История современного города Афины.

Древние Афины
История современных Афин

Презентация - Математика древнего Вавилона. Математика древнего вавилона

Вавилонская математика

Наше изначальное представление о форме и числе относится к очень далекой эпохе каменного века. Числовые термины и все, что с ними связано, входили в обиход человека медленно, постепенно. Первыми счет использовали охотники, рыболовы, а затем торговцы и землевладельцы. Счет был просто необходим человеку в быту, с его помощью он вел торговлю, обмен, следил за поголовьем скота и прочим. Первыми существенными достижениями в развитии арифметики можно назвать формирование четырех основных действий: деление, умножение, сложение, вычитание, а также концептуализация самого числа.

Главную роль в эволюции математики сыграли Египет и Вавилон. Народ и научные деятели этих цивилизаций внесли огромнейшую лепту в развитие геометрии, арифметики и даже положили начало зарождению алгебры.

Вавилон – родина математики как науки

Источником наших познаний о вавилонской цивилизации являются глиняные таблички, которые датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э. Эти таблички покрыты различными клинописными текстами и очень хорошо сохранились до наших дней. Исходя из того, что написано в этих документах, можно с уверенностью сказать, что математика во всех ее представлениях была очень хорошо развита на то время в Вавилоне.

Вавилонская глиняная табличка (около 1800 г. до н.э.)

В основном математика у вавилонцев была связана с бытом и ведением хозяйства. Арифметика и даже простая алгебра использовалась при расчете товаров, обмене денег, вычитании процентов как простых, так и сложных. Огромное количество задач возникло при строительстве зернохранилищ, каналов и других полезных сооружений. Еще одной из главных задач математики в Вавилоне было составление календаря. Календарь – это очень важный элемент этой цивилизации, так как именно на него опирались вавилонцы, создавая график сельскохозяйственных работ, а также празднуя религиозные праздники.

Вавилонская расчетная техника была намного более совершенной в отличие от египетской, и, соответственно, спектр решаемых задач был шире. Еще за почти 2000 лет до н.э. в Вавилоне были созданы таблицы умножения, таблицы квадратных и кубических корней, квадратов последовательных цельных чисел, сумм кубов и квадратов, использовались правила суммирования прогрессий, в задачах применялись пропорции, проценты и прочее.

Исходя из вышесказанного, можно с уверенностью сказать, что вавилонская математика очень быстро развивалась и стремительно совершенствовалась. Примерно в 700 году до н.э. эта древняя цивилизация стала использовать свои математические познания для изучения движения планет и Луны. Это в свою очередь дало хороший толчок для развития астрологии и астрономии.

www.letopis.info

О математике Древнего Вавилона. Другая история науки. От Аристотеля до Ньютона

О математике Древнего Вавилона

Во-первых, мы будем называть Вавилоном комплекс государств, которые, по мнению традиционной истории, сменяли друг друга на территории междуречья Тигра и Евфрата. От этих государств дошло до нас около ста тысяч глиняных табличек с записями, сделанными клинописью. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста – около 200.

Клинописный текст ВМ 85194 содержит 16 задач с решениями. Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рассматривает усеченный конус. Объем его определяется умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.

Вавилонская система имеет два основных элемента: «клин» V с числовым значением 1 и «крючок» ‹ с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = a 060 0 + a 160 1 +…

Таким образом, система счисления оказывается позиционной шестидесятиричной. Однако эта система не знает нуля. При отсутствии промежуточного разряда употреблялся специальный знак, игравший роль нуля. Но отсутствие низшего разряда не обозначалось. Таким образом, число, обозначающееся тремя единицами, можно было считать и как 3, и как 180, и как 10 800, и т. д. Различить их можно было только по смыслу текста.

Запись 3 могла также означать 3/60, 3/3600 и т. д., подобно тому, как числа 0,3, 0,03, 0,003 и т. д. в десятичной системе. Вот что значит наличие позиционной системы и отсутствие нуля!

Наряду с шестидесятиричной системой нумерации вавилоняне пользовались и десятичной системой, но она не была позиционной. В ней, кроме знаков для 1 и 10, существовали знаки для 100, 1000 и 10 000.

