Проектная работа "Секрет происхождения арабских цифр" ученика 5 класса Базунова Евгения. Древнего египта цифры
Египетская система счисления. История, описание, достоинства и недостатки, примеры древнеегипетской системы счисления
Мало кто задумывается о том, что приемы и формулы, которые мы используем для вычисления простых или сложных чисел, формировались на протяжении многих веков, причем в различных уголках планеты. Современные математические навыки, с которыми знаком даже первоклассник, ранее были непосильными для умнейших людей. Огромный вклад в развитие этой отрасли внесла египетская система счисления, некоторые элементы которой мы до сих пор используем в первозданном виде.
Краткое определение
Историкам достоверное известно, что в любой древней цивилизации главным образом развивалась письменность, а числовые значения всегда стояли на втором месте. По этой причине в математике былых тысячелетий множество неточностей, и современные эксперты порой ломают голову в подобных ребусах. Не была исключением и египетская система счисления, которая, к слову, являлась еще и непозиционной. Это означает, что положение отдельной цифры в записи числа не меняет общую величину. В качестве примера можно рассмотреть значение 15, где 1 – на первом месте, а 5 – на втором. Если мы поменяем эти цифры местами, получим гораздо большее число. А вот древнеегипетская система счисления таких перемен не предполагала. Даже в самом многозначном числе все его составляющие записывались в произвольном порядке.
Сразу отметим, что современные жители этой жаркой страны пользуются такими же арабскими цифрами, как и мы, записывая их в строгом соответствии с нужным порядком и слева направо.
Какими же были знаки?
Для записи цифр египтяне использовали иероглифы, и при этом их было не так уж и много. Дублируя их по определенному правилу, можно было получить число любой величины, правда, для этого потребовалось бы большое количество папируса. На начальном этапе существования египетская иероглифическая система счисления содержала в себе цифры 1, 10, 100, 1000 и 10000. Позже появились более значимые числа, кратные 10. Если нужно было записать один из вышеперечисленных показателей, использовали такие иероглифы:
Чтобы записать число, не кратное десятке, применялась данная нехитрая техника:
Расшифровка чисел
В результате примера, приведенного выше, мы видим, что на первом месте у нас обозначены 6 сотен, за ними следует два десятка и в конце две единицы. Аналогично записываются любые другие числа, для которых могут быть использованы тысячи и десятки тысяч. Однако этот пример записан слева направо, дабы современный читатель смог правильно его понять, только вот на деле египетская система счисления не являлась столь точной. Такое же значение можно было бы записать справа налево, разобраться в том, где начало, а где конец, приходилось, опираясь на рисунок с наибольшим значением. Аналогичный ориентир потребуется и в том случае, если цифры в большом числе записаны вразброс (так как система непозиционная).
Дроби также важны
Египтяне раньше многих других освоили математику. По данной причине в какой-то момент одних только цифр им стало мало, и постепенно были введены дроби. Так как древнеегипетская система счисления считается иероглифической, для записи числителей и знаменателей также использовались символы. Для ½ существовал специальный и неизменный знак, а все остальные показатели формировались таким же путем, который использовался для больших чисел. В числителе всегда фигурировал символ, имитирующий форму человеческого глаза, а в знаменателе указывали уже число.
Математические операции
Если есть цифры, их складывают и вычитают, умножают и делят. Египетская система счисления справлялась с такой задачей на отлично, хотя тут была своя специфика. Проще всего производилось складывание и вычитание. Для этого иероглифы двух чисел записывались в ряд, между ними учитывалась смена разрядов. Сложнее понять, как они умножали, так как процесс этот мало похож на современный. Составляли два столбца, один из них начинался с единицы, а другой – со второго множителя. Потом начинали удваивать каждое из этих чисел, записывая новый результат под предыдущим. Когда из отдельных чисел первого столбца удавалось собрать недостающий множитель, подводились итоги. Точнее понять этот процесс можно, взглянув на таблицу. В данном случае 7 умножаем на 22:
Результат в первой колонке 8 уже превышает 7, поэтому удваивание заканчивается на 4. 1+2+4=7, а 22+44+88=154. Этот ответ верный, хотя получен столь нестандартным для нас путем.
Вычитание и деление производились в обратном сложению и умножению порядке.
Почему сформировалась египетская система счисления?
История возникновения иероглифов, заменяющих числа, так же туманна, как возникновение всей Египетской цивилизации. Ее рождение датируется второй половиной третьего тысячелетия до нашей эры. Принято полагать, что подобная точность в те времена была вынужденной мерой. Египет уже был полноценным государством и с каждым годом становился мощнее и обширнее. Проводилось строительство храмов, велись учеты в главных органах управления, и дабы объединить все это, власти приняли решение ввести данную систему счета. Просуществовала она достаточно долго – вплоть до Х века нашей эры, после чего на смену ей пришла иератика.
Египетская система счисления: достоинства и недостатки
Главное достижение древних египтян в математике – это простота и точность. Глядя на иероглиф, всегда можно было определить, сколько десятков, сотен или тысяч записано на папирусе. Достоинством считалась также система сложения и умножения чисел. Только на первый взгляд она кажется запутанной, но вникнув в суть, вы начнете быстро и просто решать такие задачки. Недостатком была признана большая путаница. Числа могли записываться не только в любом направлении, но и беспорядочно, поэтому требовалось больше времени на их расшифровку. И последний минус, пожалуй, заключается в невероятно длинной шеренге из символов, ведь их постоянно приходилось дублировать.
fb.ru
Сведения из древнеегипетской мифологии. Хиромантия и нумерология. Секретные знания
Сведения из древнеегипетской мифологии
Нумерология, по всей видимости, занимала в Древнем Египте очень важное место в культуре. Египтяне выражали свое знание о мире в искусстве и архитектуре в первую очередь при помощи магии чисел и гармонии пропорций.
Орнаменты и все другие изображения в египетской храмовой архитектуре наполнены цифровой символикой. Например, древнее название крупнейшего древнеегипетского храма, храма в Карнаке[1], Апет-Эут, переводится как «Нумератор мест». Уже само название храма говорит за себя. Строительство храма было начато во времена Среднего царства (2040–1783 до и. э.). Пропорции этого храма отражают числовую символику строения Вселенной. Центральный зал храма состоит из семи рядов колонн, по девять колонн в каждом ряду. С обеих сторон двойного ряда — шесть более высоких колонн в центре. «Шесть» — олицетворение папирусной рощи Творения. Семь — число движения и прироста, умноженное на «девять», распространенную тему Древнего Египта.
Использование чисел в Древнем Египте всегда подразумевало неявный, но последовательный символизм. К сожалению, если это знание и было когда-либо записано в книгах, оно было проигнорировано или уничтожено невежественными захватчиками Египта. Египетское понимание чисел и было впоследствии популяризировано в западном мире стараниями Пифагора.
Ниже приведено краткое описание значений девяти чисел в соответствии с египетским толкованием нумерологии.
