История математики — математика в древней Индии. Математика древней индии
Математика в древней Индии
Реферат
Математика
в древней Индии
Исполнитель: Цуй Александра
Проверил:_________________________
_________________________
_________________________
Белгород 2005
В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, – пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Кое в чем они обогнали даже древних греков. Однако Индия была оторвана от других стран, – на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.
Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий. Они изобрели позиционную систему счисления – способ записи и чтения чисел. Чтобы назвать большое число, индийцам приходилось после каждой цифры произносить название разряда. Это было громоздко, неудобно, и индийцы стали поступать иначе. Например, число 278 396 читали так: два, семь, восемь, три, девять, шесть – сколько цифр – столько слов. А если в числе не было какого-нибудь разряда, как, например, в числах 206 или 7013, то вместо названия цифры говорили слово «пусто». Чтобы не получалось путаницы, при записи на месте «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали рисовать кружок, который на языке хинди назывался «сунья», что значит «пустое место». Арабские математики перевели это слово на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр», а это уже знакомое нам слово. Слово «цифра» по наследству от арабов досталось и нам.
Генеалогия современных цифр.
Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем и обьясняется название - арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.
Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир.
Сто пятьдесят лет назад, во времена Наполеона, Лаплас писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений Архимеда и Апполония, двух величайших людей древности.» (L. Hogben. Mathematics for the Million. London. 1942).
Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей.
В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне: ax = c.
Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах.
Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук - это "Сиддханты", часть которых, "Сурья", дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, там обнаружены эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе "Алмагеста". Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, "Сиддханты" содержат многочисленные типично индийские особенности. "Сурья Сидд-ханта" содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.
Результаты, изложенные в "Сиддхантах", систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия) . Известны имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н. э.; некоторые книги доступны в английских переводах.
Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный "первым", около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, можно только предполагать, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.
Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения "Маха-Бхаскария", содержащего математические разделы {неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.).
За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметико-алгебраическое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для π значение 3,1416.
Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). Известны также трактаты Шридхары (IX - X вв.), Ариабхаты II (около950г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, жил и работал другой выдающийся математик, Бхаскара П.
Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ах + bу = с (а, b, с - целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х2 - 45х = 250 Бхаскара II находил решения х = 50 и х = -5, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его "Лилавати" в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.
В древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори-Лейбница для были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).
Пальма первенства принадлежала Индии в области арифметики и алгебры. Изобретатель или изобретатели десятичной системы и знака нуль неизвестны. Первое известное нам употребление знака нуль мы находим в одной из священных книг, датируемой примерно 200 годом до н.э. Считается вероятным, что десятичная система счисления была изобретена в начале христианской эры. Нуль, называется «сунья», или - ничто, изображался вначале в виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким же числом, как и все остальные.
Профессор Холстед следующим образом подчеркивал важнейшее значение этого изобретения: «Значение введения знака нуль нельзя переоценить. Эта способность дать пустому ничто не только место, имя, образ, символ, но также и практическое значение типична для народа Индии, страны, из которой все это пришло. Это все равно, что создать из нирваны динамомашины. Ни одно математическое изобретение не имело такого значения для общего прогресса разума и могущества человечества».
mirznanii.com
Математика в древней Индии | Путешествия во времени
В Индии математика не всегда была связана с письмом. Древнейший сохранившийся письменный памятник, датирован III веком до н. е., но Индия за много столетий до этого наверняка имела передовую цивилизацию, и научные знания были ее частью. Знания преимущественно передавались в устной форме. Эта древняя мудрость, сохранилась в человеческой памяти, возведенная в собрание великих религиозных текстов, известных как Веды, где, между прочим, содержатся и указания математических знаний. Веды написаны в архаической форме санскрита. Как и все индоевропейские языки, санскрит имел числительные, обозначающие десятки, и отдельные названия для девяти единиц, а также десяти, ста, тысячи и высших степеней от десяти.
Названия десятков являются производными от названий единиц — они несколько изменены и к ним прибавляется суффикс. Например, вимчати 20 тримчат 30 катваримчат 40. Другие числительные образуются от этих самых составляющих. Названия сотен, тысяч и т. д. состоят из названия единицы, за которой следует чата или сахасра. Две чате (двойственное) означает 200, а тринисахасрани (множество) — 3000.
