История современного города Афины.

Древние Афины
История современных Афин

Вавилонская система счисления Богданова Таня Система счисления. Систему счисления древнего вавилона

Вавилонская система счисления — ТолВИКИ

Автор-составитель: Муковнин Артём

Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел использовались всего два знака: прямой клин ↓ для обозначения единиц и лежачий клин ← для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда. Новый шестидесятеричный разряд начинался с появлением прямого клина после лежачего клина, если рассматривать число справа налево:

↓↓ ←↓↓ = (60*2)+(10*1+2) = 13210 2-й 1-й разряды

Вначале нуля не было. Позже ввели обозначение для пропущенных шестидесятеричных разрядов, что соответствует появлению нуля, но в первом разряде справа этот знак не ставился, что приводило к неоднозначности записи чисел и для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения.

Цифры и системы счисления в Вавилоне

Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятиричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшее, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятиричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку,

(в раннешумерских текстах – небольшой кружок).

Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного использования знаков позволял, например, записать число 59 в виде , т.е. 5Ч10 + 9.

Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на “места”, или “позиции”, и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так:

, т.е. 1Ч(60)2 + 53Ч(60) + 9. В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления оставалась псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Обозначал ли символ

число 1Ч(60)2 + 1 или 1Ч(60)2 + 1Ч(60), приходилось догадываться из контекста. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. Например, символ

означал число 3601, т.е. 1Ч(60)2 + 0Ч(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа. Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.

Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип. В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда – с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Источники:www.krugosvet.ru Wikipedia google

wiki.tgl.net.ru

Вавилонская нумерация

Первой известной нам позиционной системой счисления была шестидесятеричная система вавилонян, возникшая примерно за 2500≈2000 лет до н. э. Основанием ее служило число 60.

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, идля десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

- 3; - 20; - 32

а это число 59.

Вавилонский способ обозначения чисел больше 60 очень похож на наш: В этом случае цифры записываются по разрядам, с небольшими пробелами между:

Так записывается число 302, то есть 5

А это 1

При отсутствии разряда вставлялся значек , игравший роль нуля.

это запись числа 7203 (26060

Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 360 записывалось так , а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и 10800 (36060), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста.

Шестидесятеричная система счисления появилась у вавилонян позже десятеричной, ибо числа до 60 записываются в ней по десятичному принципу. Но до сих пор неизвестно, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система. На этот счет строилось множество гипотез, но ни одна не доказана.

Шестидесятеричная запись целых чисел не получила широкого распространения за пределами Ассиро-вавилонского царства, но шестидесятеричные дроби проникли далеко за эти пределы: Ближний Восток, Средняя Азия, Северная Африка, Западная Европа пользовались ими. Они широко применялись, особенно в астрономии, вплоть до изобретения десятичных дробей, т. е. До начала XVII века. Следы шестидесятеричных дробей сохраняются и поныне в делении углового и дугового градуса (а также часа) на 60 минут и минуты на 60 секунд.

Нумерация индейцев Майя

Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлеяла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятиричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатиричной.

	1		9
	2		10
	3		11
	4		12
	5		13
	6		15
	7		19
	8		0 или 20

Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки, а потомбольших значений и заканчивая меньшими.

20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16; 20+1+1+1 = 23

Такая запись числа аддитивна, то есть в ней используется только сложение:

Понятие системы счисления.

Под системой счисления понимается способ представления чисел с помощью некоторого ограниченного алфавита символов.

Символы алфавита, которй используют для записи чисел, называют цифрами.

Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи числовой информации. Удобная система счисления должна обладать следующими свойствами:

простота и краткость записи;
однозначность представления;
удобство выполнения арифметических операций над числами;
легкость и наглядность обучения основам работы с числами.

Разновидности систем счисления.

Различают позиционные(мультипликативные) и непозиционные(аддитивные) системы счисления.

Непозиционной системой счисления является такая система счисления, в которой каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Например, в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и сложность выполнения арифметических операций.

Позиционной называют систему счисления, в которой значение цифры зависит от ее положения в записи числа. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Систему счисления с основанием p называют p – ричной системой счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д Но используются только самые удобные основания систем счисления. Наиболее употребимыми в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная(вдискретной математике,информатике,программировании)

10 — десятичная система счисления

16 — шестнадцатеричная(наиболее часто используется впрограммировании, а также вшрифтах)

60 — шестидесятеричная(измерение углови, в частности,долготыишироты).