Число «1»
Число «1» не является числом как таковым, но представляет собой сущность, лежащую в основе самого понятия «число», составную часть всех остальных чисел. «1» — абсолютная, неполяризованная, ненаправленная энергия. Утверждается, что «1» не является ни четным, ни нечетным числом, поскольку, будучи добавленной к четному числу, «единица» делает его нечетным, и наоборот. Таким образом, «единица» объединяет в себе противоположность четных и нечетных чисел, а также другие противоположности Вселенной. «1» — совершенное, вечное, неизменяемое сознание, которое создает поляризованную энергию. Абсолют — это и «1», и «10», поскольку «9» является его частью. В Древнем Египте число «10» символизировало завершение и совершенство, потому что это число завершало ряд главных чисел и приводило их обратно к единице. В египетской мифологии этот процесс символизировал Гор, Божественный Сын, мстящий за убийство своего отца Осириса, падшего от руки Сета. Как сын Изиды и Осириса, Гор был десятым богом Гелиополиса. «10» — высшее число начала начал, «1». В этом контексте Гор является новой силой и одновременным возвратом к началу начал.
Число «2»
Число «2» создает поляризованную энергию. «2» — понятие со свойством полярности, определяющееся как «один» и «другой». «2» — это «1» в поляризованном состоянии. Полярность относится ко всем явлениям без исключения. Существование пар противоположностей — это важное свойство конструкции Вселенной. Среди таких пар особенно важны мужской и женский, четный и нечетный, негативный и позитивный, активный и пассивный, свет и тьма, да и нет, истина и ложь.
Каждая пара противоположностей отражает определенный аспект фундаментального принципа полярности. И каждый аспект участвует в природе единственности и природе двойственности. Каждая пара противоположностей является составной частью и отдельным потоком смысла. Противоположности сливаются в единое понятие. Двойственность превращается в единицу. Двойная, полярная природа мироздания доказана в процессе анализа многих физических феноменов, в которых чередование противоположностей следует в рамках циклических изменений (вдох, выдох; бодрствование, сон; день, ночь; жизнь, смерть).
Глубокое понимание египтянами природы двойственности Вселенной отображено во многих египетских текстах и видах искусства. Например, изображение Гора и Сета в виде двуглавой фигуры прекрасно иллюстрирует принцип двойственности. Сет — естественная противоположность Гору. Гор воплощает собой высокий дух жизни. Сет — то, что приземляет этот дух или пытается ему оппонировать. Если Сет воплощает силы разрушения, Гор олицетворяет созидающую силу. Оба божества находятся в неустанном противоборстве друг с другом. Это — сражение разрушительных сил с силами порядка и созидания. Непрерывный конфликт между ними может быть разрешен только после смерти божества.
Египет называли Двумя Землями по соображениям религиозного символизма. Граница между Верхним и Нижним Египтом никогда точно не была определена. Вечный антагонизм предоставлял Гору и Сету равные роли в символических обрядах объединения Двух Земель, которые изображены на известняковых плитах в Лиште, близ Мемфиса. На плитах изображены оба божества с растениями, олицетворяющими Верхний и Нижний Египет, которые сливаются в знак единицы.
Это — мощный символ объединения двух противоборствующих начал в единое целое в поляризованном состоянии.
Ра и Осирис — два бога, воплощающих цикл жизни и смерти. Ра, космическая энергия, продвигает к смерти, в то время как Осирис, мертвый бог, отражает процесс перерождения. Осирис мертв, но он оживет снова и будет идентифицирован с Ра. Поэтому творение во Вселенной непрерывно — она есть поток жизни, продвигающийся по направлению к смерти. Из смерти рождается новый Ра, который порождает новую жизнь.
В одном древнеегипетском тексте дух покойника говорит: «Я был вчера, и я знаю завтра. Вчерашний день — это имя Осириса, и завтрашний день — это имя Ра. Осирис, когда он прибыл, чтобы отдохнуть, есть Ра, Ра, когда он прибыл, чтобы отдохнуть, есть Осирис. Это — непрерывный цикл дня и ночи, жизни и смерти».
Двойное захоронение — еще одно отражение культа двойственности и числа «2» в Древнем Египте. Фараоны ранних династий имели по два захоронения: одно — на севере, в Саккаре, а другое на юге, в Абидосе. Еще более показательно то, что зачастую ни в одном из этих мест самого захоронения никогда не производилось. Иногда египтологи объясняют эти «двойные захоронения» политическими причинами, желанием царей поддерживать единство между Севером и Югом даже посредством наличия похороненного фараона в обоих землях.
Другие исследователи обнаруживают не столько политические, сколько религиозные, или, точнее, метафизические причины египетского дуализма. Утверждают, что разделенные захоронения выражают солнечный космический принцип на Севере и лунный космический принцип на Юге. Фараона всегда титуловали Владыкой Верхнего и Нижнего Египта. Фараон носил две короны, Корону Севера и Корону Юга. Эти обозначения указывали на его царствование над обеими частями Египта, но они, вероятно, имели более глубокое значение, образуя совершенный пример объединения всех двойственных принципов мироздания — мужского и женского, солнечного и лунного, Гора и Сета.
Число «3»
«3» — абстрактное описание духовных взаимоотношений между двумя противоположностями. Например, пара мужчина-женщина не может иметь духовных взаимоотношений сама по себе. Должна существовать любовь, чтобы между ними возникли духовные отношения. Установление этих отношений и представляется этой самой третьей силой. Примирение между двумя противоположностями, — это третья сила во Вселенной. Метафизическая роль «3» признана в контексте понятия троицы, которое присутствует в религии Древнего Египта и других религиях мира (например, Троица в христианстве).
Число «4»
Обратите внимание на то, что число четыре в Египте писалось как ПП. «4» — число, означающее вещество, точнее его состав и структуру. Твердое вещество — это как сочетание характеризующих его единиц, так и новая единица сама по себе. Бог-творец также ассоциировался с числом четыре (ПП), он также — единица и сочетание своих составляющих единиц творения. Египтяне использовали четыре стихии (огонь, воздух, земля и вода) для описания функциональных ролей четырех элементов, необходимых материи.
Огонь понимался как активный, коагулянтный принцип; земля — как получающий, форматирующий принцип; воздух — как принцип-посредник, который производит обмен сил; а вода — как сумма элементов, объединяющая огонь, землю и воздух. Вода также является элементом, объединяющим предыдущие три и стоящая над ними.
В Египте такое основополагающее понимание числа «4» выразилось в следующих символах: четверо детей Геб (Земли), четыре кардинальные точки, четыре региона неба, четыре центра космологического учения (Гелиополис, Мемфис, Фивы и Гермополис), четыре столба неба, четыре сына Гора, четыре саркофага, в которые помещались органы тела после смерти.
Число «5»
Число «5» в Древнем Египте писалось как двойка (II) над тройкой (III), или как звезда. Для такого обозначения имелись мощные скрытые причины. Пять объединяет принципы полярности (II) и примирения (III). Все феномены без исключения полярны по природе и тройственны по принципу существования. Таким образом, пять — это ключ к пониманию обозримой Вселенной.