В санскрите означающее слово предшествует определяемому. В случае составных числительных считается, что число высшего порядка обозначается числом низкого порядка. Одиннадцать, например, — это десять, обозначенное добавлением одного, так что соответствующее составленное числительное — эка-дача, соответственно два-дача — это 12 трайас-тримчат 33 и так далее. Число разлагается на компоненты, причем наименьший его компонент идет первым. После единиц идут десятки и т. д.
ПОЯВЛЕНИЕ ПИСЬМА
Мы не знаем, когда, как и кем в Индии было введено письмо. Все, что нам известно — это то, что еще в III веке до н. э. использовалось два рукописных шрифта. Один, называемый кхарогити происходит от арамейского письма. Им пользовались на крайнем северо-западе субконтинента, однако он скоро вышел из употребления. Другой, известный как брахми, кажется, возник в самой Индии. Он является предшественником всех рукописных шрифтов (типов графики), которые сейчас используются на индийском субконтиненте и в юго-восточной Азии. Древнейшие записи цифр, транскрибованих этим письмом (от III века до н.э. до III века н.э.) открывают систему обозначений, изрядно приближенную к системе произношения.
Для каждой цифры свой знак, значит, есть девять знаков для девяти единиц, являются совершенно разные знаки для каждого из десятков (20, 30 и т. д.), еще один знак для 100 и еще один — для 1000. Сложные числа составляют собой сочетание символов. Письмо брахми читается слева направо, и сообщения знаков пишутся в том же направлении, начиная со знака высшего разряда. Именно в этом разница между письменной и устной речью. Писец начинал с компонента высшего разряда, а тот, кто говорит, — самого низкого. Например, число 13 произносится Трайо дача, или «три-десять», но пишется «десять-три».
Сочетание компонентов обычно образуется размещением знаков друг возле друга. Иногда они объединены лигатурами. В то время как для каждого из десятков есть свой знак, для сотен есть лишь знак 100 плюс знак количество сотен; так же говорятся тысячи. На этом этапе мы еще можем говорить о позиционных обозначениях (системе счета). Здесь существует размещения рядом знаков чисел, которые при сложении дают нужное число. И это точно отражает структуру языка.
НОЛЬ И ПОЗИЦИОНАЯ СИСТЕМА СЧЕТА
В десятичной позиционной системе счета десятки, сотни и тысячи не изображаются отдельными знаками, а теми же цифровыми знаками, поставленными в разные позиции. Только тогда становится позиция значимой. Только тогда она указывает, где десятки, где сотни и где тысячи. Для такой системы нужны лишь 10 знаков, цифры от 1 до 9 и ноль — или хотя бы пустое место.
Нет вероятного документального свидетельства того, как и каким образом, эта система была изобретена в Индии и как она развивалась. Древнейшее упоминание — литературное. Васумитра, буддийский писатель и выдающийся деятель великого религиозного совета, созванного королем Канишке (правивший над всей северо-западной Индией в конце І в. начале ІІ века н.э.), утверждал в книге о буддийском учении: если материя существует во всех трех временных измерениях (прошлом, настоящем и будущем), каждый раз, когда она переходит в новое состояние, считается чем-то другим, то это изменение обязано различным состояниям, а не изменениям в самой материи. Он проиллюстрировал эту мысль, говоря о знаке, который в позиции единиц считается единицей, а в позиции сотен — сотней. Он не уточнял природы этого знака.
Это может быть ссылкой на что-то вроде абаки. Этот знак мог бы быть предметом, который можно поместить в колонку или квадрат, где его место давало бы ему значение степени от десяти. Это могла быть отметка на песке, когда вычисления писались на земле. Известно, что индийские счетоводы любили простоту этого метода. В некоторых местах южной Индии и сегодня можно видеть, как сельские астрологи делают вычисления, раскладывая раковины каури в колонки, написанные на песке. Какова бы ни была форма абаки, ссылки Васумитра указывают на существование обозначения, в котором учитывалась значимость позиции.
