Данная статья представляет собой обзор основных событий и тенденций в истории математики с древнейших времён до наших дней.
В истории математики существует несколько классификаций истории математики, по одной из них выделяются несколько этапов развития математических знаний:
Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы.
Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности.
Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий.
Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков.
В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной[1], и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости переменных величин (функция) и общая теория движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу.
В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»[2]: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках»[3]. В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на
ru-wiki.ru
История математики - версия для планшета (и для печати)
Последние несколько лет я писал школьный учебник геометрии, поэтому на другие книги времени почти не оставалось. Сейчас учебник наконец-то заканчивается, и я постепенно пишу книгу по истории математики. Издавать её в бумажном виде я сналала не планировал, но теперь уже планирую. Но распространять её в версии для планшета (в последнее время я только так книги и читаю) и для печати буду по-прежнему. Пока у меня более или менее готово до конца 19 века. 20-й век сложный, он займёт много времени. Пока выкладываю файлы только в ЖЖ; ничего другого я пока не придумал.
Принимаю предложения по оформлению. Я перечитал этот текст на 9-дюймовом PocketBook 912, было нормально. Но на 6-дюймовом, может быть, не очень удобно будет. Возможно, нужно делать разные версии для 6- и 9-дюймовых экранов.
[Старые файлы]
Предупреждение: в старых файлах могут быть ошибки и опечатки. Ими лучше не пользоваться. Я их оставил на всякий случай.
История математики. Глава 1. Древний Египет и Вавилон
PS Я не умею обращаться со шрифтами, поэтому у меня не самый удобный для планшета вид получился. Вадим Радионов изготовил этот текст с более подходящими шрифтами: https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/test.pdf И ещё вариант с более красивым шрифтом https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/test1.pdf
Версия для планшета https://yadi.sk/i/2FCMHszfaHXfV https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/glava1.pdfВерсия для печати https://yadi.sk/i/E5i-4fXWaJopZ https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/glava1_print.pdf
Глава 2. Древняя Греция
Версия для планшета https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/2_%D0%94%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D1%8F_%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D0%B8%D1%8F%28Fig%29.pdf http://prasolov.loegria.net/glava2.pdfВерсия для печати https://yadi.sk/i/yaiJZj1yaJou6 http://prasolov.loegria.net/glava2_print.pdf
Глава 3. Китай. Индия. Арабские страны
Версия для планшета https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/3_%D0%9A%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B9_%D0%98%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D1%8F_%D0%90%D1%80%D0%B0%D0%B1%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%8B.pdf http://prasolov.loegria.net/glava3.pdfВерсия для печати https://yadi.sk/i/z3E6XgJfaJozX http://prasolov.loegria.net/glava3_print.pdf
Главы 4 и 5. Средние века, Возрождение, 17 век
Версия для планшета https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/4-5_%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D0%B0_%D0%92%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_17_%D0%B2%D0%B5%D0%BA.pdf http://prasolov.loegria.net/glava4-5.pdfВерсия для печати https://yadi.sk/i/SgrFEoNbaJp4U http://prasolov.loegria.net/glava4-5_print.pdf
История математики до конца 17 века. Две версиидля планшета https://yadi.sk/i/Hgvw9je9grNfaдля печати https://yadi.sk/i/OYnlqw71wNNLo(Мне со временем обещали сделать более читаемую версию для планшета. Разбиение на отдельные главы есть в разделе "Старые файлы", но там могут быть ошибки и опечатки, исправленные в новой версии.)