Отношение двух к трем в пропорции гармонии дает новый тон — не схожий с единицей, но представляющий новое отношение Силы к понятию единицы. Как таковое, число пять называется первым универсальным числом. Уникальность отношения двух к трем — это причина почитания пятерки во многих культурах. В Древнем Египте звезды рисовались с пятью точками. Звезда была египетским обозначением как Судьбы, так и числа пять. Реализовавший себя человек должен был стать звездой и стать равным Ра.
Согласно Текстам Пирамид, пятиконечные звезды были домами отделенных от тела душ: «886-9 Я — дух… Я (есть) золотая звезда… и Здесь я есть, о Ра, я — твой сын, я — дух… золотая звезда… 904 дух как звезда жизни…»
Гор, как воплощенная цель всех сакральных учений, тоже связан с числом пять. Пятерка была также священным числом пифагорейцев, но у них объяснение этой святости держалось на атмосфере тайны, а не знания. Древние египтяне, которые породили символизм числа, выразили смысл пятерки в своих текстах, искусстве и архитектуре.
Число «6»
Число «6» — космическое число материального мира, число, избранное египтянами, чтобы символизировать время и пространство. Современные ученые принимают, что есть очень тесная связь между пространством и временем — настолько тесная, что невозможно представить одно без другого. Время и пространство — это две стороны одной медали.
Все, что делается со временем, так или иначе связано с числом шесть или числами, кратными шестерке. Сутки составляют 24 (6x4) часа, двенадцать (6x2) — для дня, двенадцать (6x2) — для ночи. Час составляет 60 минут, а минута — 60 секунд. Месяц — 30 дней (6x5). Год — 12 месяцев (6x2). Большой Год зодиака составляет 12 периодов зодиака (знаков зодиака).
Пространство (объем) — требует шести направлений для определения себя: вверх и вниз, назад и вперед, вправо и влево. Куб, правильная шестигранная фигура, использовался в Египте как обозначение для пространства (объема).
Египетский храм представлял из себя модель Вселенной, с правильным кубом в основании. Смежные плоскости этого куба были тщательно ориентированы и ассоциированы со сторонами света.
Число «7»
В Древнем Египте «7» означало объединение духа (Три III) и вещества (Четыре ПП) и, соответственно, писалось в таком формате. Одна из форм, которая традиционно выражает значение семи, — это пирамида, которая объединяет квадратную основу, символизирующую четыре элемента, и треугольные стороны, символизирующие дух. Семь — это число процесса развития, роста и лежащих в основе мироздания циклических аспектов Вселенной. Очень часто мы находим, что семь или кратные семи числа нужны, чтобы объяснить принцип и последовательность развития. Менструации у женщин, от которых зависит вся человеческая жизнь, происходят в цикле 4x7 дней.
Семь часто составляет набор — 7 дней недели, 7 цветов спектра, 7 нот музыкального звукоряда и т. п. Осирис связан с числом семь и его множествами. Осирис представляет собой созидающий аспект циклической и возрождающейся силы жизни. «Семь» представляет циклическую, универсальную природу существования Осириса. Семь капелл в храме Осириса в Абидосе также подтверждают этот смысл семерки.
Число «8»
В традиции Египта Абсолют заявляет: «Я — Один, который становится Двумя, который становится Четырьмя, который становится Восемью, а затем я Один опять». Восемь — это число четырех пар исконных сил, которые получили имена Ночи, Тьмы, Тайны и Вечности. Таким образом, единица содержит в себе восемь (четыре пары) элементов. Тот (Гермес у греков, Меркурий у римлян) имеет титул Владыки Города Восьми. Бог Тот — воплощение божественного интеллекта. Он — вестник богов, бог письменности, языка, знания. Тот открывает человеку доступ к тайнам мироздания, олицетворенным числом восемь.
Число «9»
Человек развивается от зачатия до рождения в течение девяти месяцев. Этот факт крайне важен для понимания смысла, вкладываемого древними египтянами в понятие девятки. «9» — число возникновения и существования человека на Земле. «9» — завершение беременности и завершение каждой серии чисел. Группа цифр, из которых состоит произведение девятки на любое другое число, в сумме всегда дает все туже девятку (3x9=27 и 2+7=9, или 6x9=54 и 5+4=9, и т. д.). «9» обозначает переход от одного масштаба чисел (от 1 до 9) к другому (начинается с 10). Таким образом, «9» — число начала, подобное рождению младенца после девяти месяцев.
Известно, что Пифагор, основатель привычной нам европейской нумерологической школы, несколько лет учился в Египте, вскоре после того как Египет был открыт для греческого исследования и иммиграции (VII в. до н. э.). Пифагор не оставил письменного наследия. Детали его жизни и его различных доктрин, религиозных и нерелигиозных, известны только благодаря его ученикам и комментаторам. В результате известная нам биография Пифагора крайне отрывочна, во многом состоит из поздних интерпретаций и вставок и, таким образом, не может считаться достоверной. То, что сегодня мы называем пифагорейской мистикой числа, фактически имеет египетское происхождение и соответствует базовой основе философии в науке и искусстве Древнего Египта.
В Египте Пифагор проникся идеей о том, что все в окружающем мире — это число. Пифагор воспринимал числа как божественные понятия, как абсолютные совершенные идеи бесконечного разнообразия Вселенной, упорядоченной по принципу чисел.
Знаменитый Лейденский папирус подтверждает, что символизм числа практиковался в Египте, как минимум начиная со времен Древнего царства. Лейденский папирус включает широкое описание принципиальных аспектов античных мифов творения. Система исчисления, приведенная в папирусе, определяет принципы создания и соответствия между явлением и его неявным символическим числом. И Пифагор, и Платон неоднократно упоминали, что почерпнули свои теории чисел из наследия Древнего Египта.
Поделитесь на страничке
Следующая глава >
esoterics.wikireading.ru
Египетская нумерация
Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.
1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.
10. Такими путами египтяне связывали коров
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.
10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.
100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.
- 1207, - 1 023 029
Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя.
Древняя греческая нумерация
В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: ,,,. Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: .
Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000.
Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами греческого алфавита:
числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:ѓ
числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.
Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.
Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.
studfiles.net
Проектная работа "Секрет происхождения арабских цифр" ученика 5 класса Базунова Евгения
МОУ Покровская СОШ МО «Цильнинский район» Ульяновской области
Проектно – исследовательская работа
«Секрет происхождения арабских цифр»
Базунов Евгений,
ученик 5 класса
МОУ Покровской СОШ.
Научный руководитель -
Ураксина Евгения Викторовна,
учитель математики
МОУ Покровской СОШ.
с. Покровское
2015 год
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ………………………………………..…………………………………………….….… 3
ГЛАВА 1. Что такое число?……….……………………….………………………………... 4
ГЛАВА 2. Цифры древних народов
Цифры в Древнем Египте ………………….……………………………………………….. 5
Цифры в Вавилоне ………………………………….………………………………………..… 6
Цифры в Древней Греции…………………………..…..……………………………..….. 7
«Всё есть число»- говорили пифагорейцы. Я абсолютно с ними согласен. И раньше и сейчас человека окружают числа: стоимость покупки, номер телефона, дата рождения, отметки в школе и т.п. Числа составляются из цифр. Как возникли цифры, каковы были варианты написания цифр у разных народов, что общего в их написании, каковы правила составления чисел из цифр?