То же можно сказать и о нуле, использование которого в Индии известно из упоминаний в литературе тех времен, предшествующих древнейшим письменным памятникам его употребления. Ноль составляет часть позиционной системы счета. Сначала это, очевидно, был пропуск в колонке, следствие отсутствия числа или знака на месте, предназначенном для разряда десятков. Это видно по использованию одного из двух слов, означающих «пустой», — чукья или кхе. Слово юса появляется в трактате о метрике Пингалы, где тот устанавливает правило преобразования бинарных чисел в десятичные. Даты рождения и смерти Пингалы неизвестны, но цитирование его работ находим от III века н. е. и далее, следовательно, очевидно, он жил раньше этого времени.
Мы знаем, что точка начинает употребляться для обозначения пустого места от Субандху, автора, писавшего на языке санскрите и жившего, возможно, в VI веке н. е. Для обозначения нуля Субандху использовал сложное существительное Чунь-бинду — буквально «пустая точка», иначе говоря, точка, обозначающая пустое место в колонке.
Сам ноль появляется в дарственной надписи, вырезанной на медных табличках, от имени короля Калинги Девендравармана (из Ориссы, в восточной Индии). Документ датирован буквами и цифрами: самвакчара-чатам Трир-ачите (100) 83 Шраван массе денет вимчати 20 уткирнам, что буквально означает: «вырезаны сто восемьдесят три года (100) 83 (прошли) двадцатого дня 20 в месяце Шравана». Число 183 написанное тремя знаками, знаком, означающим сто, и цифрами 8 и 3. Число 20 написано цифрой 2 и нулем в форме маленького круга. Период, обозначенный в этом документе, начался в 498 году н. е., следовательно, документ датирован 681 годом н. е.
Позиционную запись, и ноль в форме большой точки или маленького круга находят и в надписях в юго-восточной Азии, в Самборе (Камбоджа) и Кота-Капур (Малайзия), где древние записи датируются VII веком н. е.. Типы письма, используемые в этих странах, являются производными от индийских рукописных шрифтов, и их система записи чисел, без сомнения, индийская. Все эти документы показывают, что в конце VII столетия позиционная система и ноль были в общем употреблении не только в Индии, но и во всех тех странах, на которые оказала влияние индийская цивилизация.
Кажется, что система записи, где используются 9 цифр и ноль, быстро стала самой распространенной в надписях, но она никогда не вытесняла вполне старую систему, которая еще и до недавнего времени хранилась в рукописях, а в южной Индии даже в печатных книгах начала XX века.
СЛОВО, ОБОЗНАЧАЮЩЕЕ ЧИСЛА
Известна и широко используемая в Индии смешанная система записи, в которой черты старой системы сочетаются или варьируются с особенностями позиционной системы записи. В этой системе названия чисел заменяются словами и числовыми коннотациями. Например, вместо «двух» употребляют слова «глаза», «руки», «крылья» или «близнецы», «четырех» слово «океаны» (в индийской географической мифологии было 4 океана), вместо «десяти» — «пальцы»; 32-это «зубы», 100-«человеческий век», ноль — «пустое место». Эти слова располагаются так, как они принимались в устной речи, то есть в сложенном числе маленькое числительное идет первым. Иначе говоря, порядок слов противоположный употребляемому в письме. Например, число 4320 000 произносится как «хача-тушка-совет-арнавах», что буквально означает «4 пустые места-зубы-океаны», или 0-0-0-0-32-4.
Приведенный пример взят из «Сурья-сиддханта», текста по астрономии, описывающего данные, известные в IV веке н. э. Это одна из древнейших записей этой смешанной системы, весьма популярной на протяжении всей истории литературы, написанной на санскрите. Даже среди математиков и астрономов, это, кажется, был широко применяемый метод записи чисел. Преимуществом его было то, что он допускал варьирование словаря. В санскрите где-то около 10 слов, обозначающих «глаза», но нет синонима к числу 2. Техническая и научная литература на языке санскрит в основном писалась в стихотворной форме, следовательно, авторы должны были иметь богатый словарь, чтобы найти слова, которые бы удовлетворяли требования рифмы.
Ошибочным было бы считать эту смешанную запись переходной стадией между старой устной системой и чисто позиционной системой. Это был искусственный метод, принятый авторами, которые были знакомы с обеими системами и использовали их в своих писаниях.
