Первый урок геометрии: возникновение и развитие геометрии. Древние геометрия ученые
от Древнего Египта до неевклидовых геометрий
С геометрией мы сталкиваемся ежесекундно, даже не замечая этого. Размеры и расстояния, формы и траектории движения — всё это геометрия. Значение числа π знают даже те, кого в школе от геометрии воротило и те, кто и зная это число, не в состоянии подсчитать площадь круга. Многие знания из области геометрии могут показаться элементарными — все знают, что самый короткий путь через прямоугольный участок лежит по диагонали. Но для того, чтобы сформулировать это знание в виде теоремы Пифагора, человечеству понадобились тысячелетия. Геометрия, как и другие науки, развивалась неравномерно. На смену резкому всплеску в Древней Греции пришёл застой Древнего Рима, который сменился Тёмными веками. Новому всплеску в Средневековье пришёл на смену настоящий взрыв 19 — 20 веков. Из прикладной науки геометрия превратилась в область высоких знаний, и её развитие продолжается. А начиналось всё с подсчёта налогов и пирамид…
1. Скорее всего, первые геометрические знания были выработаны древними египтянами. Они селились на плодородных заливаемых Нилом почвах. Налоги платили от имевшейся в распоряжении земли, а для этого нужно вычислять её площадь. Площадь квадрата и прямоугольника научились считать эмпирически, исходя из подобных фигур меньшего размера. А круг принимали за квадрат, стороны которого равны 8/9 диаметра. Число π при этом составляло примерно 3,16 — вполне приличная точность.
2. Занимавшихся геометрией строительства египтян называли гарпедонаптами (от слова «верёвка»). Самостоятельно они работать не могли — требовались рабы-помощники, так как для разметки поверхностей нужно было растягивать верёвки разной длины.
Строители пирамид не знали их высоту
3. Математическим аппаратом для решения геометрических задач первыми воспользовались вавилоняне. Они уже знали теорему, которую потом назовут Теоремой Пифагора. Все задачи вавилоняне записывали словами, отчего те получались очень громоздкими (ведь даже знак «+» появился только в конце 15-го века). И, тем не менее, вавилонская геометрия работала.
4. Систематизировал скудные тогда геометрические знания Фалес Милетский. Египтяне построили пирамиды, но не знали их высоты, а Фалес смог её измерить. Ещё до Евклида он доказал первые геометрические теоремы. Но, может быть, главным вкладом Фалеса в геометрию стало общение с юным Пифагором. Этот человек уже в старости повторял песнь о своей встрече с Фалесом и её значении для Пифагора. А ещё один ученик Фалеса по имени Анаксимандр начертил первую карту мира.
Фалес Милетский
5. Когда Пифагор доказал свою теорему, надстроив прямоугольный треугольник квадратами по его сторонам, его шок и потрясение учеников были так велики, что ученики решили — мир уже познан, осталось только объяснить его числами. Пифагор ушёл недалеко — он создал много нумерологических теорий, не имеющих отношения ни к науке, ни к реальной жизни.
Пифагор
6. Попытавшись решить задачу нахождения длины диагонали квадрата со стороной 1, Пифагор и его ученики поняли, что конечным числом эту длину выразить не удастся. Однако авторитет Пифагора был так силён, что он запретил ученикам разглашать этот факт. Гиппас не послушался учителя и был убит кем-то из других последователей Пифагора.
7. Важнейший вклад в геометрию внёс Евклид. Он первым ввёл простые, понятные и однозначные термины. Евклид также определил незыблемые постулаты геометрии (мы их называем аксиомами) и начала логически выводить все остальные положения науки, базируясь на этих постулатах. Книга Евклида «Начала» (хотя строго говоря, это не книга, а набор папирусов) — это Библия современной геометрии. Всего Евклид доказал 465 теорем.
8. Используя теоремы Евклида, работавший в Александрии Эратосфен первым вычислил длину окружности Земли. Основываясь на разнице в высоте тени, отбрасываемой палкой в полдень в Александрии и Сиене (не итальянской, а египетской, теперь это город Асуан), пешеходном измерении расстояния между этими городами. Эратосфен получил результат, всего на 4% отличающийся от нынешних измерений.
9. Архимед, которому Александрия была не чужда, хоть он и родился в Сиракузах, изобрёл немало механических устройств, но своим главным достижением считал вычисление объёмов конуса и шара, вписанных в цилиндр. Объём конуса составляет одну треть от объёма цилиндра, а объём шара — две трети.
Смерть Архимеда. «Отойди, ты закрываешь мне Солнце…»
10. Как ни странно, но за тысячелетие римского господства геометрия, при всём расцвете наук и искусств в Древнем Риме, не было доказано ни одной новой теоремы. В историю вошёл лишь Боэций, пытавшийся составить нечто вроде облегчённой, да ещё и изрядно перевранной, версии «Начал» для школьников.
11. Тёмные века, наступившие после краха Римской империи, затронули и геометрию. Мысль как бы замерла на долгие сотни лет. В 13-м веке Аделард Бартский впервые перевёл «Начала» на латынь, а ещё сто лет спустя Леонардо Фибоначчи привёз в Европу арабские цифры.