Эти вопросы всегда интересовали меня. А однажды я задумался над следующей проблемой: почему мы, люди, живущие в России, пользуемся арабскими цифрами? И насколько «арабскими» являются арабские цифры? Так как я люблю и математику, и историю, то я решил посвятить свой проект ответам на эти вопросы.
Итак, цель моего проекта – выяснить секрет происхождения арабских цифр и причину их долгожительства.
Для достижения цели мне необходимо решить следующие задачи:
С помощью литературных источников и Интернета познакомиться с цифрами разных народов.
Найти информацию о происхождении арабских цифр.
Сравнить различные системы счисления, чтобы разобраться, почему современные люди пользуются именно арабскими цифрами.
Исследовать уровень знаний окружающих меня людей о цифрах, которыми все они пользуются.
Создать презентацию, в которой отразить результаты моей проектно – исследовательской работы.
Таким образом, объектом моего исследования стали цифры разных народов, древние цифры, современные цифры.
Приступая к своей работе, я выдвигаю гипотезу: в происхождении арабских цифр есть некая тайна, а пользуемся мы ими до сих пор, так как они – самые удобные.
Основные методы исследования: анализ литературы, сравнение, опрос учащихся, ресурсы из интернета, анализ и обобщение полученных в ходе исследования данных.
ГЛАВА 1
Что такое число?
Число́ — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Понятие числа возникло в глубокой древности, примерно 4 5 тысяч лет тому назад. Из практической потребности людей и развивалось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.
Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например "три человека", "три топора". При этом использовались разные слова "один" "два", "три" для понятий "один человек", "два человека", "три человека" и "один топор", "два топора", "три топора". Это показывает анализ языков первобытных народностей. Такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием "много". Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как "толпа", "стадо", "куча". Примитивный счёт предметов заключался «в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона», которым у большинства народов являлись пальцы ("счёт на пальцах"). Это подтверждается лингвистическим анализом названий первых чисел. На этой ступени понятие числа становится не зависящим от качества считаемых объектов.
Несколько десятков лет назад учёные-археологи обнаружили стойбище
древних людей. В нём они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то охотник нанёс 55 зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам.
Глава 2
Цифры древних народов.
Цифры в Древнем Египте
Первые написанные цифры, о которых мы имеем достоверные свидетельства, появились в Египте и Месопотамии около 5000 лет назад.
В Древнем Египте сформировалось скорописное иероглифическое письмо, месопотамские писцы использовали клинопись. Поэтому египетские первые цифры своей формой передавали природу всех окружающих предметов: животные, растения, предметы быта и т.д. Папирус Ринда (1650 г. до н.э.) и папирус Голенищева (1850 г. до н.э.) – числовые древнеегипетские документы — свидетельствуют о высоком культурном развитии народа. Месопотамская клинопись запечатлена на глиняных табличках, на которых цифры представлены небольшими клиньями, повернутыми в разные стороны соответственно своему значению. И в египетских, и в месопотамских системах счисления есть цифры от 1 до 10, особые метки для обозначения десятков, сотен и тысяч, и ноль, который обозначали выделенным пустым местом. Числа древнего Египта построены грамотно и логично. Рационализм и четкость отличают эти системы счисления от аналогичных попыток других народов. Цифры значением меньше десяти обозначались ׀. Например, цифра 6 выглядела как ׀׀׀׀׀׀. Число 10 обозначалось перевернутой подковой в иероглифической системе и особым символом – в иератической. Сколько десятков в числе, столько и «подков». Иератическая система письменности предполагала для каждого числа, на десяток выше предыдущего, отдельный символ. Начиная от 100, это была стилизованная клюшка, над которой с каждой новой сотней ставили крохотную пометку.
В иероглифах все проще. Число 100 выглядело почти как арабская цифра 9, но египтяне назвали ее лотосом. Далее все аналогично: «лотоса», 300 – 3 и т.д.
Вы заметили, что в древнем Египте с самого начала сформировалась десятичная система? Однако, Месопотамия все же превзошла Египет, когда на ее территории обрел независимость и возвысился Вавилон. Там вырастала отдельная культура, вскормленная достижениями соседних завоеванных государств.
Цифры в Вавилоне
Числа древнего Вавилона мало отличались от месопотамских: те же клиновидные знаки служили для обозначения единиц — ˅, и десятков — ˃. Комбинация этих знаков применялась для обозначения чисел 11-59. Число 60 в письме выглядело как зеркальное отражение буквы «Г». 70 – Г˃, 80 — Г˃˃ и так далее, принцип ясен, клинопись не отличается гениальностью.
Основная ценность заключается в том, что один и тот же знак – обратите внимание – в зависимости от того, где он расположен в записи числа, имеет разное значение. Речь идет о поместном размещении знаков в системе счисления. Те же клиновидные знаки, указанные в разных разрядах, обладают разной значимостью. Поэтому Вавилонскую систему счисления с нулем принято называть позиционной. Математики могут с этим поспорить, потому что не найдено ни одного источника, в которой ноль располагался бы в конце числовой записи, что говорит об относительной позиционности.
Вавилонская система стала своеобразным трамплином, с которого человечество совершило прыжок на новый этап своего развития. Идея со временем попала в руки индусов. Они внесли свои коррективы, усовершенствовав систему счисления. Переняли идею итальянские торговцы, которые привезли ее в Европу вместе с товаром. Позиционная система счисления облетела весь мир, обогатив своим появлением не только математические науки, но и современный счет.
Цифры в Древней Греции
Греки применяли несколько способов записи чисел. В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления -
аттическая (или геродианова ) и ионическая (она же александрийская или
алфавитная). При использовании ионической нумерации числа выражались буквами алфавита. Чтобы отличить число от слова, над буквами числа ставился специальный значок -титло. Этот способ записи чисел применялся жителями Милета и Александрии. Афиняне для обозначения чисел пользовались первыми буквами слов-числительных:
Г (Γέύτέ) - пять,
Δ(Δέκά)- десять,
Χ(Χιλιάό) - тысяча,
Μ(Mυριάό) - десять тысяч,
I, II, III, IIII -соответственно 1, 2 , 3, 4 ΔΔΔIIII - 10+10+10+4=34
С помощью этих цифр житель Древней Греции мог записывать любое, не очень большое, число. Великий греческий математик Диофант Александрийский записывал дроби примерно так, как приятно сейчас: числитель над знаменателем , но без черты. Это был один из способов записи дробей в Древней Греции.
Вторая принятая в Древней Греции ионическая система счисления -
алфавитная - получила широкое распространение в начале
Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Сходство греческой буквы О с современным
обозначением нуля может быть чем-то большим, чем случайное совпадение, но у нас нет точных данных, позволяющих утверждать это со всей определенностью. Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв.
Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем не выделялась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция(вычисление) происходит от calculus — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.
В VI веке до н. э. начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно комментаторов Евклида, Платона и Аристотеля.
