История современного города Афины.

Древние Афины
История современных Афин

Математика Древнего Египта. Математика древнего египта

Математика Древнего Египта

Множество папирусов Древнего Египта, дошедших до нас, позволяет сделать практически однозначный вывод о состоянии математики в эту эпоху. Говоря о математике древних, нужно понимать, что развитие математики на Земле, как таковой, сильно отличалось по периодам.

В периоды, предшествующие концу предыдущей крупной атлантической цивилизации, математика имела огромное значение для развития той цивилизации. Дошедшие до нас артефакты изображений и скульптур летательных аппаратов и других технологических изделий подразумевали знание математики на уровне, сопоставимом с нынешним.

Вместе с тем, документы Древнего Египта говорят о совершенно ином, более низком уровне математических знаний. Это может косвенно свидетельствовать о том, что, поскольку уровень математических знаний определяется задачами, стоящими перед обществом и самим обществом, то и общество Древнего Египта была на более низком уровне по сравнению с обществом атлантического периода. Очевидно, ввиду более простых задач, стоящих перед египтянами, и математика была проще. Но в этой простоте очень много странностей.

Напомним, что принято считать, что атлантический период закончился около 12600 лет назад с прилётом некоего крупного небесного тела, принёсшего невиданные разрушения, смещение полюсов и, как следствие, гибель атлантической цивилизации. Более точные расчёты показывают некоторое расхождение между этими событиями, которое мы обсудим позже. А пока, вернёмся к математике.

Математика Древнего Египта опиралась на некоторые базовые понятия.

Натуральные числаТо есть, числа, получающиеся при счёте предметов. Египтяне не использовали отрицательные числа. Мало того, у египтян практически вся математика была прикладная и после числа шло наименование. Египтяне не говорили абстрактно «три плюс пять будет восемь». Им нужны были предметы счёта. Именно по этой причине они не использовали отрицательных чисел, которые невозможно получить, считая предметы.

Аликвотные дробиРазумеется, раз целое может делиться, у египтян были дроби. Но только практически всегда в числителе такой дроби была единица. Исключение составляла дробь 2/3, для которой был свой особый значок. Во всех остальных случаях было 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т.д. В результате, дробь 5/6 египтянами представлялась как 2/3+1/6 или 1/2+1/3. Разумеется, в нашем понимании это ограничивало возможности вычислений, но им этого хватало.

Умножение по модулю дваЭто самое интересное и странное в египетской математике. Направление развития математической науки определяется наличными средствами. К примеру, математика на Руси полагалась на базовое число десять, как число пальцев на руках, как в порядках, так и вычислениях. В умножении, брались исходные десятичные числа. Тоже самое было и в Древнем Риме, в арабском мире, откуда к нам и пришли нынешние цифры.

Но в Древнем Египте умножение шло по модулю два. Бралось первое умножаемое число, например 31, и раскладывалось по модулю два — 31 = 16+8+4+2+1. Затем, бралось второе умножаемое число, к примеру 15, 15=8+4+2+1 и 31*15 получалось нечто

31*15 = (16 + 8 + 4 + 2 + 1)*(8 + 4 + 2 + 1) = 16*8 + 16*4 + 16*2 + 16 + 8*8 + 8*4 + 8*2 + 8 + 4*8 + 4*4 + 4*2 + 4 + 2*8 + 2*4 + 2*2 + 2 + 8 + 4 + 2 + 1 = 2**7 + 2**6 + 2**5 + 2**4 + 2**6 + 2**5 + 2**4 + 2**3 + 2**5 + 2**4 + 2**3 + 2**2 + 2**4 + 2**3 + 2**2 + 2 + 2**3 + 2**2 + 2 + 1 =128 + 64 + 32 + 16 + 64 + 32 + 16 + 8 + 32 + 16 + 8 + 4 + 16 + 8 + 4 + 2 + 8 + 4 + 2+ 1 = 465.

Выделенный фрагмент является ключевым и многое объясняет. Он объясняет, что египтяне не знали таблицу умножения в принципе. Они и в умножении пользовались сложением, складывая степени числа два. Именно этот способ используется в современных калькуляторах, когда умножение на два — это просто сдвиг регистра числа, а степень двух — это последовательный сдвиг регистра на величину степени. И это приводит к логичному выводу.

Поскольку способ умножение древних египтян кардинально отличался от остальных используемых способов, развившихся на Земле самостоятельно, он был египтянам дан кем-то другим. И этот «кто-то» просто дал им алгоритм вычисления калькулятора, когда вместо триггерных элементов схемы выступают обычные люди и по схемам смотрят значения степеней, которые потом и складывают. То есть, используя двоичную систему, можно было дать алгоритм умножения человеку любого уровня развития, компенсируя его низкий уровень количеством операций. Нужно только научить его складывать, и всё. Что египтяне и делали, в своеобразной форме

Число ПиК чести древних египтян, они единственные из своих соседей, кто использовал более-менее точное значение числа Пи. И хотя поиски Пи в пирамидах бессмысленны, пирамиды Древнего Египта призматические, квадратные, треугольные в гранях, какие угодно, но не круглые. Поэтому, в них нет и никогда не было числа Пи. Мы рассмотрим эту распространённую ошибку чуть позже, а пока немного похвалим Древний Египет.

Так вот, все соседи египтян использовали простую тройку, как значение Пи. И только в Древнем Египте, значение Пи было 3 1/7, или 22/7. Это давало достаточно приемлемую точность вычислений, поскольку 22/7 = 3.142857. Кстати, с числом Пи связана одна интересная история, которую мы сейчас расскажем.