Леонардо Фибоначчи
12. Первым создавать описания пространства на языке чисел начал в 17-м веке француз Рене Декарт. Он же применил систему координат (её знал ещё Птолемей во 2-м веке) не только к картам, а ко всем фигурам на плоскости и создал описывающие простые фигуры уравнения. Открытия Декарта в геометрии позволили ему сделать ряд открытий и в физике. При этом, опасаясь гонений церкви, великий математик до 40 лет не опубликовал ни одной работы. Оказалось, правильно делал — его работу с длинным названием, которую чаще всего именуют «Рассуждение о методе», критиковали не только церковники, но и коллеги-математики. Доказало правоту Декарта, как ни банально это звучит, время.
Рене Декарт справедливо опасался публиковать свои труды
13. Отцом неевклидовой геометрии стал Карл Гаусс. Ещё мальчиком он самостоятельно выучился читать и писать, и однажды поразил отца, поправив его бухгалтерские расчёты. В начале 19-го века он написал ряд работ об искривлённом пространстве, но не публиковал их. Теперь учёные боялись не костра инквизиции, а философов. В то время мир млел от «Критики чистого разума» Канта, в которой автор призывал учёных отказаться от строгих формул и положиться на интуицию.
Карл Гаусс
14. Тем временем Янош Бойяи и Николай Лобачевский параллельно также разработали фрагменты теории неевклидового пространства. Бойяи также отправил свою работу в стол, лишь написав об открытии друзьям. Лобачевский в 1830 году напечатал свою работу в журнале «Казанский вестник». Лишь в 1860-х годах последователям пришлось восстанавливать хронологию работ всей троицы. Тогда-то и выяснилось, что Гаусс, Бойяи и Лобачевский работали параллельно, никто ни у кого ничего не воровал (а Лобачевскому одно время это приписывали), а первым всё же был Гаусс.
Николай Лобачевский
15. С точки зрения повседневной жизни обилие геометрий, созданных после Гаусса, выглядит игрой в науку. Однако это далеко не так. Неевклидовы геометрии помогают решить массу задач в математике, физике и астрономии.
100-faktov.ru
"Удивительная наука геометрия"
Удивительная наука
геометрия
Те, кто собирается посвятить свою жизнь науке,
должен представлять,
что наука откроет перед ним сказочные сокровища красоты
« Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»
Г. Галилей.
Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов, улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет нам хорошее знание такого предмета как геометрия.
Геометрия зародилась в глубокой древности. Древние египтяне были замечательными инженерами. Еще в древности они говорили: «Все боится времени, но само время боится пирамид». В Египте существовала такая профессия гарпедонапт или натягиватель веревки.
Натягивателями веревок греки называли Гарпедонаптов - землемеров -геометров. Они должны были восстанавливать границы участков после разлива. И это они успешно делали только с помощью веревки и колышков.
* В Греции геометрия стала математической наукой около 2500 лет назад, но зародилась геометрия в Египте, на плодородных землях Нила. Чтобы собирать налоги, царям требовалось измерять площади. Много знаний требовало и строительство. О серьезности геометрических знаний египтян говорит тот факт, что египетские пирамиды
стоят уже 5 тысяч лет.
Фалес Милетский
Искусны были египетские писцы и гарпедонапты. Но однажды им пришлось устыдиться, потому что пришелец из далекой Греции оказался намного искуснее их. Египтяне задали ему трудную задачу : найти высоту пирамиды. Он нашел простое и красивое решение: воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал :
« Когда тень от палки будет равна ее длине, тогда тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».
П л а т о н
Черновая работа была выполнена на протяжение многих веков в Вавилоне и Египте. На долю греческих ученых выпало систематизирование материала. Древнегреческий философ Платон , проводивший беседы со своими учениками в роще Академа ( Академ- древнегреческий мифологический герой, которого, по преданию, похоронили в священной роще недалеко от Афин; от его имени произошло слово «Академия») , одним из девизов своей школы провозгласил: «Не знающие геометрии не допускаются».
П и ф а г о р
Это время было особой эпохой не только в Греции, но и почти во всей ойкумене- известном греками обитаемом мире. Как весной, не сговариваясь, сразу зацветают все яблони, точно также в это время возникали новые идеи и учения. В это же время Гомер писал свою поэму «Одиссея»:
Муза, скажи мне о том многоопытном муже который,
Странствуя долго со дня, как святой Илион им разрушен.
Многих людей города посетил и обычаи видел,
Много и сердцем скорбел на морях, о спасенье заботясь»
П и ф а г о р
Ученый ,Пифагор, о котором пишет Гомен, объехав мир, поселился на острове Кротон, где вокруг него образовался
круг преданных ему учеников.
Греки считали за честь учиться математике у Пифагора. Но он требовал от своих учеников выполнения обета, который нашел отражение во фразе «бык на языке» ( «Держи язык за зубами ).
П и ф а г о р
Пифагор верил : чтобы познать суть, меру и связь явлений, надо погасить в себе суетность.
В геометрии его привлекали правильные фигуры и тела.
Сегодня трудно отделить истинные взгляды пифагорейцев от всего наносного, во многом мистического, чем время окутало их учение. Пифагорейцы верили в силу гармонии природы. Они геометризировали концепцию четырех первооснов мира.
Так, например, по их мнению, тетраэдр представлял атом огня, куб – земли, октаэдр – воздуха,
икосаэдр – воды, додекаэдр - вселенная
Теория пяти стихий мироздания вызывает сегодня лишь вежливую улыбку. Но в ней есть мудрость и она удивительно современна. При отборе пяти правильных тел Пифагор руководствовался прежде всего их симметрией.