Глава 6. 18 век
Версия для планшета http://yadi.sk/d/QjWEnPsq84W8u http://prasolov.loegria.net/glava6.pdfВерсия для печати https://yadi.sk/i/yBLJJce9aJp7B http://prasolov.loegria.net/glava6_print.pdf
Глава 7. Первая половина 19 века
Версия для планшета https://yadi.sk/i/ONWJ1eoxaHGBz http://prasolov.loegria.net/19vekI-reader.pdf Версия для печати https://yadi.sk/i/PDpqOipVaHGG9 http://prasolov.loegria.net/19vekI-print.pdf
Глава 8. Вторая половина 19 века
Версия для планшета https://yadi.sk/i/rCUAJWNnfvqv3 https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/19vekII-reader.pdfВерсия для печати https://yadi.sk/i/V--0cL2xfvqwn https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/19vekII-print.pdf
Глава 9. Начало 20 века
Версия для планшета: https://yadi.sk/i/9G6qWDJOhgBAD https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/20a_reader.pdf
Версия для печати: https://yadi.sk/i/SvhB9TXhhgBBU https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/20a_print.pdf
Глава 10. Середина 20 века
Версия для планшета: https://yadi.sk/i/EYijgX5Qj4BBb https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/20b_reader.pdf
Версия для печати: https://yadi.sk/i/0KFrkCM0j4BCk https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/20b_print.pdf
Глава 11. Вторая половина 20 века
Версия для планшета https://yadi.sk/i/uikuus7Dtbe5B (яндекс-диск) или https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/20c_reader.pdf (Dropbox)
Версия для печати https://yadi.sk/i/pn9rw5V0tbdua (яндекс-диск) или https://dl.dropboxusercontent.com/u/90020633/20c_print.pdf (Dropbox).
[Комментарий Я.А.Фельдмана http://jfeldman77.livejournal.com/]Уважаемый Виктор Васильевич!
Прямо перед обнаружением вашей «Истории математики» я как раз читал книгу «Флатландия» (Э.Эббот) и там главный персонаж – плоский Квадрат – обнаруживает, что ко всякому пространству можно добавить, по крайней мере, еще одно измерение
Я бы добавил к вашей книге еще одно измерение, которое в моей терминологии называется так:
«Моделирование чужого сознания как неоднородного своему»
Это моя старая тема.
Наш мир сейчас перемешивается гораздо быстрее, чем еще пять-десять, а тем более чем пятьдесят-сто лет назад. И вероятность, что вам в ближайший день-месяц-год придется столкнуться с человеком другой культуры, другого мышления, другого сознания уже равна единице. А значит умение «моделировать чужое сознания как неоднородное своему» часто становится условием победы, а иногда – условием выживания.
История – великолепный материал для тренировки умения «моделировать чужое сознание как неоднородное своему». И мы должны использовать этот ресурс по максимуму.
Но не только древние египтяне и вавилоняне по-другому видели мир, хотя это важно.
Аристотель, когда пишет о египтянах, пишет не как мы и не как древние египтянин, а как древний грек
Ученик старших классов не так читает книгу как мы, взрослые.
Человек другого – не математического стиля мышления – не так видит мир как мы, математики.
Но книга по истории математики не должна отрезать этих других – старшеклассников и взрослых -а, значит, мы должны моделировать как неоднородное своему.
Начало
Следует не только отделить греческую математику – математику доказательств – от более ранних математических школ, но и в этих более ранних знаниях отделить задачи государственных чиновников от тех знаний, которые были накоплены до государства.
Например,
До того как государственные жрецы Вавилона и Египта стали решать сложные задачи,
до больших государств
уже в обиходе существовали числа и геометрические фигуры.
Например, солярный знак – круг с выделенным центром
Какие еще фигуры можно найти в орнаментах?
Числительные и системы счисления, цифры, способы записи
Может быть для доказательной математики системы счисления не так интересны, но для компьютерных наук они очень интересны
И алгоритмы – для компьютерных наук – не менее важны чем доказательства.
Это должна быть первая глава.
Астрономические задачи вавилонян прямо повлияли на их систему счисления – круг, часы, год и прочее.
Системе счисления вавилонян нужно посвятить достаточно времени, чтобы читатель мог ее понять.
Это должна быть вторая глава
В основу классической геометрии, какую мы знаем ее после Евклида, легли не сложные задачи (архитектурного или строительного содержания), которым учили в египетской государственной школе, а задачи «землемерия», которым крестьяне учились друг у друга.
Существует принципиальная разница между египетским и вавилонским земледелием
Вавилонское земледелие возможно только после государственного строительства каналов и дамб. Египетское земледелие возможно до и без такого строительства.