Королевский локоть (кубит)Основной мерой длины в Египте, да и во всём Средиземноморье, был локоть. Локоть немного варьировался от страны к стране в длине, в Египте он составлял 45см. Локоть по-древнеегипетски — это кубит. Мера была очень удобная, 6 ладоней по 4 пальца, делится нацело на 2,3,4,6,8,12, красота! Но с такой мерой очень трудно откладывать число Пи, где нужна была 1/7.

И тогда фараон «придумал», что будет ещё второй локоть, фараонский, в котором не 6 ладоней, а 7 ладоней и который имеет длину соответственно 52.4см. Так и появился королевский кубит. Благодаря которому отмерять Пи, то есть, брать одну седьмую, стало намного проще.

СекедЕсли взять три королевских локтя (два по горизонтали, третий — вертикально), наклонную палочку между ними, то получим древнеегипетское средство замера углов – секед.

Секед широко использовался при строительстве пирамид. Именно его пропорциями объясняются многие углы наклона галерей и поверхностей граней.

К примеру, угол наклона пирамиды Хуфу 51.83 градуса. По «секедовской» технологии этот угол составляет 22 горизонтальных пальца. То есть,

Arctg(28/22) = 51.84 градуса. Идём далее, соседняя пирамида Хафра при угле грани в 53 градуса имеет секед 21 палец, то есть,

Arctg(28/21) = 53.14 градуса, что также соответствует пропорциям (3-4-5 прямоугольного треугольника).

Далее, наклоны галерей пирамиды Хуфу также определяются секедом — это 1 кубит в высоту и один в длинну, то есть, максимально пологий угол для секеда.

Arctg(1/2) = 26.565 градуса, что точно соответствует углу наклона этих галерей.

Таким образом, делая заключение о состоянии математики Древнего Египта, можно заключить, что её развитие позволяло египтянам выполнить строительство пирамид на том уровне, который мы можем наблюдать. Именно использование последовательностей для арифметических вычислений определяло пропорции пирамид, связанные с числом Фи, как внешние, так и внутренние и позволяло достигать той точности вычислений, которую мы увидим позднее.

С другой стороны, остаётся открытым вопрос об источнике знаний о пирамидах и их свойствах, который, скорее всего, имеет не египетское происхождение, а идёт от прошлых земных цивилизаций.

Также оставляют вопросы знания египтян парамагнитных свойств материалов, их взаимодействие с магнитным полем Земли, что также видится сомнительным, но это уже другая история.

dkcc24.com

§ 3. Математика древнего Египта

В IV-I тысячелетиях до н. э. в странах древнего Востока. Устанавливается рабовладельческий строй. Рабовладельческий строй давал возможность вести большие строительные работы, совершенствовать орудия труда, развивать ремесла и торговлю, однако производительные силы общества развивались медленно, поскольку рабы не были заинтересованы в повышении производительности своего труда и господствовал примитивный ручной труд. наиболее крупными и значительными среди первых рабовладельческих государств были Египет, Вавилон, государства в Индии и Китае.

С древнейших времен люди на Востоке селились по долинам крупных рек. Одним из таких районов была долина Нила. В IV тысячелетии до н.э. с развитием земледелия, ремесел и обмена, с появлением неравенства между людьми здесь формируется рабовладельческий строй. Образуются два царства – Верхнее и Нижнее. Около 2700 г. до н.э. они сливаются в единое египетское царство. Оно просуществовало, с некоторыми перерывами, до 525 г. до н.э., когда его завоевали персы.

В Египте строили большие здания (дворцы и храмы), крепости, корабли, оросительные каналы и гробницы-пирамиды. Кроме того, нужно было измерять длины, площади, объемы, время, считать и собирать налоги, составлять календарь и т.д. Все это требовало вычислений и расчетов, т.е. помощи математики.

Египтяне писали на папирусе – бумаге, склеенной из высушенных стеблей водного растения, называвшегося также папирусом. Эту бумагу скатывали в виде свитка, порой довольно значительной длины. Материал был недолговечен, и только благодаря тому, что в Египте было принято класть папирусы в пирамиды знатных людей, часть исписанных папирусов сохранилась до наших дней. Наиболее крупными среди папирусов математического содержания являются папирус Ринда, который содержит 84 решенных задачи, и московский папирус, в котором 25 задач.

Письма и приказы фараона составляли царские писцы, они же вели математические расчеты и вычисления. Большинство папирусов математического содержания были сборниками задач для школ писцов.

Арифметика. В Египте в различные периоды применялись три разных вида письменности. Соответственно этому существовали три вида записи чисел. Рассмотрим примеры записи натуральных чисел в наиболее древней системе счисления – иероглифической (т.е. рисуночный) (рис.1).

Рис.1

По своему типу эта система, как и две другие, была десятичной и притом непозиционной, поскольку, например, в записи ∩∩∩ значение каждого знака не зависело от его места, позиции. В основании подобных систем счисления лежит аддитивный принцип – когда при записи натурального числа несколькими основными знаками (цифрами), стоящими рядом, подразумевается сложение этих знаков.

Интересно, что знак для единицы, как и во всех древнейших системах, произошел от вида зарубки на кости, камне или дереве, с помощью которой первобытный человек фиксировал результат счета, или от вида мерной палки. Знаки для 10, 100, 1000, 10000 при письме представляли собой иероглифы, обозначавшие соответственно путы для стреноживания коров, мерную веревку, цветок лотоса, указательный палец.