От симметрии кристаллов до симметрии молекул ДНК «работают» фундаментальные законы, которые управляют всеми процессами физического мира.
Все стремились познать таинства природы.
Город Александрия был основан знаменитым полководцем Александром Македонским около 300 г. до н.э. После его смерти его полководцы разделили империю. Лучший кусок достался Птолемею. Он стал царем Египта. В своей столице он создал одну из крупнейших библиотек того времени. Узнав о сочинении, в котором была изложена геометрия как единая наука, Птолемей, познав автора сочинения, пожелал, чтобы тот обучал его этой науке. На что автор ответил: «В геометрии нет царских путей».
Е в к л и д
В то время знатные и богатые люди обучали своих детей прежде всего философии и литературе, а математике – лишь постольку, поскольку она соприкасается с философией. Знатным не подобало заниматься вычислениями и измерениями.
Одна из легенд рассказывает, что к Евклиду обратился юноша с просьбой взять его в ученики. Юноша спросил, какую пользу он получит, став геометром. Вместо ответа Евклид повелел своему слуге: «Дай этому человеку три обола (древняя монета), он ищет от геометрии пользу».
Е в к л и д
Позднее этот молодой человек досконально изучил «Начала» Евклида. Это про него написаны стихи :
Он чертил задумчивый, не гордый,
Позабыв текущие дела,-
И внезапно непонятной хордой
Тень копья чертеж пересекла.
Но убийц спокойствием пугая,
Он не унижался, не дрожа
Руку протянул, оберегая
Не себя, а знаки чертежа!
А р х и м е д
За свою жизнь Архимед сделал так много, что трудно подробно рассказать. Он с большой точностью определил отношение длины окружности к ее поперечнику.
Великий итальянский ученый Галилео Галилей однажды сказал: «Геометрия является могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
Г а у с с
В первой книге «Начал» Евклид учит строить правильные многоугольники, но вот правильный семиугольник ни Евклид, ни его ученики построить не смогли, а пытались многие, поэтому семиугольная звезда играла определенную роль в астрологии. Однако в 1796 году девятнадцатилетний Гаусс сумел выяснить, какие именно правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. И геттингенцы поставили ему памятник, в пьедестале которого был правильный семнадцатиугольник.
Пятый постулат
Над пятым постулатом из книги «Начала» бились в течение двадцати веков сотни профессиональных геометров и любителей математики.
Лучше остановить Солнце, чем сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению.
У Эйнштейна спросили: «Как появляются изобретения, которые переделывают мир?». «Очень просто, - ответил Эйнштейн.- Все знают, что сделать это невозможно. Случайно находится невежда, который это не знает. Он-то и делает изобретения».
Николай ИвановичЛобачевский
Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида — аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.
Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что пятый постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную и свободную от противоречий, как и евклидова
Николай Иванович Лобачевский
В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист новой геометрии. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно он впервые открыто предложил её не как игру ума, а как возможную и полезную теорию пространственных отношений.
Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации (модели).
Медаль имени Лобачевского
«За выдающиеся работы в области геометрии»
Фрактальная геометрия – удивительное чудо
Понятия "фрактальная геометрия" и "фрактал" возникли в конце 70-х гг., а со второй половины 80-х они прочно вошли в словарь программистов, математиков и даже финансовых трейдеров. Сам термин "фрактал" происходит от латинского "fractus" и переводится как "состоящий из фрагментов". Этим словом в 1975 году американский и французский ученый Бенуа Мандельброт обозначил нерегулярные, но самоподобные структуры, которыми он в то время занимался. В 1977 году вышла его книга, которая была полностью посвящена такому уникальному и красивейшему явлению, как фрактальная геометрия природы
Фрактальная геометрия – удивительное чудо
Сам Бенуа Мандельброт был математиком, однако термин "фрактал" не относится к математическим понятиям. Как правило, под ним подразумевают геометрическую фигуру, обладающую одним или несколькими следующими свойствами :
при увеличении у нее обнаруживается сложная структура;
2) в той или иной степени эта фигура подобна себе самой;
3) ее можно построить с помощью рекурсивных процедур;
4) для нее характерна дробная хаусдорфовая (фрактальная) размерность, превышающая топологическую.
Фрактальная геометрия - это настоящая революция в математическом описании природы. С ее помощью можно описать мир намного понятнее, чем это делает
традиционная математика или физика.
Возьмем, к примеру, броуновское движение.
Невозможные фигуры геометрии
Треугольник Рёло
Невозможный трезубец
Трибар
Бесконечная лестница
Удивительные фигуры в геометрии
П
о
л
и
м
о
н
о
Полиамонд
Фрактал
Лента Мебиуса
Наука геометрия очень важна для человека. Геометрия развивалась за несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции. Большой вклад в развитие геометрии внесли известные учёные: Евклид и его книга под названием «Начала», Архимед, которому принадлежит формула для определения площади треугольника через три его стороны, Менелай, которым были написаны два сочинения
«О вычислении хорд» в 6 книгах и «Сферика» в 3 книгах.
Наука геометрия и сейчас развивается. Мы легко решаем задачи, для которых в древности потребовалось бы много времени и сил.
videouroki.net
Неевклидова геометрия
hnu.docdat.com
Геометрия | Наука | FANDOM powered by Wikia
Женщина обучает детей геометрии. Иллюстрация из парижской рукописи «Начал» Евклида, начало XIV века.
Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία; γῆ — Земля и μετρέω — «измеряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения[1].
Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.
Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.