Так что земледелие в Вавилоне столь же старо, как и государство (и связано с приходом ариев с севера)
А в Египте земледелие много старше государства. И задачи проведения границ между участками решались задолго до создания государственных школ.
Каждое лето снег в верховьях Нила тает и Нил разливается. Он несет с гор плодородный ил. Когда вода сойдет, ил покрывает всю долину, и все границы надо проводить заново.
Именно из такой задачи – провести границу после того, как ее смыло рекой – возникла «народная геометрия». И ее главный инструмент – веревка и два колышка. Так возник «отрезок прямой» - основа всей египетской геометрии.
Но в строительстве этот инструмент не применим или применим ограниченно, только при закладке фундамента.
Поэтому там первоначально мерой служили локти и ладони.
И этим занимались уже другие люди.
Это должна быть третья глава
Предисловие и текст первой главы
Мелкие замечания.
Всюду, где упоминаются страны, должны быть карты и годы
Всюду, где упоминаются орнаменты, должны быть картинки
Там где упомянута фреска «Царь на закладке храма» хорошо бы эту фреску привести
Не кожа, а пергамент – телячья кожа специальной выделки (Как в Пергамском царстве)
Рисунок без подобия невозможен?
Нет, не так. Построение большого рисунка по малому шаблону без подобия невозможно
Верстка
Неудобно читать текст, который упоминает картинку, до которой надо еще мотать, а потом обратно мотать. На моем планшете это неудобно. На других компьютерах это неудобно тоже. В бумажной книге это тем более неудобно.
Хотя во всех старых книгах это обычная практика, но там писатель не имел доступа к верстке, и не мог поправить после наборщика. А сейчас не исправить это - издевательство над читателем.
Каждая задача должна быть изложена так, как это делается в тетрадке у хорошего ученика (и хорошо бы завести сквозную нумерацию задач)
ДаноЧертежТребуется найтиРешение
Чтобы можно было охватить глазом – на одной странице без переноса
Потоково-непрерывные-формулы-и-рассуждения это издевательство над читателем
Отдельные мысли и цитаты лучше начинать с красной строки.
vvprasolov.livejournal.com
История математики
История математики . Развитие и становление
Возникновение арифметики и геометрии
Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов.
Понятие о натуральных числах формировалось постепенно и осложнялось неумением первобытного человека отделять числовую абстракцию от её конкретного представления. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным — использовались пальцы, камешки, пометки и т. п. С распространением счёта на большие количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности.
Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.
Счётное устройство
инков
Вавилон
Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней.
Вавилонская расчётная техника была намного совершеннее египетской, а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение уравнений второй степени, геометрические прогрессии. При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с прогрессиями были глубже, чем у египтян.
Линейные и квадратные уравнения решались ещё в эпоху Хаммурапи; при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись, как буквенные обозначения неизвестных в нашей алгебре.
Встречаются также кубические уравнения и системы линейных уравнений. Венцом планиметрии была теорема Пифагора, известная ещё в эпоху Хаммурапи.
Математика в Вавилоне
Вавилонская табличка с вычислением
Вавилонские 60-ричные цифры
Египет
Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было.
Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике.
По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.
Математика в Древнем Египте
Иероглифическая запись уравнения
Иероглифическая запись числа 35736
Математика в Древнем Египте
Неизвестное число - „хау“ , “куча”
или “неизвестное количество” единиц
Часть папируса Ахмеса 1650 г. до н.э.
Задача № 24 сборника Ахмеса:
«Куча. Ее седьмая часть 19. Найти кучу».
Запись задачи нашими знаками:
Китай
Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и начертание их окончательно установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань (см. на фотографии), по принципу использования аналогичной русским счётам. Нуль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть.
Китайцам было известно многое, в том числе: вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного), действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений.
Математика в Древнем Китае
Суаньпань
Математика в девяти книгах (начало)
Математика в Древнем Китае
π
= 142/45 = 3,155
=
= 3,1415926
Фан-чэн ( 方程 ) для решения линейных уравнений.
Тянь-юань ( 天元术 ) метод нахождения корней многочлена.
Древняя Греция
Математика в современном понимании этого слова родилась в Греции. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд, либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Математической теории в полном смысле этого слова не было, дело ограничивалось сводом эмпирических правил.