Знаков действий и знака равенства не было, вместо этого указывали словесно, какое действие производится.

Как выполнялись действия над натуральными числами? Сложение и вычитание, по-видимому, - с помощью перекладывания камешков; на папирусе фиксировался лишь полученный результат. Своеобразно, с помощью последовательного удвоения производилось умножение.

Пример 1. 12 умножить на 12.

В папирусе мы находим только следующие записи:

2 24

1 4 48

Очевидно, здесь имелись в виду такие вычисления:

При этом числа 24, 48 и 96 получались с помощью удвоения предыдущих чисел из того же столбца.

Иногда для ускорения умножения применялось, кроме удвоения, еще и удесятирение (и даже упятирение).

Деление понималось и производилось, как действие, обратное умножению.

Пример 2. 1120 разделить на 80.

В папирусе имеются следующие записи:

1 80 I 10 800 2 160 I 4 320 Всего 1120..

Действительным результатом здесь является не 1120 = 800 + 320, а 10 + 4=14. Имеются в виду такие вычисления:

В тех случаях, когда деление “не выходило”, приходилось прибегать к дробям. Египтяне знали только так называемые “основные” дроби (доли единицы), т.е. дроби с числителем, равным 1. Для таких дробей имелось универсальное обозначение: знак части под которым писали знаменатель дроби. Например, записывалась как∩ II и называлась “двенадцатой частью”. Кроме того,имели свой собственный знакII .

На практике должны были часто встречаться неосновные дроби: и др. У египтян существовали специальные таблицы представления неосновных дробей в виде суммы основных, например:

Кроме того, имелись таблицы представления суммы двух равных основных дробей в виде суммы различных основных дробей, например:

С помощью этих таблиц производилось сложение и вычитание дробей, что касается умножения и деления, то в текстах встречаются лишь их простейшие случаи.

Какие арифметические задачи решались в Египте? Это были несложные задачи практического характера: на подсчет количества зерна, необходимого для приготовления данного количества хлеба или пива, на подсчет количества корма для животных, на перевод мер площади или объема в другие единицы и т.д. при решении широко использовалась пропорциональная зависимость между величинами.

Геометрия. Вычисление площадей и объемов, составление планов строений в Египте производили царские писцы. Построениями на местности занимались специальные землемеры. основным инструментом землемера была мерная веревка – веревка, на которой были завязаны узелки на расстоянии друг от друга, равном единице длины. С помощью этой веревки измеряли расстояния, проводили прямые, описывали окружности и даже строили прямые углы на местности. Построение прямого угла было основано на том факте, что треугольник со сторонами длины 3, 4 и 5 является прямоугольным. Этот треугольник в истории получил название египетского. Что касается теоремы Пифагора, то она, по-видимому, египтянам была неизвестна.

Египтяне знали верные правила вычисления площадей прямоугольников, треугольников и трапеций. Площадь выпуклого четырехугольника с последовательными сторонами вычислялась по неверной формулеS=∙.

Площадь круга приравнивалась площади квадрата со стороной, составляющей диаметра:. Интересно вывести отсюда, каким приближенным значением числа

Это хорошее приближение для .

Египтяне правильно вычисляли объемы прямого параллелепипеда, прямой, призмы, цилиндра.

Вероятно, большинство правил вычисления площадей и объемов было получено опытным путем. Исключением является верная формула объема правильной четырехугольной усеченной пирамиды

( - стороны оснований,высота пирамиды), которую можно было получить только с помощью логических рассуждений. Не ясно, как она была выведена.

Алгебра. В древнем Египте владели в неявной форме понятиями уравнения и неизвестного и умели решать задачи на уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени с одним неизвестным. Неизвестное называлось “аха” – куча, груда (в смысле – количество, множество), а задачи на уравнения первой степени назывались задачами “аха”.

Пример 3. Количество и его четвертая часть дают вместе 15’’ .

Задача сводится к решению уравнения

Решается она так. Предположим, что количество равно 4. тогда его четвертая часть равна 1, а количество вместе с четвертой частью (а не 15). Но так как 15 больше 5 в 3 раза, то и количество больше 4 в 3 раза, т.е. равно

Примененный здесь способ решения в средние века получил название метода ложного положения. При решении использовалась пропорциональная зависимость.

Обращает на себя внимание, что задачи “аха” не были конкретными практическими задачами, они являлись уже элементом отвлеченного математического мышления.

В папирусах можно также найти немногочисленные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.

В целом уровень египетской математики был довольно низким. математика в древнем Египте еще не была настоящей наукой, а скорее собранием правил и формул, полученных, в основном, опытным путем. Доказательств в явной форме нет. обучение математике было догматическим; при решении задач просто следовали имеющимся образцам. Тем не менее египетская математика оказала значительное влияние на математические знания соседних народов, особенно Греции. Греки считали, что геометрия впервые появилась в Египте.

studfiles.net

Математика в Древнем Египте

Благодаря тому, что ученым-археологам, проводящим раскопки на территории Древнего Египта, удалось обнаружить в хорошей сохранности два очень важных для науки документа — папирус Ринда, названный по имени человека, его нашедшего, и московский папирус, получившей свое название по месту своего нынешнего нахождения, — мы сейчас обладаем определенной (пусть небольшой, но вполне емкой) информацией о том, что представляла собой древнеегипетская математика.

