. Проблема бесконечности

Глава III. Период Академии

3.1 Период самостоятельной деятельности греков

3.2 Период упадка

Заключение

Список литературы