ЭКОНОМИЯ И ЛЕГКОСТЬ
В 662 году н. е. сирийский писатель Северус Себокт, желая показать, что греки не обладают монополией на науку, сослался на находчивость индийских ученых. Единственным математическим навыком, который он вспоминает, была их система вычислений, использующая 9 цифр. В комментарии Северуса Себокта указывается на наибольшее преимущество этой системы — ее экономичность. Сокращая количество символов, необходимых для записи всех чисел до 10-9 цифр и нуля — система достигает идеала экономии и эффективности. Индийские мудрецы хорошо знали преимущества экономии. У них был и рабочий термин для нее — лагхава, или легкость — и они совершенствовали ее с древнейших времен в различных областях знаний.
Автор: Пьер Сильвен Фийоза.
P. S. Старинные летописи рассказывают: Ех знали бы древние индийские математики к чему приведет человечество собственно развитие математике. А приведет, точнее уже привело к многому, ведь даже то что вы читаете этот сайт (или любой другой сделанный к примеру компанией zakazatsajt.ru) это заслуга именно математики, на основе которой стоит программирование и вообще вся современная компьютерная техника.
travel-in-time.org
Развитие индийской математики
Развитие математики как науки в каждой древней цивилизации начиналось со счета. Он был неотъемлемой частью эволюции всего человечества. С помощью математического счета человек вел хозяйство, контролировал поголовье скота, производил расчет календаря, вел торговлю и т.п. Параллельно социуму развивалась и математика, которая начала свое движение со счета. Нельзя не отметить индийский способ записи чисел, который отличался некоторой изысканностью. Изначально для нумерации использовалась сиро-финикийская методика, а с шестого века до н.э. стали применять написание «брахми», с отдельными символами для цифр «1-9», которые после небольших видоизменений дошли до нас и называются «арабскими».
Индийская математика – опыт соседей плюс свежие идеи
Примерно в 500 году до н.э. в Индии была разработана новая система записи чисел – десятичная позиционная система. К сожалению, автор этой методики современности не известен. В данной системе выполнение различных арифметических действий оказалось значительно проще в сравнении с громоздкими буквенными кодами, как у греков, и с шестидесятеричными, как у вавилонян. По истечению некоторого времени индийцы стали использовать специальные счетные доски, которые были максимально приспособлены к позиционной записи. Кроме того, индийские научные деятели разработали полные алгоритмы всех арифметических операций, в том числе извлечение квадратных и кубических корней.
Огромный прорыв в области математики Индии приходится на средневековые времена. В этот период работало невероятно большое количество научных деятелей, которые достигли немалых высот. Наибольшим успехом является развитие численных методов и теории чисел. Кроме того, индийцы достигли небывалого успеха в алгебре. Их символика значительно богаче, нежели у Диофанта, но и громоздка, так как слегка засорена излишними словами.
Что касается геометрии, то можно сказать, что она вызывала меньший интерес у научных деятелей, поэтому до современности дошло немного работ по геометрии тех времен. Доказательства теорем в основном состояли из чертежа и слова «смотри». Стоит сказать, что все свои познания касательно геометрии индийцы черпали у греков. Это относится и к тригонометрии, и к формулам объемов и площадей. Немного позже геометрии стали уделять больше внимание, так как она вошла в обиход человека, и без ее применения невозможно было строить дома, делать правильные расчеты площадей и т.п.
www.letopis.info
Математика в Индии
В древней и средневековой математике народов Индии много общего с китайской математикой. В Индии математика тоже является очень древней наукой, издавна составляющей часть культуры. В ней тоже преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем; геометрия индийцев — также практическая.
Эта общность характера науки и путей ее развития не случайна и отражает сходность путей исторического развития обеих великих стран и давние экономические и культурные связи между ними. В Индии к началу нашей эры уже сложилась развитая феодальная система организации общества. Длительная консервация феодальных отношений усугублялась кастовым расслоением социальных групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки.
Английские, французские, португальские колонизаторы в течение нескольких столетий насильственно задерживали естественное развитие производства, науки и культуры индийского народа. Только в наше время происходит процесс национального освобождения и подъема производительных сил Индии.
Самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно уже умершем языке — санскритском. В них мы находим геометрические построения, составляющие важную часть ритуалов при постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и т. д. В них можно найти первые способы квадрирования кругов, применение теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований архитектуры решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определилась как десятичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать; он строил числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждому разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда придумал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, до 107+9•46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в Индии.
Haиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцы математической литературы, — это V—XII вв. н. э. В это время трудились выдающиеся индийские ученые — математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта (род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.). От Ариабхатты, жившего в северо-восточной Индии, осталось сочинение в стихах астрономического и математического содержания. В нем сформулированы правила элементарной математики: арифметики, геометрии и тригонометрии. Брахмагупта также в стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах «Усовершенствованная наука Брамы», в котором 12-я книга посвящена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и неопределенным уравнениям. Значительное математическое содержание имеют две книги Бхаскары: «Лилавати» и «Виджаганита». «Лилавати» (что значит «прекрасная») Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах книги излагаются: 1) метрология; 2) действия над целыми числами и дробями и извлечение корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси; 5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7—11) вычисление различных объемов; 12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи комбинаторики.
Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из восьми отделов: 1) действии над положительными и отрицательными числами; 2—3) неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные уравнения; 6) системы линейных уравнений; 7—8) неопределенные уравнения2-й степени.
Мы не ставим себе здесь целью описание всех источников, заслуг и роли отдельных лиц. Нашей целью является оценка уровня достижений математиков Индии, особенностей форм и методов математического исследования и путей развития индийской математики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики.
Как было уже сказано, главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в догматической форме. Среди арифметических правил обращает на себя внимание широкое распространение правила обращения, которое состоит в следующем: задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются лишь последовательность операций с задуманным числом и конечный результат. Решение задачи состоит в последовательном проведении всех операций в обратном порядке. Например, в сочинении Бхаскары «Лилавати» перед неизвестной красавицей ставится задача: назвать число, которое, будучи умножено на три, увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7, уменьшено на
Оперирование большими числами, помимо отработки единой числовой десятичной системы с нулем и числовой символики, привело к введению в математику представлений о бесконечно больших числах. Бхаскара вводил это представление, рассматривая выражения вида
Индийские математики ввели и правильно трактовали и понятие отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило справедливо и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество; имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны. Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения ряда задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторных задач. К алгебре относятся в первую очередь правила решения линейных уравнений, их систем и квадратных уравнений.
Развитие методов решения задач неопределенного, или диофантова, анализа представляет одно из высших достижений индийской математики. Появление подобных методов - общее явление для всех древних математических культур. Причина того, что математики Индии, Греции, Китая и других стран интересовались решением пообных задач, лежит, по-видимому, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, например в астрономии.
В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновременно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: 10 960у=30х. Другие вопросы, например о периоде повторения некоторых явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели находить целочисленные решения различных видов неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени.
Мы уже упоминали о характерной форме изложения, при которой не воспроизводится ни ход рассуждений, ни доказательство, что не дает возможности судить о теоретико-числовых методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно, показывает наличие ряда теоретико-числовых методов.
В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствующих о наличии экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимствование индусами у греков некоторых геометрических сведений и т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и взаимных влияниях математики Индии, Греции, Китая и арабских стран еще остается недостаточно выясненным.
« назад в меню
mathshkola.ru
История математики в Индии - математика, планирование
В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, – пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Кое в чем они обогнали даже древних греков. Однако Индия была оторвана от других стран, – на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.
Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий. Они изобрели позиционную систему счисления – способ записи и чтения чисел. Чтобы назвать большое число, индийцам приходилось после каждой цифры произносить название разряда. Это было громоздко, неудобно, и индийцы стали поступать иначе. Например, число 278 396 читали так: два, семь, восемь, три, девять, шесть – сколько цифр – столько слов. А если в числе не было какого-нибудь разряда, как, например, в числах 206 или 7013, то вместо названия цифры говорили слово «пусто». Чтобы не получалось путаницы, при записи на месте «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали рисовать кружок, который на языке хинди назывался «сунья», что значит «пустое место». Арабские математики перевели это слово на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр», а это уже знакомое нам слово. Слово «цифра» по наследству от арабов досталось и нам.