Древние Египтяне широко использовали математику в различных областях жизни

В обоих папирусах, датированных приблизительно 2000 г. до н.э., содержатся задачи (в папирусе Ринда — 84, в математическом — 25), для решения которых необходимо, используя сложение, вычитание, деление, которое, исходя из полученных сведений, представляло особенную сложность для древних египтян, и умножение, вычислять объем пирамиды с квадратным основанием, цилиндра, параллелепипеда, подсчитывать площади круга, треугольника, прямоугольника, трапеции, а также полуцилиндра, решать уравнения с неизвестными и т.д. Все это предполагает, что древние египтяне владели десятичной иероглифической системой счисления, благодаря которой могли беспрепятственно производить различные операции, связанные с целыми числами и дробями. Надо заметить, что все задачи древних сборников имеют не отвлеченный, а исключительно практический характер, связанный со строительством, землемерием и т.д., и не содержат объяснений или доказательств того, каким именно образом был получен тот или иной результат задачи.

Математические знания, сделавшие египтян — ни много ни мало — учителями великих древнегреческих математиков, широко применялись в различных жизненных областях: с их помощью строились военные укрепления, плотины, каналы, различные здания, размежевывались земли, было возможно развитие мореплавания и астрономии и т.д. Потребность в счете у древних египтян была настолько велика, что ими, в отличие от многих других древних народов, помимо простейших черточек для чисел до десяти, были придуманы семь специальных иероглифов для обозначения цифр: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000.

Древними египтянами была разработана особенная система, включающая в себя меры длины (локоть (приблизительно 0,52 м), ладонь (около 0,07 м), палец (около 0,01 м), прут (чуть больше 52 м), речная мера (около 10,5 м)), массы (дебен (приблизительно 91 г), кедет (9,1 г), печать (около 7,6 г)), площади (сечат (около 2735 кв.м.), локоть (приблизительно 27,35 кв.м.), ха-та (около 27350 кв.м.)) и объема (хекат (около 454 л), хар (приблизительно 1816 л), хену (около 5 л)).

Для записи дробей (основных, т.е. полученных делением единицы на целое число, а также 2/3 и 3/4) древними египтянами были придуманы специальные обозначения, остальные же, не мудрствуя лукаво, раскладывались на сумму основных дробей и заносились в громоздкие вспомогательные математические таблицы, которыми в дальнейшем можно было бы воспользоваться. Древнеегипетское умножение заключалось в сочетании удвоений и сложений, а деление — как процесс, обратный умножению — в подборе делителя.

В Древнем Египте сложение и вычитание обозначались одним и тем же значком, за исключением небольшого нюанса: если ножки на иероглифе «шли» в том же направлении, в каком записывался пример, то в этом случае, речь шла о сложении, если же в противоположном — о вычитании.

sitekid.ru

Математика Древнего Египта. | homsk

Зарождение математических знаний у древних египтян связано с развитием хозяйственных потребностей. Без математических навыков древнеегипетские писцы не могли бы обеспечивать проведение землемерных работ, рассчитывать количество рабочих и их содержание или производить раскладку налоговых отчислений. Так что появление математики можно приурочить к эпохе возникновения самых ранних государственных образований на территории Египта.

Египетские числовые обозначения

Десятичная система счета в Древнем Египте сложилась на основе использования для подсчета предметов количества пальцев на обеих руках. Числа от одного до девяти обозначались соответствующим количеством черточек, для десятков, сотен, тысяч и так далее существовали особые иероглифические знаки.

Вероятнее всего, цифровые египетские символы возникли как результат созвучия того или иного числительного и названия какого-либо предмета, ведь в эпоху становления письменности знаки-пиктограммы имели строго предметное значение. Так, например, сотни обозначались иероглифом, изображающим веревку, десятки тысяч – изображением пальца.

В эпоху Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) появляется более упрощенная, удобная для письма на папирусе иератическая форма письменности, соответствующим образом меняется и написание цифровых знаков. Знаменитые математические папирусы написаны иератическим письмом. Иероглифика применялась в основном для настенных надписей.

Система древнеегипетской нумерации не менялась на протяжении тысяч лет. Позиционного способа записи чисел древние египтяне не знали, поскольку не подошли еще к понятию нуля не только как самостоятельной величины, но и просто как отсутствия количества в определенном разряде (этой начальной ступени достигла математика в Вавилоне).

Дроби в математике Древнего Египта

Египтяне имели понятие о дробях и умели производить некоторые операции с дробными числами. Египетские дроби представляют собой числа вида 1/n (так называемые аликвотные дроби), поскольку дробь представлялась египтянами как одна часть чего-либо. Исключением являются дроби 2/3 и 3/4. Неотъемлемым элементом записи дробного числа был иероглиф, переводимый обычно как «один из (некоторого количества)». Для наиболее употребительных дробей существовали особые знаки.

Дробь, числитель которой отличен от единицы, египетский писец понимал буквально, как несколько частей какого-либо числа, и буквально же записывал. Например, дважды подряд 1/5, если требовалось изобразить число 2/5. Так что египетская система дробей была весьма громоздка.

Интересно, что один из священных символов египтян – так называемое «око Хора» – также имеет математический смысл. Один из вариантов мифа о схватке между божеством ярости и разрушения Сетом и его племянником солнечным богом Хором гласит, что Сет выбил Хору левый глаз и разорвал или растоптал его. Боги восстановили глаз, но не полностью. Око Хора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона.