В вычислительной технике нашли применение системы счисления с основанием, равным степени числа 2: двоичная, восьмеричная,шестнадцатеричная. Для принадлежности чисел к системе счисления используют следующие обозначения:

b – 2-ичная – 1011b

h – 16-ричная – 1С45h

d – 10-тичная – 1243d

Таблица 1.

Основание	Используемые цифры
10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2	0, 1
8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

При рассмотрении позиционных систем важным является понятие базиса системы счисления. Базис позиционной системы счисления - это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры "по месту" или "вес" каждого разряда.

Таблица 2

Основание	Базисы по разрядам
Номера разрядов	0	1	2	3	4	5
10	1	10	10*2	10*3	10*4	10*5
2	1	2	4	8	16	32
8	1	8	8*2	8*3	8*4	8*5
16	1	16	16*2	16*3	16*4	16*5

Двоичная система счисления.

Внутри ПК информация представлена сигналами. Для хранения сигнала служит электронная схема, называемая триггером. Триггер может принимать только два значения :

1 – есть сигнал

0 – нет сигнала

Именно поэтому ПК работает с двоичной системой счисления.

Минимальной единицей информации в компьютере является бит. Бит может быть либо "выключен", при этом его значение равно нулю, либо "включен", тогда его значение равно единице. Единственный бит не обеспечивает представления большого количества информации, в отличие от группы битов.

Группа из восьми бит представляет собой байт. Восемь бит дают 256 () различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "все включены" (00000000) до "все включены" (11111111). Восемь бит обеспечивают основу для двоичной арифметики и для представления символов, таких, как буква А или символ *. Например, сочетание включенных и выключенных битов для представления буквы А выглядит как 01000001, а для символа * - 00101010.

С целью стандартизации в микрокомпьютерах используется американский национальный стандартный код для обмена информацией ASCII (American National Standard Code for Information Interchange). Именно по этой причине комбинация битов 01000001 обозначает букву А. Наличие стандартного кода облегчает обмен данными между различными устройствами компьютера. Восьмибитовый расширенный ASCII-код, используемый в РС, обеспечивает представление 256 символов, включая символы для национальных алфавитов.

По соглашению биты в байте пронумерованы от 0 до 7 справа налево.

Номера битов:	7	6	5	4	3	2	1	0

	128	64	32	16	8	4	2	1

Число равно 1024, что составляет один килобайт и обозначается буквой К. Число- 64 Кб. Числоравно 1048576, что составляет один мегабайт и обозначается буквой M.

Шестнадцатибитовое (двухбайтовое) поле называется словом. Биты в слове пронумерованы от 0 до 15справа налево.

К преимуществам двоичной системы счисления относят: представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво, возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации, двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Восьмеричная система счисления.

Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада)

Шестнадцатеричная система счисления.

Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F.

Для обозначения адресов расположения данных в памяти компьютера и других целей удобнее пользоваться не двоичным и не десятичным, а шестнадцатеричным представлением чисел. Также шестнадцатеричная система используется для записи информации в сокращенном виде Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада).

Таблица 3

0000	0	0100	4	1000	8	1100	C
0001	1	0101	5	1001	9	1101	D
0010	2	0110	6	1010	A	1110	E
0011	3	0111	7	1011	B	1111	F

Шестнадцатеричное число не может начинаться с буквы. В этом случае перед первой буквой числа дописывают цифру 0.

Преимущество этих систем в том, что легко осуществляется перевод в двоичную систему и обратно.

Правила перевода из одной системы счисления в другую.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ...

здесь N - число, aj - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления ( p>1).

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = anan-1 ... a1a0 . a-1a-2 ...

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое).

Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для записи того же числа. Наиболее громоздкой получается запись в системе с наименьшим возможным основанием -- двоичной. Но то, что удобно для компьютера, оказывается очень неудобным для человека. Можно было бы переводить их в десятеричную систему и обратно... Однако, этот перевод довольно трудоемкий. И вот какой нашли выход. Если взять две системы счисления, такие что основание одной будет степенью основания другой (их иногда называют родственными), перевод будет делаться очень быстро.

studfiles.net

Вавилонская система счисления (презентация, текст), начальная школа

Вавилонская система счисления

Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Шумеры и аккадцы, населявшие древний Вавилон, писали не на папирусе, который в их стране не рос, а на глине. Путем нажима клиновидной палочкой на мягкие глиняные плитки наносились черточки, имевшие вид клиньев. Вот почему такое письмо называется клинописью. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек.