Геометрия занимается взаимным расположением тел, которое выражается в прикосновении или прилегании друг к другу, расположением «между», «внутри» и т. п.; величиной тел, то есть понятиями о равенстве тел, «больше» или «меньше»; а также преобразованиями тел. Геометрическое тело представляет собой абстракцию ещё со времён Евклида, который полагал, что «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка представляет собой абстракцию, связанную с неограниченным уменьшением всех размеров тела, или пределом бесконечного деления. Расположение, размеры и преобразования геометрических фигур определяются пространственными отношениями[2].
Исследуя реальные предметы, геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаясь от других свойств предметов, таких как плотность, вес, цвет. Это позволяет перейти от пространственных отношений между реальными объектами к любым отношениям и формам, возникающим при рассмотрении однородных объектов, и сходным с пространственными. В частности, геометрия позволяет рассматривать расстояния между функциями[1].
Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.
Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.
Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.
Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях.
Аффинная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.
Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости.
Сферический треугольник
Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.
По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.
Аксиомы евклидовой геометрии, сформулированные в III—IV веке до н. э., составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошо описывали физическое пространство и отождествлялись с ним[1]. Пяти постулатов Евклида было недостаточно для полного описания геометрии и в 1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделил аксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности, непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности. Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместо аксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиом евклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы[3].
Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки, прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как у Гильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана с понятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы в одной системе можно доказать как теоремы в другой[3].
Для доказательства непротиворечивости и полноты аксиом евклидовой геометрии строят её арифметическая модель и показывают, что любая модель изоморфна арифметической, а значит они изоморфны между собой[4]. Независимость аксиом евклидовой геометрии показать сложнее из-за большого количества аксиом. Аксиома параллельности не зависит от других, так как на противоположном утверждении строится геометрия Лобачевского. Аналогично была показана независимость аксиомы Архимеда (в качестве координат вместо тройки вещественных чисел используется тройка комплексных чисел), аксиомы Кантора (в качестве координат вместо тройки любых вещественных чисел используются вещественные числа, построенные определённым образом), а также одной из аксиом принадлежности, которая фактически определяет размерность пространства (вместо трёхмерного пространства можно построить четырёхмерное, и любое многомерное пространство с конечным числом измерений)[5].
Постулаты Евклида Править
Постулаты Евклида
Постулаты Евклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки[6]:
Всякие две точки можно соединить прямой линией;
Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;
Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;
Все прямые углы равны между собой;
Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит[7]: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
Аксиомы евклидовой геометрии Править
В «Энциклопедии элементарной математики» предлагается следующая система аксиом[3]:
Аксиомы принадлежности:
Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна;
На каждой прямой имеется по крайней мере две точки;
Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;
Через каждые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна;
На каждой плоскости имеется по крайней мере одна точка;
Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости;
Если две плоскости имеют общую точку, они имеют по крайней мере ещё одну общую точку;
Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.
Аксиомы порядка:
Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими;
Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей;
Если прямая l, лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек A, B, C и содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку с хотя бы одним из отрезков AC, BC;
Аксиомы движения:
Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя;
Пусть f — произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B);
Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению;
Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй;
Аксиомы непрерывности:
Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B — три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f — движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, …. Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.
Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, … и B1, B2, … — такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bn различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n.
Аксиома параллельности:
Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую l.
Если убрать из системы аксиомы 4-8, относящиеся к пространственной геометрии, то получится система аксиом евклидовой плоскости[3].
Геометрические преобразования Править
Этот раздел статьи ещё не написан.
Согласно замыслу одного из участников Науки, на этом месте должен располагаться специальный раздел.Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.
Преобразованием множества называют его взаимно-однозначное отображение на себя. В таком смысле этот термин используется в геометрии, хотя иногда его используют и как синоним отображения или отображения множества в себя.
Говоря о «геометрических преобразованиях», обычно имеют в виду некоторые конкретные типы преобразований, играющие фундаментальную роль в геометрии — движения, преобразования подобия, аффинные, проективные, круговые преобразования (в последних двух случаях плоскость или пространство дополняют бесконечно удаленными точками). Эту фундаментальную роль выявил Ф.Клейн в своей лекции в университете г. Эрланген (1872 г.), известной как Эрлангенская программа. Согласно концепции Клейна, геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях некоторой группы преобразований. Рассматривая группы преобразований указанных выше видов, получают разные геометрии — евклидову (для преобразований подобия), аффинную и т. д.
Муза геометрии, Лувр
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину[2]. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом[2]. Первые же доказательства геометрических утверждений появились в работах Фалеса и использовали, по всей видимости, принцип наложения, когда фигуры, равенство которых необходимо доказать, накладывались друг на друга[8].
Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием. В Греции в работах Гиппарха и Менелая также появились тригонометрия и геометрия на сфере[2].
Средние века немного дали геометрии[1], и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода («Рассуждение о методе», 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Систематическое изложение аналитической геометрии было предложено Эйлером в 1748 году. В начале XVII века Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии и был впервые обобщён Понселе в 1822 году. Ещё раньше, в 1799 году Монж развил начертательную геометрию, связанную напрямую с задачами черчения. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями. Дифференциальная геометрия была систематизирована Монжем в 1795 году[2], её развитием, в частности теорией кривых и теорией поверхностей, занимался Гаусс. На стыке геометрии, алгебры и анализа возникли векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм[1].