Изображение ока, почитавшегося как амулет, содержит элементы, обозначающие особый ряд чисел. Это дроби, каждая из которых вдвое меньше предыдущей: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Символ божественного глаза, таким образом, представляет их сумму – 63/64. Некоторые историки-математики полагают, что в этом символе отражено понятие египтян о геометрической прогрессии. Составные части изображения ока Хора использовались в практических расчетах, например при измерении объема сыпучих веществ, таких как зерно.

Принципы арифметических действий

Метод, которым пользовались египтяне при выполнении простейших арифметических операций, состоял в подсчете итогового количества символов, обозначающих разряды чисел. Единицы складывались с единицами, десятки с десятками и так далее, после чего производилась окончательная запись результата. Если при суммировании получалось более десяти знаков в каком-либо разряде, «лишний» десяток переходил в высший разряд и записывался соответствующим иероглифом. Вычитание производилось таким же способом.

Без применения таблицы умножения, которой египтяне не знали, процесс вычисления произведения двух чисел, особенно многозначных, был чрезвычайно громоздким. Как правило, египтяне пользовались методом последовательного удвоения. Один из множителей раскладывался на сумму чисел, которые мы сегодня назвали бы степенями двух. Для египтянина это означало количество последовательных удвоений второго множителя и итоговое суммирование результатов. Например, умножая 53 на 46, египетский писец разложил бы 46 на сумму 32 + 8 + 4 + 2 и составил бы табличку, которую вы можете видеть ниже.

Суммируя результаты в отмеченных строках, он получил бы 2438 – столько же, сколько и мы сегодня, но иным способом. Интересно, что такой двоичный метод умножения применяется в наше время в вычислительной технике.

Иногда, помимо удвоения, число могли умножать на десять (поскольку использовалась десятичная система) или на пять, как на половину десятки. Вот еще один пример на умножение с записью египетскими символами (косой черточкой помечались складываемые результаты).

Операция деления производилась также по принципу удвоения делителя. Искомое число при умножении на делитель должно было дать указанное в условии задачи делимое.

Математические знания и навыки египтян

Известно, что египтяне знали возведение в степень, а также применяли обратную операцию – извлечение квадратного корня. Кроме того, они имели представление о прогрессии и решали задачи, сводящиеся к уравнениям. Правда, уравнения как таковые не составлялись, так как еще не сложилось понимание того, что математические отношения между величинами носят универсальный характер. Задачи группировались по тематике: размежевание земель, распределение продуктов и так далее.

В условиях задач присутствует неизвестная величина, которую требуется найти. Она обозначается иероглифом «множество», «куча» и является аналогом величины «икс» в современной алгебре. Условия часто излагаются в форме, которая, казалось бы, просто требует составления и решения простейшего алгебраического уравнения, например: «куча» складывается с 1/4, также содержащей «кучу», и получается 15. Но египтянин не решал уравнение x + x/4 = 15, а подбирал искомую величину, которая удовлетворяла бы условиям.

Значительных успехов математика Древнего Египта достигла в решении геометрических задач, связанных с потребностями строительства и землемерных работ. О круге задач, которые стояли перед писцами, и о способах их решения мы знаем благодаря тому, что сохранилось несколько письменных памятников на папирусе, содержащих примеры вычислений.

Древнеегипетский задачник

Один из наиболее полных источников по истории математики в Египте – так называемый математический папирус Ринда (по имени первого владельца). Он хранится в Британском музее в виде двух частей. Небольшие фрагменты также есть в музее Нью-Йоркского исторического общества. Его также называют папирусом Ахмеса – по имени писца, переписавшего этот документ около 1650 года до н. э.

Папирус представляет собой сборник задач с решениями. Всего он содержит более 80 математических примеров по арифметике и геометрии. Например, задача на равное распределение между 10 работниками 9 хлебов решалась так: 7 хлебов делятся на 3 части каждый, и работникам выдается по 2/3 хлеба, при этом в остатке имеем 1/3. Два хлеба делятся на 5 частей каждый, выдается по 1/5 на человека. Оставшуюся треть хлеба делят на 10 частей.

Есть задача и на неравное распределение 10 мер зерна между 10 людьми. В результате образуется арифметическая прогрессия с разностью 1/8 меры.

Задача на геометрическую прогрессию носит шуточный характер: в 7 домах живет по 7 кошек, каждая из которых съела по 7 мышей. Каждая мышь съела 7 колосков, каждый колос приносит 7 мер хлеба. Нужно вычислить общее количество домов, кошек, мышей, колосьев и хлебных мер. Оно составляет 19607.

Геометрические задачи

Немалый интерес представляют математические примеры, демонстрирующие уровень знаний египтян в области геометрии. Это нахождение объема куба, площади трапеции, вычисление наклона пирамиды. Наклон выражался не в градусах, а рассчитывался как отношение половины основания пирамиды к ее высоте. Эта величина, аналогичная современному котангенсу, называлась «секед». Основными единицами длины служили локоть, составлявший 45 см («царский локоть» – 52,5 см) и хет – 100 локтей, основная единица площади – сешат, равный 100 квадратным локтям (около 0,28 Га).

Египтяне успешно справлялись с вычислением площадей треугольников, применяя способ, аналогичный современному. Вот задача из папируса Ринда: чему равна площадь треугольника, имеющего высоту 10 хет (1000 локтей) и основание 4 хета? В качестве решения предлагается десять умножить на половину от четырех. Мы видим, что метод решения абсолютно верный, подается в конкретном численном виде, а не в формализованном – умножить высоту на половину основания.