Греки подошли к делу с другой стороны.
Во-первых, пифагорейская школа выдвинула тезис « Числа правят миром ». Это означало, что истины математики есть в известном смысле истины реального бытия.
Во-вторых, для открытия таких истин пифагорейцы разработали законченную методологию. Сначала они составили список первичных, интуитивно очевидных математических истин (аксиомы, постулаты). Затем с помощью логических рассуждений из этих истин выводились новые утверждения. Так появилась дедуктивная математика.
Греки проверили справедливость этого тезиса во многих областях: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой.
Математика в Древней Греции
Три великих геометра древности :
Евклид
Архимед
Апполон Пергский
Математика в Древней Греции
"Начала“
Евклид
Математика в Древней Греции
Метод исчерпывания
Архимед
Математика в Древней Греции
Метод конических сечений
Аполлоний Пергский
Индия
Около 500 года н. э. неизвестный нам великий индийский математик изобрёл новую систему записи чисел — десятичную позиционную систему. В ней выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятиричных, как у вавилонян. В дальнейшем индийцы использовали счётные доски, приспособленные к позиционной записи. Они разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней.
К V—VI векам относятся труды Ариабхаты, выдающегося индийского математика и астронома. В его труде «Ариабхатиам» встречается множество решений вычислительных задач. В VII веке работал другой известный индийский математик и астроном, Брахмагупта. Начиная с Брахмагупты, индийские математики свободно обращаются с отрицательными числами, трактуя их как долг.
Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Индийцы далеко продвинулись в алгебре. Геометрия вызывала у индийцев меньший интерес. Доказательства теорем состояли из чертежа и слова «смотри». Формулы для площадей и объёмов, а также тригонометрию они, скорее всего, унаследовали от греков.
Математика в Древней Индии
От этих индийских значков произошли
современные цифры
Ариабхата
Страны ислама
Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила более практичный характер. Основными областями применения математики были торговля, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика.
В IX веке жил аль-Хорезми — сын зороастрийского жреца, прозванный за это аль-Маджуси (маг). Изучив индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте», способствовавший популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до Испании. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение ал-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра».
Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии . Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век) и Ал-Каши (XV век) опубликовали выдающиеся работы в этих областях.
В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень и тем самым расширить их мощь.
Математика исламского средневековья
Арабский перевод
«Начал» Евклида
Математика исламского средневековья
Страница из „Книги об Индийском счете“аль-Хорезми
аль-Хорезми
Западная Европа Средневековье, IV—XV века
В V веке наступил конец Западной Римской империи, и территория Западной Европы надолго превратилась в поле непрестанных сражений с завоевателями. Развитие науки прекратилось. Потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников.
Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с XI века. Появляются первые университеты (Салерно, Болонья). Расширяется преподавание математики: в традиционный квадривиум входили арифметика, геометрия, астрономия и музыка.
Первое знакомство европейских учёных с античными открытиями происходило в Испании. В XII веке там переводятся основные труды великих греков и их исламских учеников. С XIV века главным местом научного обмена становится Византия.
В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был создан Парижский университет; Оксфорд и Кембридж в Британии. Интерес к науке растёт, и одно из проявлений этого — смена числовой системы. Долгое время в Европе применялись римские цифры. В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи (сначала переводы ал-Хорезми, потом собственные руководства), и начинается её применение.
Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи . Основной его труд: « Книга абака » (1202 год, второе переработанное издание — 1228 год). Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге.
В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах (Прага, Краков, Вена, Гейдельберг, Лейпциг, Базель и др.).
Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи, дал ясный (хотя не слишком удобный) набросок алгебраической символики.
Страница из «Книги абака»
Западная Европа - XVI век
XVI век стал переломным для европейской математики.
Первым крупным достижением стало открытие общего метода решения уравнений третьей и четвёртой степени. Итальянские математики дель Ферро, Тарталья и Феррари решили проблему, с которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира. При этом обнаружилось, что в решении иногда появлялись « невозможные » корни из отрицательных чисел. После анализа ситуации европейские математики назвали эти корни « мнимыми числами » . Так в математику впервые вошли комплексные числа.
Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Он окончательно сформулировал символический метаязык арифметики — буквенную алгебру.
Третье великое открытие XVI века — изобретение логарифмов (Джон Непер).
В 1585 году фламандец Симон Стевин издаёт книгу « Десятая » о правилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная система одерживает окончательную победу и в области дробных чисел.
Джон Непер
Западная Европа - XVII век
В XVII веке быстрое развитие математики продолжается, и к концу века облик науки коренным образом меняется.
Рене Декарт исправляет стратегическую ошибку античных математиков и восстанавливает алгебраическое понимание числа. Более того, он указывает способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык (с помощью системы координат. Так родилась аналитическая геометрия. Особо следует отметить разработанную им математическую символику, близкую к современной.
Пьер Ферма, Гюйгенс и Якоб Бернулли открывают новый раздел математики, которому суждено большое будущее — теорию вероятностей. Якоб Бернулли формулирует первую версию закона больших чисел.
И, наконец, появляется не очень чёткая, но глубокая идея — анализ произвольных гладких кривых с помощью разложения их на бесконечно малые отрезки прямых. Первой реализацией этой идеи был во многом несовершенный метод неделимых (Кеплер, Кавальери, Ферма), и уже с его помощью было сделано множество новых открытий. В конце XVII века идея неделимых была существенно расширена Ньютоном и Лейбницем, и появился исключительно могучий инструмент исследования — математический анализ. Это математическое направление стало основным в следующем, XVIII веке.
Исаак Ньютон
Западная Европа - XVIII век
XVIII век в математике можно кратко охарактеризовать как век анализа, который стал главным объектом приложения усилий математиков. Способствуя бурному развитию естественных наук, анализ, в свою очередь, прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. На стыке этого обмена идеями родилась математическая физика
Лидером математиков XVIII века был Эйлер, чей исключительный талант наложил отпечаток на все основные математические достижения столетия. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент функций, разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду с Мопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия как высший и универсальный закон природы.
В теории чисел окончательно легализуются мнимые числа. Эйлер разработал теорию делимости целых чисел и теорию сравнений (вычетов), завершённую Гауссом. Эйлер ввёл понятие первообразного корня, доказал его существование для любого простого числа и нашёл количество первообразных корней, открыл квадратичный закон взаимности. Он и Лагранж опубликовали общую теорию цепных дробей, и с их помощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил, что в ряде задач теории чисел можно применить аналитические методы.
Западная Европа - XIX век
В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии, кватернионы, конечные поля, некоммутативные группы и т. п.
Объектами математического исследования всё больше становятся нечисловые объекты: события, предикаты, множества, абстрактные структуры, векторы, тензоры, матрицы, функции, многолинейные формы и т. д.
Возникает и получает широкое развитие математическая логика.
Георг Кантор вводит в математику предельно абстрактную теорию множеств, а заодно понятие актуальной бесконечности произвольного масштаба.
В целом в XIX веке роль и престиж математики в науке и экономике заметно растут. Соответственно растёт и её государственная поддержка. Математика вновь становится по преимуществу университетской наукой. Появляются первые математические общества: Лондонское, Американское, Французское, Московское, а также общества в Палермо и Эдинбурге.
Неевклидовы геометрии
Россия
В 1701 году императорским указом была учреждена в Сухаревой башне математически-навигацкая школа , где преподавал Л. Ф. Магницкий. По поручению Петра I он написал (на церковно-славянском) известный учебник арифметики (1703), а позже издавал навигационные и логарифмические таблицы. Учебник Магницкого для того времени был исключительно добротным и содержательным. Автор тщательно отобрал всё лучшее, что было в существовавших тогда учебниках, и изложил материал ясно, с многочисленными примерами и пояснениями.
В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня.
Первым из них стал Михаил Васильевич Остроградский. Важные прикладные работы выполнил Виктор Яковлевич Буняковский — чрезвычайно разносторонний математик, изобретатель, признанный авторитет по теории чисел и теории вероятностей, автор фундаментального труда « Основания математической теории вероятностей » .