Идея приписывать разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в Древнем Вавилоне.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась из двух значков:

Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 60², 60³ и т.д

Определить, что же обозначает этот знак можно было лишь в связи с содержанием те или иных задач. Таким образом, Вавилонская нумерация не была строго позиционной, не была абсолютной.

Был у вавилонян знак, игравший роль нуля. Им обозначали отсутствие промежуточных разрядов.

Но отсутствие промежуточных разрядов не обозначалось никак.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд.

Предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшее, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей.

infourok.ru

Вавилонская система счисления: принцип построения и примеры

Образование 19 марта 2017

Вавилонская система счисления, возникшая за тысячи лет до наступления новой эры, была началом начала математики. Несмотря на свой древнейший возраст, она поддалась расшифровке и раскрыла исследователям множество тайн Древнего Востока. Мы тоже сейчас окунемся в прошлое и узнаем, как считали древние.

Основные характеристики

Итак, самое важное, что нужно знать – вавилонская система счисления является позиционной. Это значит, что запись чисел производится справа налево и в порядке убывания. На первом месте стоит сотня, затем десяток, а потом единица. Для древней математики данный аспект крайне важен, так как в Египте, например, система была непозиционной, и цифры в числе записывались в хаотичном порядке, что вызывало путаницу. Вторая характеристика – в вавилонской системе присутствовала шестидесятеричная цикличность. Отсчет заканчивался на каждом шестом десятке, а чтобы продолжить числовой ряд отмечался новый разряд, и запись снова начиналась с единицы. В целом вавилонская система счисления совсем не сложная, ее сможет освоить даже школьник.

вавилонская система счисления

История возникновения

Достоверно известно, что Вавилонское царство было построено на руинах двух могущественных держав – Шумера и Аккада. От этих цивилизаций осталось много культурного наследия, которым очень мудро распорядились вавилоняне. У шумеров они позаимствовали шестеричный числовой ряд, в котором присутствовали разряды, а у аккадцев – десятки. Объединив наработки своих предков, жители нового государства стали создателями новой науки, которая получила название «математика». Вавилонская шестидесятеричная система счисления дала понять, что позиционность – крайне важный фактор в записи чисел, потому в дальнейшем по данному принципу были созданы римские, греческие и арабские цифры. До сих пор мы отмеряем величины десятками, будто бы разделяя с их помощью число на разряды. Ну а что касается шестеричного цикла, то взгляните на циферблат часов.

вавилонская шестидесятеричная система счисления

Запись вавилонских цифр

Чтобы запомнить числовой ряд древних вавилонян, особых усилий прикладывать не придется. В математике они использовали лишь два знака – вертикальный клин, который обозначал единицу, и «лежачий» или горизонтальный клин, показывающий десяток. Подобные цифры имеют нечто общее с римскими, где встречаются палочки, галочки и крестики. Количество тех или иных клиньев показывало, сколько десятков и единиц в конкретном числе. В подобной технике отсчет производился до 59-ти, после чего перед числом записывали новый вертикальный клин, который на этот раз уже считался как 60, и отмечался разряд в виде маленькой запятой вверху. Имея в своем арсенале разряды, жители Вавилонского царства избавили себя от невероятно длинных и запутанных чисел-иероглифов. Достаточно было посчитать количество маленьких запятых и клиньев, которые находились между ними, как сразу становилось понятно, какое число перед вами.

вавилонская система счисления примеры

Математические операции

Исходя из того, что вавилонская система счисления была позиционной, сложение и вычитание происходило по знакомой нам схеме. Нужно было сосчитать количество разрядов, десятков и единиц в каждом числе и после сложить их или отнять от большего меньшее. Занятно, что и принцип умножения в то время был таким же, как сегодня. Если необходимо было умножить небольшие числа, пользовались многократным прибавлением. Если же в примере стояли трех и более значные показатели, пользовались специальной таблицей. Вавилоняне изобрели множество таблиц умножения, в каждой из которых одним из множителей был определенный десяток (20, 30, 50, 70 и т.д.).