Весьма интересна задача на вычисление площади круга. Согласно приведенному решению, она равна величине 8/9 диаметра, возведенной в квадрат. Если теперь из полученной площади вычислить число «пи» (как отношение учетверенной площади к квадрату диаметра), то оно составит около 3,16, то есть довольно близко к истинной величине «пи». Таким образом, египетский способ решения площади круга был достаточно точным.

Московский папирус

Еще один важный источник наших знаний об уровне математики у древних египтян – Московский математический папирус (он же папирус Голенищева), хранящийся в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Это тоже задачник с решениями. Он не так обширен, содержит 25 задач, но имеет более древний возраст – примерно на 200 лет старше папируса Ринда. Большинство примеров в папирусе – геометрические, в том числе задача на вычисление площади корзины (то есть криволинейной поверхности).

В одной из задач приведен способ нахождения объема усеченной пирамиды, совершенно аналогичный современной формуле. Но поскольку все решения в египетских задачниках имеют «рецептурный» характер и приводятся без промежуточных логических этапов, без всякого объяснения, остается неизвестным, каким образом египтяне нашли эту формулу.

Астрономия, математика и календарь

Древнеегипетская математика связана и с календарными вычислениями, основанными на повторяемости некоторых астрономических явлений. Прежде всего, это предсказание ежегодного подъема Нила. Египетские жрецы заметили, что начало разлива реки на широте Мемфиса обычно совпадает с днем, когда на юге перед восходом Солнца становится виден Сириус (большую часть года эта звезда на данной широте не наблюдается).

Первоначально простейший сельскохозяйственный календарь не был привязан к астрономическим событиям и основывался на простом наблюдении сезонных изменений. Затем он получил точную привязку к восходу Сириуса, а вместе с ней появилась возможность уточнения и дальнейшего усложнения. Без математических навыков жрецы не могли бы уточнять календарь (впрочем, окончательно устранить недостатки календаря египтянам так и не удалось).

Не менее важным было умение выбрать благоприятные моменты для проведения тех или иных религиозных празднеств, также приуроченных к различным астрономическим феноменам. Так что развитие математики и астрономии в Древнем Египте, безусловно, связано с ведением календарных расчетов.

Кроме того, математические знания требуются для хронометрии при наблюдении звездного неба. Известно, что такими наблюдениями занималась особая группа жрецов – «распорядители часов».

Неотъемлемая часть ранней истории науки

При рассмотрении особенностей и уровня развития математики в Древнем Египте видна существенная незрелость, так и не преодоленная за три тысячи лет существования древнеегипетской цивилизации. До нас не дошли сколько-нибудь информативные источники эпохи становления математики, и мы не знаем, как оно происходило. Но ясно, что после некоторого развития уровень знаний и навыков застыл в «рецептурной», предметной форме без признаков прогресса на многие сотни лет.

По-видимому, устойчивый и однообразный круг вопросов, решаемых при помощи уже сложившихся методов, не создавал «спроса» на новые идеи в математике, которая и так справлялась с решением задач строительства, сельского хозяйства, налогообложения и распределения, примитивной торговли и обслуживания календаря и ранней астрономии. Кроме того, архаическое мышление не требует формирования строгой логической, доказательной базы – оно следует рецептуре как ритуалу, и это также сказалось на застойном характере древнеегипетской математики.

Вместе с тем необходимо заметить, что научное знание вообще и математика в частности делали еще первые шаги, а они всегда самые трудные. В примерах, которые демонстрируют нам папирусы с задачами, уже видны начальные ступени обобщения знаний – пока без попыток формализации. Можно сказать, что математика Древнего Египта в том виде, как мы ее знаем (из-за недостаточности источниковой базы по позднему периоду древнеегипетской истории) – это еще не наука в современном понимании, но самое начало пути к ней.

homsk.com

Математика в Древнем Египте

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Содержание

1 Источники
2 Нумерация (запись чисел)
3 Арифметика
- 3.1 Знаки сложения и вычитания
- 3.2 Сложение
- 3.3 Умножение
- 3.4 Разложение
- 3.5 Уравнения
4 Геометрия
- 4.1 Вычисление площадей
- 4.2 Вычисление объёмов
- 4.3 Египетский треугольник
5 См. также
6 Примечания
7 Литература
8 Ссылки

Источники

Часть папируса Ахмеса. Задачи с 49 по 55.

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.
Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нумерация (запись чисел)

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь). Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему. В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Иероглифы для изображения чисел 1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000

Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида и . Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Примеры изображения часто встречающихся дробей

Пример записи дробей из Папируса Ринда

5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (= 5 5⁄7)

Арифметика

Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».

Сложение

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Преобразуем:

Окончательный результат выглядит вот так:

Умножение

Основная статья: Умножение в Древнем Египте

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель (см. пример).

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

Разложение

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 22 x 2 = 44 x 2 = 88 x 2 = 1616 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

Кратный множитель для числа «25» — это 16.
25 — 16 = 9,
Кратный множитель для числа «9» — это 8,
9 — 8 = 1,
Кратный множитель для числа «1» — это 1,
1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

✔	1 х 238	= 238
✔	4 х 238	= 952
✔	8 х 238	= 1904

	13 х 238	= 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

Уравнения

Иероглифическая запись уравнения

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

Геометрия

Вычисление площадей

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: Это правило соответствует приближению ≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %)..

Некоторые исследователи на основании 10-й задачи Московского математического папируса считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако большинство учёных с этим не согласны.