Вообще возникновение такой системы не очень понятно. Возможно, шестидесятеричная система существовала здесь и раньше, но люди, умевшие писать, были людьми другой культуры и поэтому, сохранив шестидесятеричную систему, стали использовать не двенадцатиричную, а десятичную. Это могло произойти и под влиянием Византии, где шестидесятеричная система выводится из геометрии. Самое простое – делить окружность на шесть частей, которые потом делятся на 10 частей. Как бы то ни было, мы сегодня не знаем, когда и как возникла здесь шестидесятеричная система. На этот счет строилось много гипотез, но ни одна пока не доказана.

Интересно, что хотя шестидесятеричная запись целых чисел не получила распространения за пределами ассиро-вавилонского царства, шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: в страны Ближнего Востока, Средней Азии, в Северную Африку и Западную Европу. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, то есть до начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса, а также часа на 60 минут и минуты на 60 секунд.

Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1?1 до 60?60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений. А кроме них, использовали таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (квадратных корней), таблицы чисел вида п 2 + п 3 и т. д.

В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов (на самом деле это не проценты как одна сотая часть числа, а одна шестидесятая часть числа) за долги, пропорциональное деление. Ряд текстов посвящен решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, 2-й и даже 3-й степени.

Б. Л. ван дёр Варден классифицировал все приемы решения задач в вавилонских табличках. Он пришел к выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения всего десяти видов уравнений и их систем. Наконец, в 1945 году Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В ней оказался перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то есть троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2.

Геометрические знания вавилонян содержали помимо общих типов задач также начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной геометрии. Площадь круга вычислялась по формуле S = c 2/12 (где с – длина окружности), откуда получается плохое еще приближение «пи» = 3.

Внимание ряда исследователей привлекала и пленяла высокая алгоритмичность, проявленная в математических текстах Вавилона. Это давало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и представлявшие своеобразную алгебру. Однако существуют и более осторожные оценки математических достижений вавилонян. Мы же можем сказать, что вавилонские математические традиции лежат в русле развития математики сопредельных государств Ближнего Востока. Они являются ранним этапом этого развития, вместе с математикой ранней Византии, из которой многое позаимствовали.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

history.wikireading.ru

Информатика и Физика: Математика в Древнем Вавилоне

Из более 500 тыс. глиняных табличек, найденных археологами при раскопках в Древней Месопотамии, около 400 содержат математические сведения. Большинство из них расшифрованы и позволяют составить довольно ясное представление о поразительных алгебраических и геометрических достижениях вавилонских учёных.

О времени и месте рождения математики мнения разнятся. Многочисленные исследователи этого вопроса приписывают создание её различным народам и приурочивают к разным эпохам. Единой точки зрения на этот счёт не было ещё у древних греков, среди которых особенно была распространена версия, что геометрию придумали египтяне, а арифметику — финикийские купцы, которые нуждались в подобных знаниях для торговых расчётов. Геродот в «Истории» и Страбон в «Географии» отдавали приоритет финикийцам. Платон и Диоген Лаэрций родиной и арифметики, и геометрии считали Египет. Таково же и мнение Аристотеля, полагавшего, что математика зародилась благодаря наличию досуга у тамошних жрецов.

Это замечание следует за пассажем о том, что в каждой цивилизации сначала рождаются практические ремёсла, затем искусства, служащие удовольствию, и лишь затем науки, направленные на познание. Евдем, ученик Аристотеля, как и большинство его предшественников, также считал родиной геометрии Египет, а причиной её появления — практические потребности землемерия. В своём совершенствовании геометрия проходит, по Евдему, три этапа: зарождение практических навыков землемерия, появление практически ориентированной прикладной дисциплины и превращение её в теоретическую науку. Судя по всему, два первых этапа Евдем относил к Египту, а третий — к греческой математике. Правда, он всё же признавал, что теория вычисления площадей возникла из решения квадратных уравнений, имевших вавилонское происхождение.