Генеалогия современных цифр.
Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем и обьясняется название - арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.
Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир.
Сто пятьдесят лет назад, во времена Наполеона, Лаплас писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений Архимеда и Апполония, двух величайших людей древности.» (L. Hogben. Mathematics for the Million. London. 1942).
Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей.
В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне: ax = c.
Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах.
Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук - это "Сиддханты", часть которых, "Сурья", дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, там обнаружены эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе "Алмагеста". Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, "Сиддханты" содержат многочисленные типично индийские особенности. "Сурья Сидд-ханта" содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.
Результаты, изложенные в "Сиддхантах", систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия) . Известны имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н. э.; некоторые книги доступны в английских переводах.
Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный "первым", около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, можно только предполагать, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.
Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения "Маха-Бхаскария", содержащего математические разделы {неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.).
За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметико-алгебраическое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для π значение 3,1416.
Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). Известны также трактаты Шридхары (IX - X вв.), Ариабхаты II (около950г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, жил и работал другой выдающийся математик, Бхаскара П.
Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ах + bу = с (а, b, с - целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х2 - 45х = 250 Бхаскара II находил решения х = 50 и х = -5, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его "Лилавати" в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.
В древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори-Лейбница для были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).
Пальма первенства принадлежала Индии в области арифметики и алгебры. Изобретатель или изобретатели десятичной системы и знака нуль неизвестны. Первое известное нам употребление знака нуль мы находим в одной из священных книг, датируемой примерно 200 годом до н.э. Считается вероятным, что десятичная система счисления была изобретена в начале христианской эры. Нуль, называется «сунья», или - ничто, изображался вначале в виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким же числом, как и все остальные.
Профессор Холстед следующим образом подчеркивал важнейшее значение этого изобретения: «Значение введения знака нуль нельзя переоценить. Эта способность дать пустому ничто не только место, имя, образ, символ, но также и практическое значение типична для народа Индии, страны, из которой все это пришло. Это все равно, что создать из нирваны динамомашины. Ни одно математическое изобретение не имело такого значения для общего прогресса разума и могущества человечества».
kopilkaurokov.ru
Математика в Месопотамии, Древнем Китае и Древней Индии: invirostov
Теорему Пифагора придумал Пифагор? А вот и нет! Она была известна в Древнем Вавилоне задолго до Пифагора.Частные случаи теоремы Пифагора были известны и в Древней Индии. Кстати, там математика была так тесно связана с религией, что сборнике «Сульвасутры», описывающем построение жертвенных алтарей, математические правила перемежаются с ритуальными предписаниями.
Продолжение. Начало тут:1. Я всматриваюсь в вас, о числа - поэтическое вступление2. Раз, два, три, четыре, пять. Как человек научился считать? - Возникновение счета в первобытном мире
Еще большего уровня развития достигла математика Месопотамии. Уже в древних записях шумерского периода видно высокое вычислительное умение. Шестидесятеричная система исчисления, имеющая в основе тот же принцип, что и наша десятичная, позволяла совершать действия с целыми числами и дробями по одним правилам. В более поздних записях встречаются таблицы обратных величин, квадратов, кубов, решения задач, сводящихся к уравнениям первой, второй и третей степеней, вычисления двоичных логарифмов. А найденные среди хозяйственных записей расчеты по долгам показывают, что в Междуречье были известны и операции с процентами. Такое хорошее развитие алгебры может быть связано с тем, что в шумерском языке каждый знак обозначал отдельное понятие – а это вполне пригодно для языка алгебры. Ведь в сущности, используемые современным человеком математические знаки «+» (плюс), « - » (минус) и т.п. это не что иное, как обозначение понятий знаками (идеограммами).