Вычисление объёмов

Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха

Египтяне могли высчитывать объёмы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Для вычисление объёма усечённой пирамиды египтяне пользовались следующим правилом: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по следующей (правильной) формуле:

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять также объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.

Египетский треугольник

Основная статья: Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.

Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона).

См. также

Геометрия в Древнем Египте
Папирус Ахмеса (Ринда)
Московский математический папирус
Египетская система счисления

Примечания

↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
↑ «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
↑ История математики, том I, 1970, с. 21—33.
↑ История математики, том I, 1970, с. 24.
↑ Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
↑ Cajori Florian. A History of Mathematical Notations. — Dover Publications, 1993. — P. pp. 229–230. — ISBN 0486677664.
↑ История математики, том I, 1970, с. 30—32.
↑ W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. — Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. — Berlin: Springer, 1930. — С. 157.
↑ История математики, том I, 1970, с. 31—32.
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45
↑ Прасолов В. В. Глава 1. Древний Египет и Вавилон // История математики. — (не публиковалась), 2013. — С. 5.
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание
↑ История математики, том I, 1970, с. 31.

Литература

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград, 1937.
Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.

Ссылки

Математика // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

История математики Страны и эпохи Тематическиеразделы См. также

Древний Египет • Вавилон • Древний Китай • Древняя Греция • Индия • Армения • Империя инков • Страны ислама • Россия

Алгебра • Аналитическая геометрия • Арифметика • Геометрия • Дифференциальная геометрия и топология • Комбинаторика • Криптография • Линейная алгебра • Логарифмы • Математический анализ • Неевклидова геометрия • Теория вероятностей • Теория множеств • Топология • Тригонометрия • Функциональный анализ

Бесконечно малые • Вещественные числа • Иррациональные числа • Комплексные числа • Математические обозначения • Непрерывные дроби • Отрицательные числа • Функции

Математика в Древнем Египте Информация о

Математика в Древнем ЕгиптеМатематика в Древнем Египте

Математика в Древнем Египте Информация Видео

Математика в Древнем Египте Просмотр темы.

Математика в Древнем Египте что, Математика в Древнем Египте кто, Математика в Древнем Египте объяснение

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Математика древнего Египта - MicroArticles

Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия, или Междуречье. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь. Ведь невозможно без расчётов построить здание, будь то величественный дворец или простой склад для зерна. И как поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами, найти правильный путь в пустыне или в море, если вы не знакомы с правилами счёта? Несколько тысячелетий культура Египта развивалась без каких бы то ни было внешних влияний, и именно этим объясняется её самобытность. Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Вот как писал об этом в V в. до н. э. знаменитый греческий историк Геродот: «Они [египетские жрецы] говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу».

Первые ученики

Общественное устройство древнего Египта не менялось в течение долгого времени. К тому же источников, по которым можно судить об уровне математических знаний древних египтян, совсем немного. Назовём самые известные из них. Во-первых, это папирус Райнда, названный так по имени своего первого владельца. Он был найден в 1858 г., расшифрован и издан в 1870 г. Рукопись представляла собой узкую (33 см) и длинную (5,25 м) полосу папируса, содержащую 84 задачи. Теперь одна часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а другая находится в Нью-Йорке. Во-вторых, так называемый Московский папирус - его в декабре 1888 г. приобрёл в Луксоре русский египтолог Владимир Семёнович Голенищев. Сейчас папирус принадлежит государственному музею изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Этот свиток длиной 5,44 м и шириной 8 см включает 25 задач. И наконец, «Кожаный свиток египетской математики», с большим трудом распрямлённый в 1927 г. и во многом проливший свет на арифметические знания египтян. Ныне он хранится в Британском музее. Эти рукописи относятся к эпохе Среднего царства (ХХ-ХУП вв. до н. Э.). Московский папирус был переписан неким учеником между 1800 и 1600 гг. до н. э. С более древнего текста, примерно 1900 г. до н. э. А папирус Райнда переписал писец Ахмес около 1650 г. до Н. Э. Автор оригинала неизвестен, установлено лишь, что текст создавался во второй половине XIX в. до н. Э. «Кожаный свиток» датируется XIX-XVIII вв. до н. э.

Подобные папирусы, по-видимому, служили своего рода учебниками. Как сказано в рукописи Ахмеса, она посвящена «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Так высоко ценились в те далёкие времена математические знания! В папирусах есть задачи на вычисление -образцы выполнения арифметических операций, задачи на раздел имущества, на нахождение объёма амбара или корзины, площади поля и т. д. для кого же предназначались такие учебники? Папирус Райнда заканчивается такими словами: «Лови гадов, мышей; выпалывай сорные травы засвежо; получай обильную пряжу. Проси у бога Ра тепла, ветра и высокой воды». Поэтому некоторые исследователи решили, что свиток адресован земледельцам. Однако многие из содержащихся в нём задач вовсе ненужны крестьянину. В стране фараонов была особая группа людей, которой требовались подобные знания, - это писцы. Писец - должность ответственная и весьма привилегированная. Он обязан был обладать самыми разнообразными математическими навыками, чтобы без труда разрешить любую задачу.

Методы вычислений

Все правила счёта древних египтян основывались на умении складывать и вычитать, удваивать числа и дополнять дроби до единицы. Умножение и деление сводили к сложению при помощи особой операции - многократного удвоения или раздвоения чисел. Выглядели такие расчёты довольно громоздко, для дробей были специальные обозначения. Египтяне использовали дроби вида 1/п, где п натуральное число. Такие дроби называются аликвотными. Единственная неаликвотная дробь, которую «признавали» египетские математики, - это 2/3. Иногда вместо деления т : п производили умножение т- 1/п. Для этого применяли специальные таблицы. Надо сказать, что действия с дробями составляли особенность египетской арифметики, в которой самые простые вычисления порой превращались в сложные задачи.