Небольшие глиняные бляшки, найденные в Иране, предположительно использовались для записи мер зерна 8 тыс. до н.э. Норвежский институт палеографии и истории,Осло. У историка Иосифа Флавия («Древняя Иудея», кн. 1, гл. 8) своё мнение. Он хоть и называет египтян первыми, но уверен, что арифметике и астрономии их обучил праотец евреев Авраам, скрывшийся в Египет во время голода, постигшего Ханаанскую землю. Что ж, египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам подобное мнение, которое с их лёгкой руки имеет хождение в исторической литературе до сих пор. Хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые клинописными текстами, найденные в Месопотамии и датируемые от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э., свидетельствуют как о несколько ином положении дел, так и о том, что представляла собой математика в древнем Вавилоне. Это был довольно сложный сплав арифметики, алгебры, геометрии и даже начатков тригонометрии.

Математике учили в писцовых школах, и каждый выпускник обладал довольно серьёзным для того времени объёмом знаний. Видимо, именно об этом говорит Ашшурбанипал, царь Ассирии в 7 в. до н.э., в одной из своих надписей, сообщая, что научился находить «сложные обратные дроби и умножать». Прибегать к вычислениям, жизнь заставляла вавилонян на каждом шагу. Арифметика и нехитрая алгебра нужны были в ведении хозяйства, при обмене денег и расчётах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Математических расчётов, причём довольно сложных, требовали масштабные архитектурные проекты, инженерные работы при строительстве ирригационной системы, баллистика, астрономия, астрология.

Важной задачей математики было определение сроков сельскохозяйственных работ, религиозных праздников, другие календарные нужды. Сколь высоки в древних городах-государствах междуречья Тигра и Евфрата были достижения в том, что греки позже назовут так удивительно точно mathema («познание»), позволяют судить расшифровки месопотамских глиняных клинописей. К слову, у греков термин mathema поначалу обозначал перечень четырёх наук: арифметику, геометрию, астрономию и гармонику, собственно математику он начал обозначать много позже. В Месопотамии археологи уже нашли и продолжают находить клинописные таблички с записями математического характера частью на аккадском, частью на шумерском языках, а также справочные математические таблицы. Последние сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить повседневно, поэтому в ряде расшифрованных текстов довольно часто содержится исчисление процентов.

Сохранились названия арифметических действий более раннего, шумерского периода месопотамской истории. Так, операция сложения называлась «накопление» или «прибавление», при вычитании употреблялся глагол «вырывать», а термин для умножения означал «скушать». Интересно, что в Вавилоне пользовались более обширной таблицей умножения — от 1 до 180 000, чем та, которую пришлось учить в школе нам, т.е. рассчитанная на числа от 1 до 100. В Древней Месопотамии были созданы единообразные правила арифметических действий не только с целыми числами, но и с дробями, в искусстве оперирования которыми вавилоняне значительно превосходили египтян. В Египте, например, операции с дробями долгое время продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем, равным 1). Со времён шумеров в Месопотамии основной счётной единицей во всех хозяйственных делах было число 60, хотя была известна и десятеричная система счисления, которая была в ходу у аккадцев.

Самая знаменитая из математических табличек Старовавилонского периода, хранящаяся в библиотеке Колумбийского университета (США). Содержит перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, то есть троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2 и свидетельствует о том, что теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до рождения её автора. 1900 — 1600 гг. до н.э. Вавилонские математики широко пользовались шестидесятеричной позиционной(!) системой счёта. На её основе и были составлены различные вычислительные таблицы. Кроме таблиц умножения и таблиц обратных величин, с помощью которых производилось деление, существовали таблицы квадратных корней и кубических чисел. Клинописные тексты, посвящённые решению алгебраических и геометрических задач, свидетельствуют о том, что вавилонские математики умели решать некоторые специальные задачи, включавшие до десяти уравнений с десятью неизвестными, а также отдельные разновидности кубических уравнений и уравнений четвёртой степени. Квадратные уравнения вначале служили, в основном, сугубо практическим целям — измерению площадей и объёмов, что отразилось на терминологии. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», а другое — «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». Как и сейчас!

В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина — «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом». В дальнейшем, с развитием алгебраического мышления, неизвестные стали пониматься более абстрактно. Иногда в качестве иллюстрации алгебраических соотношений в Вавилоне использовались геометрические чертежи. Позже, в Древней Греции они стали основным элементом алгебры, тогда как для вавилонян, мысливших, прежде всего, алгебраически, чертежи были лишь средством наглядности, и под терминами «линия» и «площадь» чаще всего понимались безразмерные числа. Потому-то и встречались решения задач, где «площадь» складывалась со «стороной» или отнималась от «объёма» и т.п. Особое значение имело в древности точное измерение полей, садов, строений — ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи между ними, и после спада воды землемерам по заказу их владельцев частенько приходилось вновь перемеривать наделы. В клинописных архивах сохранилось немало таких землемерных карт, составленных свыше 4 тыс. лет тому назад.