Римская нумерация
Римская система нумерации с помощью букв была распространена в Европе на протяжении двух тысяч лет. Только в позднем средневековье ее сменила более удобная для вычислений десятичная система цифр, заимствованная у арабов. Но, до сих пор римскими цифрами обозначаются даты на монументах, время на часах и (в англо-американской типографической традиции) страницы книжных предисловий. Кроме того, в русском языке римскими цифрами принято обозначать порядковые числительные.
Для обозначения чисел применялось 7 букв латинского алфавита: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Промежуточные числа образовывались путем прибавления нескольких букв справа или слева. Сначала писались тысячи и сотни, затем десятки и единицы. Таким образом, число 24 изображалось как XXIV. Горизонтальная линия над символом означала умножение на тысячу.
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая - перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Например, I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400. Например, VI = 5+1 = 6, IV = 5 - 1 = 4 (вместо IIII). XIX = 10 + 10 - 1 = 19 (вместо XVIIII), XL = 50 - 10 =40 (вместо XXXX), XXXIII = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 33 и т.д.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. Система Римских цифр настоящее время не применяется, за исключением, в отдельных случаях, обозначения веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат, порядковых числительных, а также иногда производных небольших порядков.
Славянская кириллическая нумерация
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Республики Беларусь, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.
Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком.
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять (или, например, 17 — сем-на-дцать). Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков. Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение.
Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на нашем рисунке. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались вокруг буквы. Так образовывались следующие большие числа:
Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления - арабские числа.
Интересный факт, что почти та же система использовалась и у греков. Именно этим объясняется то, что для буквы б не было цифрового значения. Хотя, ничего особенно удивительного здесь нет: кириллическая нумерация полностью скопирована с греческой. Близкие цифры были и у готов.
Глава 3
Секрет происхождения арабских чисел
История наших привычных «арабских» чисел очень запутана. Нельзя сказать точно и достоверно как они произошли. Одно точно известно, что именно благодаря древним астрономам, а именно их точным расчетам мы и имеем наши числа. Между II и VI веками н.э. индийские астрономы познакомились с греческой астрономией. Они переняли шестидесятеричную систему и круглый греческий нуль. Индийцы соединили принципы греческой нумерации с десятичной мультипликативной системой, взятой из Китая. Так же они стали обозначать цифры одним знаком, как было принято в древнеиндийской нумерации брахми. Блестящая Севильи перевел на латынь эту книгу, и индийская система счета широко распространилась по всей Европе.
Индийские цифры возникли в Индии не позднее V века. Тогда же было открыто и формализовано понятие нуля (шунья), которое позволило перейти к позиционной записи чисел.
Арабские и индо-арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму].
Индийскую систему записи широко популяризировал учёный Аль-Хорезми, автор знаменитой работы «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала», от названия которой произошёл термин «алгебра». Аль-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшую популяризации десятичной позиционной системы записи чисел во всём Халифате, вплоть до Мусульманской Испании. Вигиланский кодекс содержит первое упоминание и изображение арабских цифр (кроме нуля) в Западной Европе. Они появились через мавров в Испании около 900 года.
Арабские цифры стали известны европейцам в X веке. Благодаря тесным связям христианской Барселоны (Барселонское графство) и мусульманской Кóрдовы (Кордовский халифат), Сильвестр II (папа римский с 999 по 1003 годы) имел возможность доступа к научной информации, которой не имел никто в тогдашней Европе. В частности, он одним из первых среди европейцев познакомился с арабскими цифрами, понял удобство их употребления по сравнению с римскими цифрами и начал пропагандировать их внедрение в европейскую науку. В XII веке книга Аль-Хорезми «Об индийском счёте» была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр. Название «арабские цифры» образовалось исторически, из-за того, что именно арабы распространяли десятичную позиционную систему счисления. Цифры, которые используют в арабских странах, по начертанию сильно отличаются от используемых в европейских странах.
В старых вавилонских текстах, датируемых 1700 годом до нашей эры, не встречается специального знака, обозначающего нуль, для его обозначения просто оставляли пустое место, более или менее выделенное.
Арабские цифры (шрифт без засечек)
Написание цифр
Написание арабских цифр состояло из отрезков прямых линий, где количество углов соответствовало величине знака. Вероятно, кто-то из арабских математиков когда-то предложил идею - связать числовое значение цифры с количеством углов в ее написании.
Посмотрим на арабские цифры и видим, что
0 - цифра без единого угла в начертании.
1 - содержит один острый угол.
2 - содержит два острых угла.
3 - содержит три острых угла (правильное, арабское, начертание цифры получается при написании цифры 3 при заполнении почтового индекса на конверте)
4 - содержит 4 прямых угла (именно этим объясняется наличие «хвостика» внизу цифры, никак не влияющего на ее узнаваемость и идентификацию)
5 - содержит 5 прямых углов (назначение нижнего хвостика - то же самое, что у цифры 4 - достройка последнего угла)
6 - содержит 6 прямых углов.
7 - содержит 7 прямых и острых углов (правильное, арабское, написание цифры 7 отличается от приведенного на рисунке наличием дефиса, пересекающего под прямым углом вертикальную линию посередине (вспомним, как мы пишем цифру 7), что дает 4 прямых угла и 3 угла дает еще верхняя ломаная линия)
8 - содержит 8 прямых углов.
9 - содержит 9 прямых углов (именно этим объясняется столь замысловатый нижний хвостик у девятки, который должен был достроить 3 угла, чтобы общее их число стало равно 9.
В современном мире мы пользуемся арабскими цифрами. Так как они более удобные по написанию. Их система называется десятеричной, для того чтобы написать число нам нужно всего лишь 10 цифр: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. А не как у славян более 50. И с помощью этих цифр мы можем написать любое число без ограничения. Также благодаря нулю, придуманными мусульманами, написание стало намного легче. Поэтому в наши дни арабские цифры считаются самыми удобными и простейшими.
Также в интернете я нашёл интересную программу переводчик чисел Titlo_0.12.2. Подробно о ней вы можете узнать в Приложении.
ГЛАВА 4
Организация и проведение исследования
Исследование проводилось среди учеников 5 класса и интернет – опроса (Приложение 1) . Всего было опрошено 30 человек.
Учащимся и интернет - пользователям было предложено 4 вопроса:
1.Какими цифрами мы пользуемся в современном мире?
2. Откуда к нам пришли цифры?
3. Где зародилось понятие ноль?
4. Используя таблицу (Приложение 2) написания цифр разных народов, напишите цифры: 4, 10, 325, 543, на египетском (иероглифы), на вавилонском, на греческом, на римском, на славянском.
Результаты исследования:
Вопрос 1: Какими цифрами мы пользуемся в современном мире.
Глядя на диаграмму, мы видим, что большинство опрошенных не ошиблись и выбрали правильный ответ. В современном мире мы пользуемся арабскими цифрами.
Вопрос 2: Откуда к нам пришли цифры.
Со вторым вопросом опрошенные не справились. Большинство ответили, что цифры пришли к нам из Арабии. И только 10 человек выбрали правильный ответ: цифры пришли к нам из Индии.
Вопрос 3: Где зародилось понятие ноль.
На третий вопрос большая часть опрошенных ответили неверно, так как нуль был придуман в Индии. В процессе исследования, я заметил, что опрошенные не были уверены в правильном выборе ответа.