От предков к современникам

Прочитав все это, вы наверняка зададитесь вопросом: «Каким образом вавилонская система счисления, примеры, которыми пользовались древние, и задачи дошли в подобной точности до рук современных археологов?» Все дело в том, что в отличие от других цивилизаций, которые пользовались папирусом и клочками ткани, вавилоняне использовали глиняные таблички, на которых записывали все свои наработки, в том числе и математические открытия. Данная техника получила название «клинопись», так как на свежей глине специально заточенным клинком выводились символы, цифры и рисунки. По завершении работы таблички высушивали и складывали в хранилища, в которых они смогли продержаться до наших дней.

вавилонская система счисления фото

Подведение итогов

В выше представленных изображениях мы четко видим, что из себя представляла и как записывалась вавилонская система счисления. Фото глиняных табличек, которые создавались в древние времена, немного отличаются от современных так сказать «расшифровок», но принцип остается прежним. Для Вавилона возникновение математики было неминуемым фактором, так как эта цивилизация была одной из ведущих в мире. Они возводили колоссальные на те времена постройки, делали немыслимые астрономические открытия и строили экономику, благодаря которой государство становилось процветающим и благополучным.

Источник: fb.ru

Комментарии

Идёт загрузка...

Системы счисления в Древнем Вавилоне.

История Системы счисления в Древнем Вавилоне.
просмотров - 123

№3.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления.

№2.

Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы. Вот некоторые из них: ‌/ - единица (шест), - десяток (дуга), - сотня (свернутый пальмовый лист) и - тысяча (цветок лотоса). Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения.

Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз. В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

К примеру, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

В древнем Вавилоне, культура которого, в том числе и математическая, была довольно высока, существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Мнения историков по поводу происхождения этой системы расходятся. Одна из гипотез состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, а другое – десятичной системой счисления. Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя системами. Другая гипотеза гласит, что вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывалось с числом 60. При этом это предположение, как и первое, тоже нельзя считать достаточно обоснованными: астрономические познания древних вавилонян были довольно значительны, в связи с этим следует думать, что погрешность, с которой они определяли продолжительность года, была значительно меньше, чем 5 суток. Несмотря на то, что происхождение этой системы остается для нас загадкой, самый факт ее существования и широкого распространения в Вавилонском государстве хорошо установлен. Эта система, как и двенадцатеричная, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (к примеру, в делении часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд и в аналогичной системе измерения углов: градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам). В целом, однако, эта система требующая шестидесяти разных “цифр”, довольно громоздка и менее удобна, чем десятичная.

Регионы –> Вавилонское царство –> Цифры и системы счисления в Вавилоне

Древние Цивилизации: Регионы –> Вавилонское царство –> Цифры и системы счисления в Вавилоне

Цифры и системы счисления в Вавилоне

Система счисления была шестидесятиричной. Единицы изображались узкими вертикальными клинышками. Повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти. Десятки изображались широкими горизонтальными клиньями . Повторенный соответствующее число раз, этот знак служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного использования знаков позволял, например, записать число 59 в виде , т.е. 5*10 + 9.

Для более компактной и красивой записи клинья-единицы в цифре могли объединяться в группы, располагаясь ярусами, клинья-десятки также могли записываться в виде разных компактных комбинаций. Например пятьдесят шестая цифра так: , или так:.

Для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на “места”, или “позиции”, разделенные пробелом, и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так: , т.е. 1*(60)2 + 53*(60) + 9. Более простой пример: — 165 (2*60+45).

В Древнем Вавилоне не пользовались нулем и запятой. Иными словами, клин мог значить и 10, и 600, и 10/60 (т.е. 1/6), а обозначал ли символ число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось догадываться из контекста.

Превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислениях они пользовались готовыми таблицами умножения.

Эта система использовалась только в научных документах того времени (например, при составлении астрономических таблиц, строительстве измерении полей). В быту использовалось лишь простое обозначения числа и счёта. В клинописных табличках, если и содержались, то только несложные вычисления (числа до 60).

Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, ее следы сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно также же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

Дата последнего изменения: 23.05.2010 в 23:36

ancients-10.allrpg.info