Первоначально единицы измерения были не очень точными, ведь длину измеряли пальцами, ладонями, локтями, которые у разных людей разные. Получше обстояло дело с большими величинами, для измерения которых пользовались тростником и верёвкой определённых размеров. Но и здесь результаты измерений нередко различались между собой, в зависимости от того, кто мерил и где. Поэтому в разных городах Вавилонии были приняты разные меры длины. Например, в городе Лагаше «локоть» был равен 400 мм, а в Ниппуре и самом Вавилоне — 518 мм. Многие сохранившиеся клинописные материалы представляли собой учебные пособия для вавилонских школьников, в которых приводились решения различных несложных задач, часто встречавшихся в практической жизни. Неясно, правда, решал ли ученик их в уме или делал предварительные вычисления прутиком на земле — на табличках записаны только условия математических задач и их решение.

Геометрические задачи с рисунками трапеций и треугольников и решением теоремы Пифагора. Размеры таблички: 21,0x8,2. 19 в. до н.э. Британский музей Основную часть курса математики в школе занимало решение арифметических, алгебраических и геометрических задач, при формулировке которых было принято оперировать конкретными предметами, площадями и объёмами. На одной из клинописных табличек сохранилась такая задачка: «За сколько дней можно изготовить кусок ткани определённой длины, если мы знаем, что ежедневно изготовляется столько-то локтей (мера длины) этой ткани?» На другой приведены задачи, связанные со строительными работами. Например, «Сколько земли потребуется для насыпи, размеры которой известны, и сколько грунта должен перетаскать каждый рабочий, если известно их общее число?» или «Сколько глины должен заготовить каждый рабочий для возведения стены определённых размеров?»

Школьник также должен был уметь вычислять коэффициенты, подсчитывать итоги, решать задачи по измерению углов, вычислению площадей и объёмов прямолинейных фигур — это был обычный набор для элементарной геометрии. Интересны сохранившиеся с шумерских времён названия геометрических фигур. Треугольник назывался «клин», трапеция — «лоб быка», круг — «обруч», ёмкость обозначалась термином «вода», объём — «земля, песок», площадь именовалась «поле». Один из клинописных текстов содержит 16 задач с решениями, которые относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Одна задача снабжена чертежом, относящимся к круговому валу, ещё одна рассматривает усечённый конус, определяя его объём умножением высоты на полусумму площадей верхнего и нижнего оснований.

Вавилонские математики решали также планиметрические задачи, используя свойства прямоугольных треугольников, сформулированные Пифагором впоследствии в виде теоремы о равенстве в прямоугольном треугольнике квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов. Другими словами, знаменитая теорема Пифагора была известна вавилонянам не менее чем за тысячу лет до Пифагора. Помимо планиметрических задач, решали и стереометрические, связанные с определением объёма различного рода пространств, тел, широко практиковали черчение планов полей, местностей, отдельных зданий, но обычно не в масштабе. Наиболее значительным достижением математики было открытие того факта, что отношение диагонали и стороны квадрата не может быть выражено целым числом или простой дробью. Тем самым в математику было введено понятие иррациональности.

Считается, что открытие одного из важнейших иррациональных чисел — числа π, выражающего отношение длины окружности к её диаметру и равняющееся бесконечной дроби ≈ 3,14..., принадлежит Пифагору. По другой версии, для числа π значение 3,14 впервые предложил Архимед на 300 лет позже, в 3 в. до н.э. Ещё по одной, первым вычислившим его был Омар Хайям, это вообще 11 — 12 в. н.э. Достоверно известно лишь, что греческой буквой π это отношение впервые обозначил в 1706 г. английский математик Уильям Джонс, и лишь после того как в 1737 г. это обозначение позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым. Число π — древнейшая математическая загадка, это открытие следует искать также в Древней Месопотамии.