В 1826 году Лобачевский, отказавшись от аксиомы параллельности Евклида построил неевклидову геометрию, названную его именем. Аксиома Лобачевского гласит, что через точку, не лежащую на прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной. Лобачевский, используя эту аксиому вместе с другими положениями, построил новую геометрию, которая в силу отсутствия наглядности, оставалась гипотетической до 1868 года, когда было дано её полное обоснование. Лобачевский, таким образом, открыл принципы построения новых геометрических теорий и способствовал развитию аксиоматического метода[2].
Следующим шагом явилось определение абстрактного математического пространства. Проективные, аффинные и конформные преобразования, сохраняющиеся при этом свойства фигур, привели к созданию проективной, аффинной и конформной геометрий. Переход от трёхмерного пространства к n-мерному впервые был осуществлён в работах Грассмана и Кэли в 1844 году и привёл к созданию многомерной геометрии. Другим обобщением пространства стала риманова геометрия, предложенная Риманом в 1854 году[2]. Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.
В 70-х годах XIX века возникла теория множеств, с точки зрения которой фигура определяется как множество точек. Данный подход позволил по новому взглянуть на евклидову геометрию и проанализировать её основы, которые подверглись некоторым уточнениям в работах Гильберта[2].
Геометрия в философии и искусстве Править
Мартин де Вос. Семь сестёр. 1590
Со времён Древней Греции в основе геометрии лежат философские понятия. Определяя точку как «то, что не имеет частей», подход к ней отличается у Пифагора, который отождествляет точку с числовой единицей и у которого точка имеет только положение в пространстве и не имеет размера, и у Демокрита, который строя атомистическую теорию, даёт точке «сверхчувственно малый» размер. К атомистическим представлениям восходят также определения линии и поверхности, где неделимыми являются «ширина» и «глубина», соответственно[6].
Геометрия является пятым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, а также Арифметика — старшая наука в квадривиуме, к которому также относятся Музыка и Астрономия[9]. Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и в том числе Геометрии. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы. Геометрия держит в своих руках глобус и циркуль, которым она может мерить, реже угольник, линейку или компасы. Её сопровождает Евклид[10][11].
В честь геометрии назван астероид (376) Геометрия, открытый в 1893 году.
↑ 1,01,11,21,31,4Геометрия // Математическая энциклопедия : в 5 т. — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1. </li>
↑ 2,02,12,22,32,42,52,62,7БСЭ, 1971 </li>
↑ 3,03,13,23,3Геометрия, 1963, с. 32—41 </li>
↑ Геометрия, 1963, с. 41—44 </li>
↑ Геометрия, 1963, с. 44—48 </li>
↑ 6,06,1Геометрия, 1963, с. 12—17 </li>
↑ Геометрия, 1963, с. 18—21 </li>
↑ Геометрия, 1963, с. 12 </li>
↑ Liberal Arts (англ.). Encyclopædia Britannica. Проверено 20 марта 2012. Архивировано из первоисточника 28 мая 2012. </li>
↑ Семь свободных искусств. Simbolarium. Проверено 20 марта 2012. Архивировано из первоисточника 28 мая 2012. </li>
↑ The Seven Liberal Arts. Catholic Encyclopedia. Проверено 20 марта 2013. Архивировано из первоисточника 3 апреля 2013. </li></ol>
Комацу, Мацуо. Многообразие геометрии. — М. : Знание, 1981.
Левитин, К. Е. Геометрическая рапсодия. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : ИД «Камерон», 2004. — 216 с. — ISBN 5-9594-0023-5.
Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов : в 2 т. — М. : М. Катков, 1883.
Геометрия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Геометрия // Большая советская энциклопедия : в 30 т. / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1971. — Т. 6 : Газлифт — Гоголево. — 624 с.
История математики : в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — Т. I : С древнейших времён до начала Нового времени.
История математики : в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — Т. II : Математика XVII столетия.
История математики : в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1972. — Т. III : Математика XVIII столетия.
Математика XIX века / ред. А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. — М. : Наука, 1981. — Т. 2 : Геометрия. Теория аналитических функций.
Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М. : Физматгиз, 1963. — Кн. 4 : Геометрия. — 568 с.
Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М. : Наука, 1966. — Кн. 5 : Геометрия. — 624 с.
На уроках математики, мы часто слышим: геометрический материал, на уроках геометрии…
Я подошла к учителю и спросила «А что такое геометрия? Это математика?» Ольга Владимировна подумала и сказала: «Пусть это и будет темой твоего проекта. И на этот вопрос ответ найди сама » .
Практическая работа
Подумав, я решила спросить у одноклассников « Знают ли они что такое геометрия? Для чего нужно изучать геометрию?»
При помощи анкеты, я опросила 20 одноклассников. Вот какие ответы я получила:
1) На 1-й вопрос все ответили , что геометрия -это раздел в математике.
2) А на 2-й вопрос: Для чего нужна геометрия?
4 человека ответили, что геометрия нужна, что бы учить фигуры.
1 человек ответил ,что геометрия нужна для путешествий.
2 сказали, что геометрия нужна для черчения.
3 ответили, что геометрия нужна ,чтобы рисовать карты.
И 10 детей ответили , что геометрия нужна, чтобы узнать размер предмета.
Какой же ответ правильный?
Для начала в толковом словаре я нашла значение слова геометрия. Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы.