Вопрос 4: Используя таблицу (Приложение 2) написания цифр разных народов, напишите цифры: 4, 10, 325, 543, на египетском (иероглифы), на вавилонском, на греческом, на римском, на славянском.
Справились с написанием (из 30 участников).
Славян-
ские
4
26
27
25
30
12
10
17
19
30
23
15
325
7
14
17
8
11
543
11
7
5
11
6
Из данной таблицы мы видим, что самое трудное написание цифр- это славянское. Также, чем больше увеличивалось знаков в числе, тем сложнее становилось его написание.
Заключение
Целью моего проекта было выяснить секрет происхождения арабских цифр и причину их долгожительства. Для её достижения мне пришлось решать поставленные задачи. Вот что из этого получилось.
Задача №1 – с помощью литературных источников и Интернета познакомиться с цифрами разных народов. В ходе решения данной задачи я познакомился с цифрами Древнего Египта, Вавилона, древней Греции и Рима, не обошёл вниманием славянскую кириллическую нумерацию и, разумеется, арабские цифры. Думаю, в рамках данного проекта, задача решена на 100%. И очень здорово, что работу в данном направлении можно продолжать, ведь существует ещё множество различных нумераций, как изученных, так и не изученных. В дальнейшем мне хотелось бы подробнее изучить цифры великой цивилизации майя.
Задача №2 - найти информацию о происхождении арабских цифр. С этой задачей я также полностью справился благодаря сети Интернет и книге Н.Я. Виленкина «За страницами учебника математики». Действительно, история происхождения арабских цифр оказалась очень запутанной. Я понял, что не совсем правильно называть наши цифры арабскими. В них сконцентрировался опыт многих цивилизаций: и египетской, и вавилонской, и греческой, и, конечно, индийской. Да, арабы добавили в индийскую систему счисления много своего, и именно арабы распространили эти цифры по Европе, но считать их только арабским достижением было бы несправедливо.
Задача №3 - сравнить различные системы счисления, чтобы разобраться, почему современные люди пользуются именно арабскими цифрами. Полагаю, что и с этой задачей мне удалось разобраться. К сожалению, мне пришлось признать, что наши славянские цифры крайне неудобны в использовании. Представляю, как бы путались современные школьники в буквах и цифрах, если бы мы по - прежнему пользовались славянской нумерацией. Удобство арабской нумерации очевидно:
арабская система счисления позиционная, т.е. значение цифры зависит от её места в записи числа, в ней присутствует понятие «нуль» и именно поэтому с помощью всего десяти цифр мы имеем возможность записать абсолютно любое число!
Задача №4 - исследовать уровень знаний окружающих меня людей о цифрах, которыми все они пользуются. Данная задача была решена с помощью опроса учащихся школы и Интернет – опроса. Я выяснил, что большинство опрошенных знает, что мы пользуемся арабской системой счисления, однако очень мало людей имеют представление о том, откуда пришли к нам наши цифры, и где зародилось понятие нуля. С большим трудом респонденты записывали современные цифры в других системах счисления. Причём, самое большое затруднение вызывала запись числа славянскими цифрами. Работая в данном направлении, я сделал своё личное маленькое открытие – открыл для себя программу – переводчик чисел (Titio_0.12.2).
Задача №5 -создание презентации, в которой отразились бы результаты моей проектно – исследовательской работы – так же решена.
Я считаю, что достиг своей цели и выполнил все задачи. Моя гипотеза полностью подтвердилась: история арабских цифр полна загадок, а долгожительство арабской системы счисления связано с её удобством. Мне очень понравилась работать с проектом. В дальнейшем я хочу продолжить работу в этом направлении, так как теперь меня заинтересовал вопрос магии чисел.
Магия чисел - энергия Бога,
Математика букв,
Трудиться надо очень долго,
Чтобы познать твой дух.
Литература
www.437000.ru
Н.Я. Виленкин. «За страницами учебника математики». Москва «Просвещение». 1989.
Н.Я. Виленкин. «Математика. 5 класс». Москва «Мнемозина».2013.
www.collectionstudio.com
comp-science.narod.ru
info-7.ru
festival.1september.ru
www.wikipedia.org
Приложение 1
Несколько вариантов ответов из интернет-опроса:
Приложение 2
Цифры разных народов:
Приложение 3
О программе Titlo_0.12.2:
Переводчик чисел переводит числа из современной формы записи в запись буквами кириллицы и глаголицы и обратно. Также "Титло" может переводить цифры народов: китайские, армянские, грузинские, греческие (ионические и аттические), римские, иудейские числа, числа майя и прочие.
Диапазоны чисел в "Титло" невелики, но вполне достаточны для большинства потребностей нумизматов, филателистов и букинистов при определении дат и номиналов на монетах, марках и книгах. Впрочем, историкам-любителям Титло тоже может помочь.
Для некоторых цифр в разное время использовались разные буквы, либо менялся внешний вид этих букв. Поэтому для таких цифр даны дополнительные кнопки - используется та из них, под которой есть отметка галочкой. Все переключения в переводчике чисел можно делать при уже набранном числе - изменения сразу отобразятся в итоговом окошке.
infourok.ru
Что такое египетская система счисления? История, описание, примеры :: SYL.ru
С непозиционной египетской системой счисления, которая употреблялась в Древнем Египте, нас наглядно знакомят немногие сохранившиеся папирусы. Примеры задач и их решения в них настолько интересны, что остается только сожалеть, что их так мало.
Из них видно, что математика и египетская система счисления были тесно связаны с хозяйственными нуждами и практическим применением. Каждый год после разлива Нила приходилось восстанавливать строения, заново межевать земельные наделы, рассчитывая площадь и границы, вести учет урожая, календарь.
Что такое позиционная и непозиционная системы счислений?
Ответ таится в самом названии. Если позиция цифры влияет на результат вычислений, перед нами позиционная система чисел, если нет – непозиционная.
Если мы пишем 12 – это двенадцать, а с теми же цифрами 21 – это двадцать один. По египетской системе счисления: чтобы написать 12, понадобится использовать два раза символ единицы и один раз символ десятки, а 21 будет выглядеть как один знак единицы и два знака десятки, то есть всего надо написать три знака.
К непозиционным относятся: знакомая нам римская система, в которой цифры обозначались римскими буквами, славянская система, где также каждая буква обозначала какую-то цифру или число. Римская система справлялась со своими функциями в Западной Европе до 16 века.
Используемая нами система счисления в современной жизни - позиционная десятичная система.
Непозиционные системы хорошо подходили для выполнения простых арифметических действий, так как сложные вычисления предполагали громоздкие записи, что не мешало в Древнем Египте успешному развитию алгебры и геометрии.
Как считали египтяне?
Что это такое – египетская система счисления? Чтобы написать какое-либо число, использовали иероглифы, обозначавшие определенные числа, сумма которых равнялась нужному значению.
Специальные обозначения имелись для чисел 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. При написании нужного числа каждое обозначение использовалось до 9 раз. Запись в египетской системе счисления шла по возрастанию: вначале единицы, потом десятки, сотни и так далее.