Вавилонские математики прекрасно знали о важнейших иррациональных числах, и решение задачи по вычислению площади круга также можно найти в расшифровках клинописных глиняных табличек математического содержания. Согласно этим данным π принималось равным 3, что, впрочем, было вполне достаточно для практических землемерных целей. Исследователи считают, что шестидесятеричная система была выбрана в Древнем Вавилоне из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей. Шестидесятеричная запись целых чисел распространения за пределами Месопотамии не получила, но в Европе вплоть до 17 в. широко применялись и шестидесятеричные дроби, и привычное нам деление окружности на 360 градусов. Час и минуты, делящиеся на 60 частей, также берут начало в Вавилоне.

Замечательна остроумная придумка вавилонян использовать для записи чисел минимальное количество цифровых знаков. Римлянам, например, даже в голову не пришло, что одной и той же цифрой можно обозначить разные величины! Для этого они использовали буквы своего алфавита. В итоге четырёхзначное число, к примеру, 2737 содержало аж одиннадцать букв: MMDCCXXXVII. И хотя и в наше время найдутся экстремалы-математики, которые сумеют разделить в столбик LXXVIII на CLXVI или перемножить CLIX на LXXIV, остаётся только пожалеть тех жителей Вечного города, которым приходилось производить при помощи подобной математической эквилибристики сложные календарные и астрономические расчёты или рассчитывались масштабные архитектурные проекты и различные инженерные объекты.

На использовании букв алфавита была основана и греческая система счисления. Вначале в Греции была принята аттическая система, использовавшая для обозначения единицы вертикальную черту, а для чисел 5, 10, 100, 1000, 10 000 (по существу это была десятичная система) — начальные буквы их греческих названий. Позже, примерно в 3 в. до н.э., получила широкое распространение ионическая система счисления, в которой для обозначения чисел использовались 24 буквы греческого алфавита и три архаические буквы. А чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. В этом смысле вавилонская математическая наука стояла выше позднейших греческой или римской, так как именно ей принадлежит одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел — принцип позиционности, согласно которому один и тот же числовой знак (символ) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. К слову, уступала вавилонской и современная ей египетская система счисления.

Табличка с вычислениями диаметра окружности из царской библиотеки Ашшурбанипала свидетельствует о том, что вавилонские математики умели решать задачи по вычислению площади круга и им было знакомо иррациональное число π.

17 в. до н.э. Частная коллекция

Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных чёрточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные иероглифические символы. Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках — небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый символ — широкий клиновидный знак с остриём, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах — небольшой кружок). Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Большинство современных историков считает, что древние научные познания носили чисто эмпирический характер.

В отношении физики, химии, натурфилософии, в основе которых лежали наблюдения, вроде и верно. Но представления о чувственном опыте, как источнике знаний, сталкиваются с неразрешимым вопросом, когда речь идёт о такой абстрактной науке, как оперирующая символами математика. Особенно значительными были достижения вавилонской математической астрономии. Но внезапный ли скачок поднял месопотамских математиков от уровня утилитарной практики до обширных познаний, позволяющих применять математические методы для предвычисления положений Солнца, Луны и планет, затмений и других небесных явлений, или развитие шло постепенно, мы, к сожалению, не знаем. История математических знаний вообще выглядит странновато.

Нам известно, как наши предки учились считать на пальцах рук и ног, делали примитивные числовые записи в виде зарубок на палке, узелков на верёвке или выложенных в ряд камешков. А далее — без всякого переходного звена — вдруг сведения о математических достижениях вавилонян, египтян, китайцев, индусов и других древних учёных, настолько солидных, что их математические методы выдерживали испытание временем вплоть до середины недавно закончившегося II тысячелетия, т. е. на протяжении более чем трёх тысяч лет…

Что скрыто между этими звеньями? Почему древние мудрецы, помимо практического значения, почитали математику как священное знание, а числам и геометрическим фигурам давали имена богов? Только ли за этим стоит трепетное отношение к Знанию, как таковому? Возможно, придёт время, когда археологи найдут ответы на эти вопросы. А пока ждём, не будем забывать, что ещё 700 лет назад сказал оксвордец Томас Брадвардин: «Тот, кто имеет бесстыдство отрицать математику, должен был бы знать с самого начала, что никогда не войдёт во врата мудрости».

uzaitsev.blogspot.com

История математики: Вавилон и Египет

Самой древней математической деятельностью был счет.

Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю.

Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом, пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев.

Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно 3000 лет до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Вавилон.

Источником наших знаний о вавилонской цивилизации служат хорошо сохранившиеся глиняные таблички, покрытые т.н. клинописными текстами, которые датируются от 2000 г. до н.э. и до 300 г. н.э.

Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца. Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами.

Очень важной задачей математики был расчет календаря, поскольку календарь использовался для определения сроков сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса и минуты - на 60 частей берут начало в вавилонской астрономии. Вавилоняне создали и систему счисления, использовавшую для чисел от 1 до 59 основание 10.

Вавилоняне составили таблицы обратных чисел (которые использовались при выполнении деления), таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов и кубических корней.

Около 700 г. до н.э. вавилоняне стали применять математику для исследования движений Луны и планет.

Это позволило им предсказывать положения планет, что было важно как для астрологии, так и для астрономии.

В геометрии вавилоняне знали о таких соотношениях, например, как пропорциональность соответствующих сторон подобных треугольников. Им была известна теорема Пифагора и то, что угол, вписанный в полуокружность, будет только прямой. Они располагали также правилами вычисления площадей простых плоских фигур, в том числе правильных многоугольников, и объемов простых тел. Число “пи” вавилоняне считали равным 3.

Египет.

Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 г. до н.э.

Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду - ок. 3500 до н.э.

Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. В папирусах можно найти также задачи, связанные с определением количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также более сложные задачи, связанные с различием в сортах зерна: для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

Но главной областью применения математики была астрономия, точнее, расчеты, связанные с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила.

Геометрия у египтян сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Математика, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений.

Ни вавилонская, ни египетская математики не располагали общими методами - весь свод математических знаний представлял собой скопление эмпирических формул и правил.

mirznanii.com

Математика древнего Вавилона

Другим примером того же рода может служить математическое наследие древнего Вавилона. Это название обычно распространяется на совокупность государств, располагавшихся в междуречье Тигра и Евфрата и существовавших в период от 2000 до 200 г. до н. э. До нас дошло около ста тысяч глиняных табличек с клинописными записями. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста — около 200.

Вавилонская система математических символов имеет два основных элемента: клин с числовым значением 1 и крючок с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу N = α0 60° + α1 601 + α2 602+.... Таким образом система счисления оказывается позиционной 60-ричной. Однако эта система не имеет нуля, а один и тот же знак «клина» может обозначать не только единицу, но любое число вида 60±k (k — натуральное число).

Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1·1 до 60·60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы умножения находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений (так как b:a = b·1/а).

В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентовза долги, пропорциональное деление. Имеется также ряд текстов,посвященных решению задач, которые с со временной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, и 2-й и даже 3-й степени.

Б. Л. ван дер Варден в своей книге «Пробуждающаяся наука» классифицировал все приемы решения задач в вавилонских табличках. Он пришел к выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения следующих десяти видов уравнений и их систем:

а) уравнения с одним неизвестным:

ах=b, х2 = а; х2± ах=b; х3=а; х2(х+ 1)=а;

б) системы уравнений с двумя неизвестными:

х ± у=а, ху=b, х2+у2 = b.

Кроме того, вавилонянам были известны: суммирование арифметических прогрессий; суммы вида

Наконец, в 1945 г. Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В ней оказался перечень прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. троек пифагоровых чисел x2+y2 = z2. Реконструкция метода их подбора приводит, по-видимому, к формулам: х = р2- q2; y = 2pqz = p2 + q2, известным в теории чисел как диофантовы.

Геометрические знания вавилонян, по-видимому, превышали египетские, так как в текстах помимо общих типов задач встречаются начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной геометрии. Площадь

круга вычислялась по формуле S=c2/12 ( c-длина окружности), откуда получалось плохое еще приближение: π = 3. Имелись также и способы приблизительного вычисления объемов, основанные на своеобразном усреднении размеров.

Внимание ряда исследователей привлекает высокая алгоритмичность, проявлявшаяся в математических текстах древнего Вавилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и представляющие своеобразную алгебру (Нейгебауер, Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки математических достижений вавилонян.

Вавилонские математические традиции распространились на сопредельные государства Ближнего Востока и могут быть прослежены в них вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 г. — ок. 30 г. до н. э.).