Затем я стала искать ответ на вопрос : « Что такое геометрия?» в энциклопедии. Из энциклопедии я узнала:
Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять), наука о пространстве, точнее наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитее геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей. Геометрия даёт общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значение есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрии, и есть пространственная форма, поэтому в геометрии говорят, например, «шар»,а не «тело шарообразной формы», расположение и размеры определяются пространственными отношениями, наконец , преобразование, как его понимают в геометрии , так же есть некоторое отношение между двумя фигурами - данной и той, в которую она преобразуется.
Где и когда зародилась наука геометрия?
Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину.
Зародилась геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э.
Древнегреческий историк Геродот писал: « Сезострис , египетский фараон , разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и взимал соответствующим образом налог с каждого участка . Случалось , что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю , а царь посылал землемеров, чтобы установить , на сколько уменьшился участок , и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию.
Античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии.
Начиная с 7 века до н. э. в Древней Греции создаются так называемые философские школы, и приходит постепенный переход, от практической к теоретической геометрии. Всё больше значение в этих школах приобретают рассуждения, при помощи которых удаётся получать новые геометрические свойства, исходя из некоторых положений, принимаемых без доказательств и названных аксиомами. В переводе с греческого слово аксиома означает «принятие положения».
Какая геометрия была?
2000 лет до н. э. В образовании науки геометрии важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и советов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.
Какие были великие ученые в области геометрии?
Архимед
Один из известнейших ученых Архимед. Древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений .
Сведения о жизни Архимеда оставили нам Полибий, Тит Ливий, Цицерон, Плутарх, Витрувий и другие. Почти все они жили на много лет позже описываемых событий, и достоверность этих сведений оценить трудно.
Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений
Главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов. Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.
Идеи Архимеда почти на два тысячелетия опередили своё время. Только в XVII веке учёные смогли продолжить и развить труды великого греческого математика.
Эвклид
В 3 веке до н. э. жил великий ученый Евкли́д или Эвкли́д - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о жизни и деятельности Эвклида крайне ограничены. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность его протекала в Александрии , где он создал математическую школу. . Евклид — первый математик Александрийской школы. Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино. Его главная работа содержит ряды вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики .
Пифагор
Древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».
Самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.
Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):
«В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,Славную он за него жертву быками воздвиг.»
Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание[звестное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.
В честь Пифагора назван кратер на Луне
Лобаче́вский
Никола́й Ива́нович Лобаче́вский (20 ноября 1792, Нижний Новгород — 12 февраля 1856, Казань) — русский математик, создатель неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии.
Открыл неевклидовую геометрию.
Неевклидовая геометрия, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского
Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками.
Не найдя понимания на Родине, Лобачевский попытался найти единомышленников за рубежом.
Но Лобачевский так и умер непризнанным, не дожив до торжества своих идей всего 10-12 лет. Вскоре ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами (1868), Ф. Клейна (1871), А. Пуанкаре (1883) и др. Появление модели Клейна доказало, что геометрия Лобачевского так же непротиворечива, как и евклидова. Осознание того, что у евклидовой геометрии имеется полноценная альтернатива, произвело огромное впечатление на научный мир и придало импульс другим новаторским идеям в математике и физике.
Вывод:
Зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э
Великими учеными в области геометрии были Архимед, Эвклид , Пифагор и Лобачевский.
древняя геометрия не представляла собой научные теории.
Все ответы моих друзей частично правильны! И я надеюсь, что в 5 классе нам всем будет интересно изучать этот предмет! Сделав маленькое исследование «Что такое геометрия?» я обязательно должна поделиться своими открытиями с одноклассниками.
Литература:
doc4web.ru
Первый урок геометрии: возникновение и развитие геометрии
Разделы: Математика
См. приложение 1
Слайд 1. Геометрия – одна из древнейших
наук. Она зародилась в Древнем Египте.
Слайд 2. Это удивительно красивый город, в
котором очень многие достопримечательности
сохранились и до наших времён.
Слайд 3. В этом государстве плодородные
земли были расположены на очень узком участке
земли – в долине реки Нил. Каждую весну Нил
разливался и удобрял землю плодородным илом. Но
при разливе реки смывались границы участков,
менялись их площади. Тогда пострадавшие
обращались к фараону, он посылал землемеров,
чтобы восстановить границы участков, выяснить,
как изменилась их площадь и установить размер
налога.
Ремесленникам необходимо было изготавливать
посуду, строителям - подбирать камни различной
формы для строительства храмов и пирамид,
астрономам – измерять углы для определения
положения звезд.
Знания постепенно накапливались и
систематизировались. Так около 4 тыс. лет назад
возникла наука об измерении расстояний, площадей
и объемов, о свойствах различных фигур.
Слайд 4. Т. к. в основном речь шла о земельных
участках и различных измерительных работах, то
древние греки, узнавшие от египтян об этой науке,
назвали ее геометрия, т.е. “земля”, ”измеряю”
(землю измеряю, землемерие).
Слайд 5. Появление и развитие
геометрических знаний связано с практической
деятельностью людей. Это отразилось и в
названиях многих геометрических фигур.
Например, название фигуры трапеция
происходит от греческого слова trapezion -
“столик”, от которого произошло также слово “трапеза”.
Термин линия возник от латинского linum
– “лён, льняная нить”.
Важную роль играли и эстетические потребности
людей: сооружение жилищ, храмов, желание украсить
свой дом и одежду, рисовать картины окружающей
жизни. Всё это способствовало формированию и
накоплению геометрических сведений.