Причем писали, как правило, справа налево, но можно было и слева направо, сумма от этого не менялась. Использовалось и вертикальное написание, но тогда отсчет шел сверху вниз.
Использовалось два способа написания:
Иероглифический, в котором употреблялись принятые иероглифы.
Иератический, который являлся более схематичным и удобным на практике.
Экскурс в историю
История египетской системы счисления возникла в глубокой древности, первые рукописи с цифрами относятся ко второму тысячелетию до нашей эры. Денег тогда не было, поэтому система использовалась как для невероятных по сложности и величию математических задач, так и для решения ежедневных бытовых вопросов.
Ведь знание математики использовалось и при межевании земель, и при построении календарей, карт в астрономии, мореплавании, при строительстве дворцов, каналов и военных укреплений.
Египетская непозиционная система счисления применялась до 10 века нашей эры.
Она имела и мистическое значение, тайну которого унесли с собой жрецы, но частично приоткрыл миру Пифагор. У него есть труды, в которых он описывает символические значения, которые придаются цифровым иероглифам, написанные им после пребывания в Египте. Поэтому относят их описание к египетской системе счисления.
Сохранилось всего несколько папирусов тех времен, по которым можно понять, что уровень математики был высокий. Достоверно известно, что греки изучали древнеегипетскую математику. Одним из сокровенных знаний является египетская непозиционная система счисления.
Папирус Ахмеса
Папирус Ахмеса датируется 1650 г. до н.э., содержит 84 математические задачи. Он был найден в Фивах, хранится в Британском музее.
Все задачи в папирусе рассмотрены на конкретных примерах египетской системы счисления. В них показываются примеры расчетов с дробями, с целыми числами, делением и умножением.
Даны расчеты для нахождения площадей геометрических фигур: четырехугольника, круга, треугольника.
Сведения из папируса доказывают, что египетские математики умели извлекать корень, составлять арифметическую и геометрическую прогрессию, уравнения с неизвестными.
Аликвотные дроби
Интересно, что в расчетах использовались только аликвотные дроби, в которых числитель равнялся единице и обозначался таким знаком, а под ним писались значения знаменателя, а все другие дроби для расчетов вначале нужно было разложить до аликвотных. Но использовались и имели специальное обозначение дроби 2/3 и 3/4.
Для приведения обычных дробей в состояние аликвотных по египетской системе счисления нужно было потрудиться:
Складывались дроби современным способом: приведением к общему знаменателю, для многих значений имелись многочисленные готовые таблицы.
Умножение
Египтяне узнавали нужный результат, не зная таблицы умножения, но используя знание о том, что, если один множитель увеличить в два раза, а другой уменьшить, то результат не изменится:
32*13=16*26=8*52=4*104=2*208=1*416
Интересно, что этот способ умножения был известен на Руси, и считалось, что он пришел из Древнего Египта, а в Европе его называли русским.
Папирус Голенищева
Благодаря стараниям ученого-египтолога В. С. Голенищева, в Москве хранится папирус еще на 200 лет древнее папируса писца Ахмеса. Ученый купил его во время своей работы в Фивах.
Он был написан иератическим способом, курсивом, в нем рассматривается 25 задач, дано их описание по египетской системе счисления и решение. Его длина более 5 м при ширине 7 см. К этим задачам нет никаких комментариев, как и в предыдущем папирусе, есть только математические расчеты.
Он показывает, что египтяне умели вычислять площади треугольника, трапеции, прямоугольника, круга, а также объёмы пирамиды, призмы, параллелепипеда, цилиндра и усечённой пирамиды с большой точностью, а многие формулы полностью совпадают с современными.
При египетской системе счисления было вычислено число «пи» 3,16, которое почти соответствовало современному значению 3,14, хотя в те времена повсеместно на Востоке использовалось значение, равное 3.
Все вещи – суть числа
Считается, Пифагор прожил в Египте 22 года, глубоко изучая геометрию, философию, мистику цифр. Те открытия, которые позднее делала Пифагорейская школа, вполне могли быть совершены еще в Древнем Египте.
Поэтому считается, что труды Пифагора о мистике цифр, которые он написал позже, основаны на тайных знаниях, полученных им от египетских жрецов. Они не брали на обучение иностранцев, попал он к ним по высокой протекции, после собеседования с главным жрецом, который счел его достойным быть посвященным в тайны.
Числа были живыми сущностями, отражающими свойства пространства, музыки, энергии. Все можно выразить через математику, описав формулами видимые явления предсказать невидимые, опираясь на логику и математические закономерности.
Высота, ширина основания, угол наклона пирамиды Хеопса в Египте соответствуют математическому правилу построения пирамиды Пифагора, что также подтверждает взаимосвязь сделанных им открытий и знаний, полученных от древнеегипетских жрецов, использовавших египетскую систему счисления.
Работая с цифрами, древние мыслители не только понимали суть вещей, но и могли воздействовать на них.
Изучая математику Древнего Египта, использующую египетскую систему счисления, можно только восхищаться тем, как много было открыто людям за тысячи лет до нашей эры.
www.syl.ru
Обозначение чисел и счет в Древнем Египте
Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 6 классы | Материал для любознательных | Обозначение чисел и счет в Древнем Египте
Обозначение чисел и счет в Древнем Египте
Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и так далее использовались специальные значки — иероглифы. Вот они:
С течением времени эти знаки изменились и приобрели более простой вид:
Все остальные числа составлялись из этих ключевых символов при помощи операции сложения. Например, чтобы изобразить 3252, рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы):
Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемешку.
Система счисления называется непозиционной, если в ней количественные значения символов, используемых для записи чисел, не зависят от их положения (места, позиции) в коде числа.
Система счисления Древнего Египта является непозиционной. Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путем последовательного удвоения и сложения чисел. Выглядели такие расчеты довольно громоздко.
Например, чтобы умножить 15 на 24, составляли следующую таблицу:
Здесь в левом столбце записаны результаты удвоений единицы, а в правом — числа 24. Записи делались до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель 15: 1 + 2 + 4 + 8 = 15. После этого складывались соответствующие числа правого столбца: 24 + 48 + 96 + 192 = 360.
При делении египтяне многократно удваивали в правом столбце делитель и, соответственно, в левом столбце — число 1, пока числа правого столбца оставались не большими делимого. Далее из чисел правого столбца пытались составить делимое, и если это удавалось, то сумма соответствующих чисел в левом столбце давала искомое частное. Если делимое не делилось нацело на делитель, то по¬лучали частное и остаток.
Например, чтобы разделить 541 на 12, надо было составить таблицу:
541 = 384 + 96 + 48 + 12 + 1;
32 + 8 + 4 + 1 = 45.