Итак, к середине первого тысячелетия до н. э. в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились такие условия, что математика могла быть осмыслена как самостоятельная наука, были выделены как самостоятельный объект человеческой мысли ее основные понятия и предложения, и форма этого выделения оказалась достаточно общей и абстрактной для введения логических доказательств. Эта следующая фаза развития математики с наибольшей силой определилась в античной Греции к VI—V вв. до н. э.

Приведенные примеры показывают, как в разных странах происходил процесс накопления большого конкретного математического материала в виде приемов арифметических действий, способов определения площадей и объемов, методы решения некоторых классов задач, вспомогательных таблиц и т. п. Примерно такой же процесс накопления математических знаний происходил в Китае и в Индии.

« назад в меню

mathshkola.ru

Презентация - Математика древнего Вавилона

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

математика древнего ВавилонаВавилонские «тексты» доходят до нас в виде глиняных табличек, обычно примерно размера ладони,которые датируются от 2000 до н.э. и до 300 н.э. Они написаны клинописью, клинообразным алфавитом, имевшим такую форму благодаря стилосу, который использовался для письма. 1(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 2

. Законы, налоговые счета, истории, школьные уроки, личные письма выдавливались на мягких глиняных табличках и затем высушивались на горячем солнце или в духовках. математика древнего Вавилона2(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 3

В математике вавилоняне (шумеры) продвинулись немного далее, нежели египтяне.Математику Древнего Вавилона можно было назвать рецептурной, хотя неизвестно, каким образом были получены эти рецепты.математика древнего Вавилона3(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 4

Математика на клинописных табличках в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика и нехитрая алгебра использовались при обмене денег и расчетах за товары, вычислении простых и сложных процентов, налогов и доли урожая, сдаваемой в пользу государства, храма или землевладельца математика древнего Вавилона

Многочисленные арифметические и геометрические задачи возникали в связи со строительством каналов, зернохранилищ и другими общественными работами. 4(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 5

Вавилонская нумерацияВ древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятеричной 5(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 6

Вавилонская нумерацияЧисла менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например 6(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 7

Вавилонская нумерацияЧисло 32Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1. число 92 7(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 8

Вавилонская нумерация8(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 9

Однако нуль в системе счисления древних вавилонян отсутствовал, из-за чего один и тот же набор символов мог означать и число 65 (60 + 5), и число 3605 (602 + 0 + 5). Возникали неоднозначности и в трактовке дробей. Например, одни и те же символы могли означать и число 21, и дробь 21/60 и (20/60 + 1/602). Неоднозначность разрешалась в зависимости от конкретного контекста. Вавилонская нумерация9(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 10

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали - это было почти невозможно. Они пользовались при своих вычислениях готовыми таблицами умножения, так же как мы теперь пользуемся, например, таблицами логарифмов. Вавилонская нумерация10(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 11

Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 равных частей (градусов). Вавилонская нумерация11(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 12

Их математическая система была позиционной, но шестидесятеричной Они не использовали нуль Допускались более общие, хотя и не все, дроби Они умели извлекать квадратные корни Они умели решать линейные системы Они умели работать с пифагоровыми тройками Они решали кубические уравнения с помощью таблиц Они изучали измерения, связанные с окружностями Их геометрия была не всегда правильнойВавилонская нумерация12(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 13

Решение квадратных уравнений. Вавилонский метод решения квадратных уравнений был основан, в первую очередь, на дополнении до полного квадрата. Метод(ы) не так «чисты» как современная квадратичная формула, потому что вавилоняне допускали только положительные решения. Поэтому уравнения всегда писались в такой форме, для которой было положительное решение. Отрицательные решения (на самом деле, отрицательные числа), не допускались вплоть 16-ого века нашей эры.Вавилонская нумерация13(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com

Слайд 14

Как считается, есть твердые основания полагать, что древние китайцы знали о теореме Пифагора, хотя, возможно, они не имели ни малейшего представления о ее доказательстве. Вавилоняне также знали о ней. На самом деле, в данном случае уверенность даже гораздо больше, так как была найдена целая табличка с пифагоровыми тройками. Вавилонская нумерация14(c) Коробейникова Н.А.материал подготовлен для сайта matematika.ucoz.com