За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне,
Китае, Египте и Греции уже существовали
начальные геометрические знания, которые
добывались в основном опытным путём, но они не
были ещё систематизированы и передавались от
поколения к поколению в виде правил и рецептов,
например, правил нахождения площадей фигур,
объёмов тел, построения прямых углов и т. д.
Не было ещё доказательств этих правил, и их
изложение не представляло собой научной теории.
Слайд 6. Первым, кто начал получать
геометрические факты при помощи рассуждений
(доказательств), был древнегреческий математик
Фалес (VI в. до н. э.), который в своих исследованиях
применял перегибание чертежа, поворот части
фигуры и т. д., то есть то, что на современном
геометрическом языке называется движением.
Фалес Милетский имел титул одного из семи
мудрецов Греции, он был поистине первым
философом, первым математиком, астрономом и
вообще первым по всем наукам в Греции. Фалес был
для Греции то же, что Ломоносов для России.
Постепенно геометрия становится наукой, в
которой большинство фактов устанавливается
путём выводов, рассуждений, доказательств.
Слайд 7. Попытки греческих учёных привести
геометрические факты в систему начинаются уже с V
века до н. э.
Наибольшее влияние на всё последующее развитие
геометрии оказали труды греческого учёного
Евклида, жившего в Александрии в III в. до н. э.
Сочинение Евклида “Начала” почти 2000 лет служило
основной книгой, по которой изучали геометрию.
Эта книга была переведена на языки многих
народов мира, а сама геометрия, изложенная в ней,
стала называться евклидовой геометрией.
Слайд 8. В геометрии изучаются формы,
размеры, взаимное расположение предметов
независимо от их других свойств: массы, цвета и т.
д. Отвлекаясь от этих свойств и беря во внимание
только форму и размеры предметов, мы приходим к
понятию геометрической фигуры.
Посмотрите вокруг. Многие окружающие нас
предметы напоминают геометрические фигуры.
Слайд 9. Опишите этот дом. (…..) Нам
понадобилось три величины: длина, ширина и
высота. Мы используем их ежедневно: высота
дерева, длина дороги, ширина реки. (Приведите свои
примеры). Все предметы в окружающем нас мире
имеют три измерения – трехмерны. Представим дом
в виде большого ящика. В геометрии такая фигура
называется прямоугольным параллелепипедом. В
трехмерном пространстве “живут”, например,
такие фигуры: куб, пирамида, конус, цилиндр,
усеченный конус. (Дать возможность ребятам
потрогать эти фигуры).
Уберем высоту. Осталось два измерения – длина и
ширина. Это двумерное пространство. Вообразите
себя плоскими. Какие фигуры могут жить в таком
пространстве? Треугольники, прямоугольники,
окружности, многоугольники, кривые линии и т.д.
Продолжим эксперимент: уберем ширину.
Останется только длина. Такое пространство
математики называют одномерным. Этот мир
полностью лежит на прямой. Его “жители” –
отрезки, лучи, прямые.
Есть единственная фигура, которая не имеет
измерений – точка.
Слайд 10. С давних пор люди пытались
объемные тела изобразить на стене, бумаге, так,
чтобы их можно было отличить от плоских, чтобы
чувствовалась глубина пространства.
Геометрические объемные тела мы будем учиться
изображать на плоскости в старших классах. А с 5
по 9 класс мы будем изучать свойства плоских
фигур.
Посмотрите, как венгерский художник Виктор
Вазарели с помощью правил геометрии изобразил
объем пространства, с помощью изгибов линий
передал выпуклости и вмятины.
Слайд 11. Была разработана целая научная
теория перспективы, позволяющая обмануть зрение.
Слайд 12. Итак, геометрия – это наука,
изучающая форму и взаимное расположение фигур на
плоскости и в пространстве.
Геометрия не только даёт представление о
фигурах, их свойствах, взаимном расположении, но
и учит рассуждать, ставить вопросы,
анализировать, делать выводы, то есть логически
мыслить.
Слайд 13. Школьный курс геометрии делится на
планиметрию и стереометрию.
Такие фигуры, как отрезок, луч, треугольник,
круг, прямоугольник ... являются плоскими, то есть
целиком укладываются на плоскости. В
стереометрии мы познакомимся с такими
пространственными фигурами, как куб, шар, конус,
цилиндр, параллелепипед и т. д. Планиметрия
изучает свойства фигур на плоскости, а
стереометрия – в пространстве.
Мы начнём изучение геометрии с планиметрии.
Слайд 14. Как вы думаете, какие чертёжные
инструменты нам понадобятся при изучении
геометрии? Показать и рассказать об
инструментах: линейка, циркуль, транспортир.
Слайд 15. Аукцион по продаже пятерок
(некоторые задания можно дать в качестве дом.
работы).
Слайд 16. Итоги урока.
Что изучает геометрия? Какие фигуры мы будем
изучать на уроках геометрии?
Как возникла геометрия? Какие инструменты нам
будут нужны на уроках?
Что означает слово “геометрия”? Что особенно
вам понравилось на уроке?
Слайд 17. Домашнее задание. На альбомном
листе выполнить творческое задание (нарисовать
рисунок, написать рассказ или сочинить сказку,
сделать фотомонтаж или видеомонтаж и т. д.) на
тему “Геометрия в нашем доме”.
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
4 этапа развития геометрии
Развитие геометрии
В развитии Геометрия можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение Геометрии.