Вавилонская клинописная табличка с математическим текстом
Геометрия в Месопотамии, как и в Египте, развивалась исходя из практических задач измерения земельных участков или емкостей сосудов, но, в отличие от Египта, более тяготела к алгебраическим принципам решения. Вавилонянам была известна теорема Пифагора и обратная к ней, они умели вычислять приближенное значение квадратного корня. Существует предположение, что решение таких отвлеченных, не связанные с практической деятельностью задачи, возникло в вавилонских школах писцов - готовясь у хозяйственной деятельности, они учились решать типовые задачи и в процессе обучения сами могли совершать математические открытия. По другой версии, математическими задачами занимались жрецы – для этого у них было достаточное количество знаний и свободного времени. Я думаю, эти версии не противоречат друг другу и вполне могут оказаться верными обе.
Что касается развития математики в Древнем Китае и Индии – тут, как я уже говорила, у ученых гораздо меньше сведений, чем о Месопотамии и Египте. Тем не менее, даже по имеющимся скудным данным можно сделать кое-какие выводы.Математика Древней Индии была тесно связана с религией. В геометрическом сборнике «Сульвасутры» (дополнение к Ведам), описывающем построение жертвенных алтарей, математические правила перемежаются с ритуальными предписаниями. В «Сульвасутрах» есть задачи на построение квадратов и прямоугольников, частные случаи теоремы Пифагора. Из этих задач видно, что индийцы знали дроби, умели извлекать квадратные корни, пользовались точными и приближенными методами для нахождения площадей и объемов.Для нумерации в Индии сначала использовалась сирофиникийская система, но с VI в. до н.э. происходит переход на подобие нашей десятичной системы (цифры 1-9 записывались значками – «брахмами», которые стали прообразами современных арабских цифр) (рис. 6)
От этих индийских значков произошли современные цифры
Говоря об общих чертах развития математики в Древней Индии, хочется отметить одно интересное обстоятельство – отсутствие преемственности. Результаты «Сульвасутр» не встречаются в более поздних источниках. Думаю, это вызвано тем, что в Индии существовало несколько математических школ, связанных с разными религиозными традициями. Каждая школа развивалось отдельно, и эта разрозненность помешала создать общие принципы, передаваемые и поколения в поколение.
В этом плане полной противоположностью является Китай – в нем развитие математики сохраняет непрерывность традиций вплоть до наших дней. Именно это, несмотря на скудность дошедших до нас письменных источников, помогает судить о том, какое место занимала математика в культуре Древнего Китая. Цифры у китайцев изображались иероглифами, которые дошли до наших дней. Способ записи изначально был, как и в Индии, десятичным, арифметические действия производились с помощью счетных досок - суаньпань – которые по принципу использования и по конструкции были похожи на счёты. Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII—XII вв. до н. э.). Но подлинный расцвет науки начался после того, как в XII в. до н. э. Китай был завоёван кочевниками Чжоу. В эти годы возникают и достигают удивительных высот китайская математика и астрономия. Появляются первые точные календари и учебники математики. В учебнике математики «Девять книг» содержались общие указания по решению задач. В основном эти задачи сводятся к уравнениям или к системам уравнений, решение этих систем происходит способом, который сейчас называют «матричным». Эти матрицы содержали отрицательные числа – первые в истории математики.
Математика в девяти книгах (начало)
Математика всегда имела в Древнем Китае большое значение. Чиновники при поступлении на службу сдавали экзамены, в том числе и по математике. Они должны были показать умение решать задачи из «Девяти книг» и других математических сборников.
На этом с Древним Востоком всё. Ну а завтра ещё кое-что напишу по поводу математики))
invirostov.livejournal.com
Реферат - Математика в древней Индии
Реферат
Математика
в древней Индии
Исполнитель: Цуй Александра
Проверил:_________________________
_________________________
_________________________
Белгород 2005
В Индии математика зародилась примерно тогда же, когда и в Египте, – пять с лишним тысяч лет назад. К началу нашего летоисчисления индийцы уже были замечательными математиками. Кое в чем они обогнали даже древних греков. Однако Индия была оторвана от других стран, – на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы.
Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий. Они изобрели позиционную систему счисления – способ записи и чтения чисел. Чтобы назвать большое число, индийцам приходилось после каждой цифры произносить название разряда. Это было громоздко, неудобно, и индийцы стали поступать иначе. Например, число 278 396 читали так: два, семь, восемь, три, девять, шесть – сколько цифр – столько слов. А если в числе не было какого-нибудь разряда, как, например, в числах 206 или 7013, то вместо названия цифры говорили слово «пусто». Чтобы не получалось путаницы, при записи на месте «пустого» разряда ставили точку. Позднее вместо точки стали рисовать кружок, который на языке хинди назывался «сунья», что значит «пустое место». Арабские математики перевели это слово на свой язык. Вместо «сунья» они стали говорить «сифр», а это уже знакомое нам слово. Слово «цифра» по наследству от арабов досталось и нам.
Генеалогия современных цифр.
Древние индийцы с их высокой интеллектуальностью и склонностью к абстрактному мышлению, естественно, должны были занять ведущее положение в математике. Европа заимствовала начатки арифметики и алгебры у арабов (чем и обьясняется название — арабские цифры), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у Индии.
Поразительные успехи, достигнутые индийцами в математике, сейчас хорошо известны, и признано, что основы современной арифметики и алгебры были заложены еще в древней Индии. Примитивный метод использования абак и применение римских и подобных им цифр долгое время задерживал прогресс, пока, наконец, десять индийских цифр, включая знак нуль, не освободили человеческий разум от этих ограничений и не показали в новом свете значение чисел. Эти цифровые обозначения были единственными в своем роде и полностью отличались от всех иных обозначений, которые применялись в других странах. Сейчас они получили достаточно широкое распространение, и мы принимаем их как должное, однако в свое время они создали условия для революционного прогресса. Понадобилось много веков, чтобы эти цифровые обозначения пришли из Индии через Багдад в западный мир.
Сто пятьдесят лет назад, во времена Наполеона, Лаплас писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений. Мы оценим все величие этого достижения, когда вспомним, что мимо него прошел даже гений Архимеда и Апполония, двух величайших людей древности.» (L. Hogben. Mathematics for the Million. London. 1942).
Возникновение геометрии, арифметики и алгебры в Индии восходит к далеким временам. Прежде всего, существовала, вероятно, какого-то рода геометрическая алгебра, применявшаяся при начертании фигур для ведических алтарей.
В древнейших книгах упоминается о геометрическом методе преобразования квадрата в прямоугольник по заданной стороне: ax = c.
Геометрические фигуры до сих пор широко используются в индусских обрядах.
Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук — это «Сиддханты», часть которых, «Сурья», дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, там обнаружены эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе «Алмагеста». Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, «Сиддханты» содержат многочисленные типично индийские особенности. «Сурья Сидд-ханта» содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.
Результаты, изложенные в «Сиддхантах», систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия). Известны имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н. э.; некоторые книги доступны в английских переводах.
Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.). Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, можно только предполагать, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметико-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.
Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения «Маха-Бхаскария», содержащего математические разделы {неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.).
За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметико-алгебраическое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для π значение 3,1416.
Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). Известны также трактаты Шридхары (IX — X вв.), Ариабхаты II (около950г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, жил и работал другой выдающийся математик, Бхаскара П.
Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ах + bу = с (а, b, с — целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х2 — 45х = 250 Бхаскара II находил решения х = 50 и х = -5, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его «Лилавати» в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она была издана в Калькутте и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.
В древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори-Лейбница для были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).
Пальма первенства принадлежала Индии в области арифметики и алгебры. Изобретатель или изобретатели десятичной системы и знака нуль неизвестны. Первое известное нам употребление знака нуль мы находим в одной из священных книг, датируемой примерно 200 годом до н.э. Считается вероятным, что десятичная система счисления была изобретена в начале христианской эры. Нуль, называется «сунья», или — ничто, изображался вначале в виде точки, а позже в виде маленького кружка. Он считался таким же числом, как и все остальные.
Профессор Холстед следующим образом подчеркивал важнейшее значение этого изобретения: «Значение введения знака нуль нельзя переоценить. Эта способность дать пустому ничто не только место, имя, образ, символ, но также и практическое значение типична для народа Индии, страны, из которой все это пришло. Это все равно, что создать из нирваны динамомашины. Ни одно математическое изобретение не имело такого значения для общего прогресса разума и могущества человечества».
были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.).
были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.). 
Вавилонская клинописная табличка с математическим текстом
От этих индийских значков произошли современные цифры
Математика в девяти книгах (начало)