Фундаментальными вопросами математики в России первой половины XIX века занялся только Николай Иванович Лобачевский, который выступил против догмата евклидовости пространства. Несколько важных открытий общего характера сделала Софья Ковалевская.
Пафнутий Львович Чебышёв, математик-универсал, сделал множество открытий в самых разных, далёких друг от друга, областях математики — теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций.
Пафнутий
Львович
Чебышёв
Спасибо за внимание !
videouroki.net
Как научить ребенка счету. История древней математики — Вытворяндия
В современном мире предлагается множество методик обучения счету, и один из них соответствует истории развития математических навыков всего человечества. Это наиболее естественный путь, поэтому мы открываем цикл статей, в которых покажем, как научить вашего ребенка счету, играя в людей древних культур.
«Окоза-окоза-урапун.
Булан-гулиба-гулиба.
Петчевал!»
Правда, похоже на какую-то веселую детскую считалочку? Но подобными «считалочками» очень-очень давно изъяснялись взрослые и серьезные люди. А попросту – считали.
Спросите у ребенка, как он думает, всегда ли люди умели считать? И, если умели, то до скольки? И скорее отправляйтесь вместе в путешествие в прошлое, где жили первобытные люди.
Понятия «один» и «много»
Давным-давно многие тысячи лет назад жили наши предки в пещерах. Питались найденными растениями и добываемым в процессе охоты мясом. Одевались в шкуры животных. Древнейший человек поначалу действительно не умел считать. И только позже, наблюдая за природой, где жил и где охотился, он стал выделять отдельный предмет из множества таких же. Из стаи волков – вожака стаи. Из стада оленей – одного оленя. Так появились первые два числа – «один» и «много».
Попросите ребенка обозначить числительным количество всех предметов на картинке так, как если бы он был первобытным человеком (один мамонт, много бивней у мамонта, много первобытных людей, одна пещера, одно кострище, много дубинок…).
Счет на пальцах
Значительную часть времени люди занимались охотой, чтоб прокормить себя. Делали они это большими группами, иногда всем племенем. Чтобы охота была удачной, нужно было уметь окружить зверя. Обычно старший ставил двух охотников за берлогой медведя, четырех с рогатинами напротив и по три охотника с каждой стороны берлоги. Для этого он должен был уметь считать, но названий чисел тогда еще не было. Да и действовать надо очень тихо, молча, чтоб не спугнуть добычу.
Спросите у малыша, каким образом люди выходили из положения? Или предложите ему представить, что он с папой на рыбалке, где громко говорить нельзя, чтобы не спугнуть рыбу в озере. Как бы он показал количество рыбешек, которые уже пойманы и плавают сейчас в ведре? Верно, на пальцах! Так же поступали и древние люди.
Поиграйте с ребенком в «Доисторический магазинчик». Сделайте из пластилина (соленого теста, глины, пластики) миниатюрные кости, бивни мамонта, ягоду, рыбу, куски мяса. Принесите с улицы мелкие камешки, ракушки, листья, ветки (можно заменить зубочистками). Наверняка, у вас найдется кусочек меха, имитирующий шкуру мамонта. И устройте процесс купли-продажи по-первобытному. Покупатель показывает на товар, который хочет приобрести и, расположив руки на горизонтальной поверхности, выставляет столько пальцев, сколько этого товара ему требуется. Продавец выкладывает напротив каждого пальца по одному заказанному предмету. Так вы хорошо потренируете счет на пальцах рук.
Вот так происходила торговля в реальности в первобытные времена. А что, если было нужно больше десяти предметов и счета на пальцах рук не хватало? Люди пользовались пальцами ног. А если больше двадцати? Пользовались руками и ногами своих соплеменников!
Можно вообразить, что вы новоиспеченная первобытная семья, и вам нужно построить жилище и обустроить его изнутри. Составьте вместе список необходимых товаров. Например, 1 шкура мамонта и 20 крепких веток для создания шалаша, 7 камней и 14 мелких веток для очага, 2 шкуры саблезубого тигра, на которых можно спать, 4 груши, 6 яблок и 2 куска мяса, чтобы приготовить праздничное лакомство, которым вы отметите постройку нового дома. И со списком – в доисторический магазин.