Первый — период зарождения Геометрии как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки Геометрия, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое. Геометрические сведения того периода были немногочисленны и сводились прежде всего к вычислению некоторых площадей и объёмов. Они излагались в виде правил, по-видимому, в большой мере эмпирического происхождения, логические же доказательства были, вероятно, ещё очень примитивными. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве.
Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития Геометрии. Известны упоминания систематические изложения Геометрия, среди которых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. «Начала» Евклида. Здесь Геометрия представлена так, как её в основном понимают и теперь, если ограничиваться элементарной геометрией; это наука о простейших пространственных формах и отношениях, развиваемая в логической последовательности, исходя из явно формулированных основных положений — аксиом и основных пространственных представлений. Геометрия, развиваемая на тех же основаниях (аксиомах), даже уточнённую и обогащенную как в предмете, так и в методах исследования, называется евклидовой геометрией. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и Геометрия на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии Геометрия, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.
Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет Геометрии. Принципиально новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в Геометрия метод координат. Метод координат позволил связать Геометрия с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в Геометрия породило аналитическую Геометрия, а потом и дифференциальную. Геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с Геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы. С этого времени начинается третий период развития Геометрии.
Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, Геометрия Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования (понятию «дифференциальная Геометрия» придаётся теперь часто более общий смысл, о чём см. в разделе Современная геометрия). Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений Геометрии были даны в 18 — начале 19 вв. Эйлером для аналитической Геометрии (1748), Монжем для дифференциальной Геометрии (1795), Ж. Понселе для проективной Геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) Геометрия оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.
Четвёртый период в развитии Геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой Геометрии, называемой теперь Лобачевского геометрией. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же Геометрия построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Источник, сущность и значение идей Лобачевского сводятся к следующему. В геометрии Евклида имеется аксиома о параллельных, утверждающая: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более чем одну прямую, параллельную данной». Многие геометры пытались доказать эту аксиому, исходя из других основных посылок геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришёл к мысли, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоположное аксиоме Евклида, гласит: «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две параллельные ей прямые». Это и есть аксиома Лобачевского. По мысли Лобачевского, присоединение этого положения к другим основным положениям Геометрия приводит к логически безупречным выводам. Система этих выводов и образует новую, неевклидову Геометрия Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал эту идею, но действительно построил и всесторонне развил новую Геометрия, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою Геометрия как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование (см. раздел Истолкования геометрии).
Переворот в Геометрия, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван «Коперником геометрии». В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие Геометрия Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова Геометрия, но и другие «геометрии». Второй принцип — это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой Геометрия Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой Геометрия Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой Геометрия, т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой Геометрия Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая — в логической непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики. Перечисленные общие принципы сыграли важную роль не только в Геометрия, но и в математике вообще, в развитии её аксиоматического метода, в понимании её отношения к действительности.
Главная особенность нового периода в истории Геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета Геометрия; возникает понятие о разного рода «пространствах» (термин «пространство» имеет в науке два смысла: с одной стороны, это обычное реальное пространство, с другой — абстрактное «математическое пространство»). При этом одни теории складывались внутри евклидовой Геометрия в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная Геометрия и др., предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова Геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной Геометрия Др. теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой Геометрия Так, создавалась, например, многомерная Геометрия; первые относящиеся к ней работы (Геометрия Грасман и А. Кэли, 1844) представляли формальное обобщение обычной аналитической Геометрия с трёх координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.
Принципиальный шаг был сделан Б. Риманом (лекция 1854, опубликована 1867). Во-первых, он ясно формулировал обобщённое понятие пространства как непрерывной совокупности любых однородных объектов или явлений (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Во-вторых, он ввёл понятие пространства с любым законом измерения расстояний бесконечно малыми шагами (подобно измерению длины линии очень малым масштабом). Отсюда развилась обширная область Геометрия, т. н. риманова геометрия и её обобщения, нашедшая важные приложения в теории относительности, в механике и др.
В тот же период зародилась топология как учение о тех свойствах фигур, которые зависят лишь от взаимного прикосновения их частей и которые тем самым сохраняются при любых преобразованиях, не нарушающих и не вводящих новых прикосновений, т. е. происходящих без разрывов и склеиваний. В 20 в. топология развилась в самостоятельную дисциплину.
Так Геометрия превратилась в разветвленную и быстро развивающуюся в разных направлениях совокупность математических теорий, изучающих разные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, римановы и т.д.) и фигуры в этих пространствах.
Одновременно с развитием новых геометрических теорий велась разработка уже сложившихся областей евклидовой Геометрии — элементарной, аналитической и дифференциальной Геометрии. Вместе с тем в евклидовой Геометрии появились новые направления. Предмет Геометрии расширился и в том смысле, что расширился круг исследуемых фигур, круг изучаемых их свойств, расширилось само понятие о фигуре. На стыке анализа и Геометрия возникла в 70-х гг. 19 в. общая теория точечных множеств, которая, однако, уже не причисляется к Геометрия, а составляет особую дисциплину (см. Множеств теория). Фигура стала определяться в Геометрия как множество точек. Развитие Геометрии было тесно связано с глубоким анализом тех свойств пространства, которые лежат в основе евклидовой Геометрии. Иными словами, оно было связано с уточнением оснований самой евклидовой Геометрии. Эта работа привела в конце 19 в. (Д. Гильберт и др.) к точной формулировке аксиом евклидовой Геометрии, а также других «геометрий».
Править