Таким образом, при делении 541 на 12 получаем частное 45 и остаток 1.
xn----7sbbfb7a7aej.xn--p1ai
Детский проект по математике
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение лицей №128
ПРОЕКТ
«История возникновения чисел»
Классный руководитель:
Маторина Римма Анатольевна
Работу выполнил:
Алексеев Иван Юрьевич, 3 «Г» класс
Екатеринбург, 2014г
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………..………..3
Как появились числа и цифры………..………………………..…4
Цифры в истории разных народов мира…………………………5
Цифры древнего Египта………………………...…………..…6
Цифры народа майя……………………………………………7
Цифры древнего Китая………………………………………...8
Цифры древнего Рима…………………………………………8
Цифры в наше время……………………………………….....…..9
Заключение………………………………………………………..11
Список литературы……………………………………..…...………….12
Введение
С самого раннего возраста человек сталкивается с необходимостью считать. Однако, научившись считать, люди мало знают о том, откуда появились числа, кто придумал использовать ту или иную форму записи числа. Даже родители не смогли дать ответ на вопрос: «Как и где возникли первые числа?». Встречаясь с цифрами на каждом шагу, мы настолько привыкли к их существованию, что вряд ли задумываемся, а откуда же они взялись. А, между прочим, история их возникновения чрезвычайно увлекательна. Поэтому я решил изучить историю возникновения чисел и представить полученный материал другим обучающимся, который можно так же использовать на уроках математики.
Цель: Узнать историю возникновения цифр
Задачи:
1. Определить, как появились цифры
2. Выяснить, как считали древние люди, которые не знали цифр.
3. Собрать информацию о цифрах других народов
В современных условиях очень важно каждому человеку правильно понимать законы чисел. Числа – являются необходимой частью математики. Отсюда-актуальность темы.
Как появились числа и цифры?
Никто не знает, как появилось число и как первобытный человек начал считать. Понятие о числе зародилось в глубокой древности, когда человек добывая себе пропитание охотой и собирательством научился считать предметы. Необходимость условного обозначения количества предметов диктовала сама жизнь: сколько плодов было собрано и по сколько достанется каждому, сколько человек отправить на охоту, чтобы окружить и поймать добычу и так далее, таким образом человек сам не замечая начал считать и вычислять.
Рисунок
В этом нашим далёким предкам помогали подручные средства. Сначала это были пальцы на руках, а если не хватало, то и на ногах. Вот представьте, какой самый простой способ обозначить количество предметов не зная названия цифр? Правильно — показать на пальцах. Часто говорят: «Знаю, как свои пять пальцев». Не с этого ли далекого времени пошло это выражение, когда знать, что пальцев пять, значило то же, что уметь считать?
Рисунок
Далее в процессе эволюции, люди начали использовать вместо пальцев узелки на веревке, палочки, камушки, или зарубки на коре или древесине. Это значительно облегчало счет, однако большие числа показать и сосчитать, таким образом, было не возможно. Поэтому люди придумали изображать числа знаками или символами.
Рисунок
Таким образом можно сказать что цифра – это знак или символ, использующийся для записи числа, а число – это величина, которая складывается из цифр в определенном порядке и обозначает количество чего-либо.
Эволюция не стояла на месте и потребности людей увеличивались, числа становились всё больше – запоминать их становилось всё труднее, возникла острая необходимость в более точных исчислениях, нужно было придумать, как это сделать.
Цифры в истории разных народов мира.
Цифры древнего Египта
Египетские жрецы писали на папирусе, изготовленном из стеблей определенных сортов тростника. В египетской системе цифрами являлись иероглифические символы, они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.
Рисунок
Числа, не кратные 10, записывались путем повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от одного до 9 раз. Например, число 2934 обозначалось следующим образом:
Рисунок
Фиксированного направления записи чисел не существовало: они могли записываться справа налево или слева направо и даже вертикально.
Цифры народа майя
Не всем для записи чисел понадобилось столько символов. Например, народ майя, который жил там, где сейчас государство Мексика в центральной Америке в первом тысячелетии нашей эры писали любое число, используя лишь три знака: точку, линию и эллипс.
Рисунок
Точка означала единицу, линия имела значение пяти, а эллипс, находясь под любым из этих знаков, увеличивал его значение в двадцать раз. Например, число 24 обозначалось следующим образом:
4
+ = 24
20
Цифры древнего Китая
Нумерация цифр древнего Китая одна из старейших, возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.
Рисунок
Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Например, число 30 обозначалось следующим образом:
(3) х (10) = 30
Число 38 обозначалось следующим образом
(3) х (10) + (8) = 38
2.4. Цифры древнего Рима
Следующий этап в истории цифр принадлежит древним римлянам. Изобретенная ими система исчисления основана на использовании букв для отображения чисел (римские цифры). Но это было очень неудобно - записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить было невозможно. Все действия надо производить в уме. Даже чтобы прочитать число, нужно устно складывать или вычитать потому, что каждая римския цифра где бы она ни стояла, одно и то же число.
Рисунок
Например,
ХХ – число 20, XV – число 15, ССС – число 300
Цифры в наше время
Арабские цифры, которыми мы пользуемся, пришли к нам из Индии и были придуманы около 900 года нашей эры и получили широкое распространение в арабских странах. Далее Европейцы заимствовали такую нумерацию цифр у арабов и назвали ее «арабской». Такое исторически неправильное название сохраняется и до сих пор. Изначально цифры имели вид начальных букв в алфавите древнеиндийского языка и имели угловатую форму. Количество углов каждой цифры соответствует количеству, которое эта цифра обозначает. Привычные, нам формы цифр, более округлые. Это влияние скорописи: так цифры записывать быстрее и удобнее.
Рисунок
Десятичная система, которой широко пользуется в настоящее время во всем мире, более совершенна. Вместо палочек, взятых от одной до девяти, используют цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения десятков, сотен и т.д. не нужны новые значки, так как те же цифры используют и для записи десятков, сотен и т.д. Одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от того места, где она записана.
Народы пришли к этой системе постепенно, но широкое распространение получила в ХVI веке. Долгое время развитие десятичной системы счисления тормозилось отсутствием в ней числа и цифры нуль. Только после введения нуля система стала совершенной.
Сейчас мы постоянно пользуемся числами. Используем их, чтобы измерять время, покупать и продавать, звонить по телефону, смотреть телевизор, водить автомобиль. К тому же у каждого человека есть различные числа, идентифицирующие лично его. Например, в удостоверении личности, в банковском счете, в кредитной карточке и т.д. Более того, в компьютерном мире вся информация, и этот текст в том числе, передается посредством числовых кодов. Сейчас для современного человека цифра – это не только математический знак. Появилось цифровое телевидение (мы знаем, что это лучшее изображение и звук, чем аналоговое). Цифровой формат – это тип сигнала в электронике.
Мы встречаемся с числами на каждом шагу и настолько к ним привыкли, что почти не отдаем себе отчета, насколько важную роль они играют в нашей жизни. Числа составляют часть человеческого мышления.
Заключение
В ходе выполнения данной работы, мною была прочитано много информации об истории возникновения чисел и цифр. Я узнал, как люди научились считать, как появились арабские цифры которые мы используем в нашей жизни.
- 1207, 
- 1 023 029
,
,
,
. Число 5 записывалось знаком 
(древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: 
.
- заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000.
-титло. Этот способ записи чисел применялся жителями Милета и Александрии. Афиняне для обозначения чисел пользовались первыми буквами слов-числительных:
4
+ = 24