А можно представить, что вы две разные семьи. Одна семья обладает одними видами товаров (и их у них в избытке), вторая – другими. Каждой семье необходимо обустроить свое собственное жилище по предыдущему списку путем обмена. Именно так и происходило в древние времена. Обсудите соотношение единиц различных товаров. Например, одну шкуру мамонта можно обменять на 2 шкуры саблезубого тигра, 1 кусок мяса на 10 яблок…
Завершите игру постройкой миниатюрных жилищ из приобретенных материалов.
Как посчитать стадо овец?
Спросите ребенка, что положительного и что отрицательного в счете на пальцах, который использовали древние люди? А удобно ли водить с собой толпу людей, если необходимы предметы в количестве многих десятков? Как, к примеру, узнать пастуху, все ли из 70 овец вернулись с пастбища? Возможно, малыш сам предложит способ, облегчающий жизнь нашим предкам.
А вот как справлялся тот самый пастух. Он откладывал в сторону по маленькому высохшему глиняному кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И семь человек для подсчета уже не требовалось.
Вот пример игры, как научить ребенка счету свыше 10-20. В детстве мне очень нравилось после праздников (как правило, первомайской демонстрации) принести домой охапку воздушных шаров. Я воображала себя пастухом и выгоняла пастись свое стадо баранов, коими были те самые шарики, на бескрайние альпийские луга своей огромной, как мне тогда казалось, трехкомнатной квартиры. Я усердно перегоняла их с луга на луг (из одной комнаты в другую) и, после долгого трудового дня возвращая их в хлев, частенько не досчитывалась нескольких беглецов. Ибо отдельные барашковые особи были слишком медлительны и не поспели за стадом. Другие – несколько трусливы и боязливо забивались по пути между шкафами, отказываясь следовать за всеми. Третьи были излишне любопытны и, обуреваемые страстью к странствиям, направляли свои стопы вопреки велению пастуха к другим неизведанным землям в поисках, вероятно, более сочных и плодородных лугов (в ванную комнату).
Поиграйте с ребенком точно так же, помечая каждого добросовестно вернувшегося домой кудрявого четвероногого друга соответствующей меткой – той же глиняной лепешкой или просто камешком. А потом отправляйтесь на поиски пропавших, добавляя соответствующее количество камешков.
Можно разнообразить процесс различными событиями: например, трех барашков преподнесли в подарок соседям, у овечки Машки родились близняшки…
Расскажите ребенку, что в стаде могли быть несколько разных видов скота. Например, бараны и козлы. Спросите, как же в этом случае узнать, кто из них заблудился? Для каждого вида животных была своя метка. Пусть и в вашем «стаде» красные шары, допустим, исполняют роль баранов, а синие – козлов. А, может, у вас народится и третий вид скота? Коров, к примеру. Загоняйте всю живность друг за другом вперемешку, и одновременно пусть малыш выкладывает соответствующую метку. Например: для козы ракушка, для барана камешек, для коровы шишка… Это задание хорошо тренирует распределение внимания.
Играя со своим ребенком по этой методике обучения счету, вы ненавязчиво и в интересной форме не только поможете ему освоить счет на пальцах, на глиняных кружочках (или других подручных предметах), но и познакомите малыша с жизнью первобытных людей: чем они занимались, что ели, какие у них были дома. В следующих статьях мы продолжим увлекательное путешествие в древний мир математики. Узнаем, как раньше назывались числа и как люди научились записывать числа цифрами. До встречи!
Оксана Яремчук, педагог дополнительного образования, психолог
Другие статьи цикла по истории математики:
Как научить ребенка счету. Учим счет, играя
Как научить ребенка счету. Названия чисел в математике
Как научить ребенка счету. Клинопись и другие «цифры» прошлого
Как научить ребенка счету. Иероглифы помогают в освоении разрядов чисел и действий с ними
Как научить ребенка счету. Римские цифры: как они появились и во что поиграть с ребенком?
Как научить ребенка счету. Современные цифры
Как научить ребенка счету. Задействуем разные органы чувств в математических играх