Писец за подсчетом количества зерна. Египетская статуэтка.

Около 2040-1785 гг. до н. э.

Сравнительно небольшой круг задач в египетских папирусах сводится к решению простейших уравнений с одним неизвестным, например 33-я задача из папируса

Райнда: «Некое количество, его 2/3, его 1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 37.

Каково это количество?». Ответ 16 2/97 записан в аликвотных дробях: 16+1/56+1/679+1/776.

При решении подобных задач для неизвестного использовали специальный иероглиф со значением «куча». В задачах про «кучу», решаемых единым методом, можно усмотреть зачатки алгебры как науки об уравнениях.

В египетских папирусах встречаются также задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, что ещё раз подчёркивает не только практический, но и теоретический характер древней математики.

Геометрия страны пирамид

Поразительно, но при довольно примитивной и громоздкой арифметике египтяне смогли добиться значительных успехов в геометрии. Они умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной и трапециевидной формы.

Известно, что в середине 1 тысячелетия до н. э. для построения прямого угла египтяне использовали верёвку, разделённую узлами на 12 равных частей. Концы верёвки связывали и затем натягивали её на три колышка. Если стороны относились как 3: 4: 5, то получался прямоугольный треугольник И это - единственный прямоугольный треугольник, который знали в Древнем Египте. В папирусах нет задач, как-либо связанных с теоремой Пифагора, хотя до расшифровки математических текстов существовало мнение, что древние египтяне были с ней знакомы.

Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа П, которое получается из формулы для площади круга диаметраd:

Этому правилу из 50-й задачи папируса Райнда соответствует значение

Однако каким образомегиптяне получили саму формулу, из контекста неясно. В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины «с отверстием 41/2'>. Исследователи толкуют её по-разному, поскольку в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа тс берётся то же самое приближённое значение 4(8/9)2. Заметим, что на всём древнем Востоке при вычислениях использовал ось значение тс = 3. Даже в Библии есть указание на него. Так что в этом отношении египтяне намного опередили другие народы. Среди пространственных тел самым «египетскими можно считать пирамиду, ведь именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов. Так вот, оказывается, кроме объёмов куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объём усечённой пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами а и Ь, а высота равна h. Они применяли формулу

Эта формула считается высшимдостижением древнеегипетской математики. Подведем итог. Математика в Древнем Египте представляла собой совокупность знаний, между которыми ещё не существовало четких границ. Это были правила для решения конкретных задач, имевших практическое значение. И лишь постепенно, очень и очень медленно, задачи начали обобщаться и приобретать более абстрактные черты.

О формуле площади четырехугольника

В папирусе Райнда приводится такое правило для вычисления площади произвольного четырёхугольника: полусумму длин двух противоположных сторон четырёхугольника умножить на полусумму длин двух других сторон. Разумеется, оно пояснялось на примере, а не с помощью формулы

Но это правило неверно! даже для параллелограммаоно не дает истинного значения площади. Ведь если изготовить шарнирный прямоугольник, а затем сжать его так, чтобы он превратился в параллелограмм, то длины сторон не изменятся, а площадь уменьшится. Вообще, для любого четырёхугольника со сторонами а, Ь, с, d имеет место неравенство

В равенство оно превращается только для прямоугольника. Иначе говоря, египетское правило справедливо (и то не точно, а лишь приближённо), когда четырёхугольник мало отличается от прямоугольника. По-видимому, именно такую форму имело большинство земельных участков египтян, и для них ошибка, заключённая в этом правиле, была незначительна.

Как могло появиться первое приближение числа jr

Чтобы понять, каким образом древние учёные получили тот или иной результат, нужно постараться представить себя на их месте, т. е. попытаться решить поставленную задачу, используя только знания и приёмы вычислений того времени. Именно так поступают исследователи старинных текстов, Однако решения, которые им удаётся найти, вовсе не обязательно «те самые». Очень часто для одной задачи предлагается несколько возможных вариантов решения реконструкций. Каждый вправе отдать предпочтение одному из способов, но никто не может утверждать, что именно им и пользовались в древности.

По поводу формулы площади круга кажется весьма правдоподобной гипотеза автора многочисленных книг по истории математики А. Е. Раик: площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного вокруг него квадрата, из которого по очереди удаляются малые квадраты со сторонами

В наших обозначениях вычисления будут выглядеть так. В первом приближении площадь круга S равна разности между площадью квадрата со стороной d и суммарнойплощадью четырех малых квадратов А со стороной:

Далее из полученной площади нужно вычесть площадь восьми квадратов В со стороной и тогда площадь круга будет приближенно равна следующему выражению: пользу изложенной здесь гипотезы свидетельствуют аналогичные вычисления в одной из задач Московского папируса, где предлагается сосчитать:

Междуречье

В Вавилонском царстве всеми расчетами занимались писцы, которые принадлежали к высшему сословию. Нередко сыновья правителей избирали эту профессию. Школа, где обучались писцы, называлась «дом табличек». Для таких школ предназначались специальные математические таблички. Тексты на них можно разделить на два класса: таблицы и задачники. Широкое применение различных таблиц - характерная особенность вавилонской математики. Кроме таблиц умножения были таблицы квадратов натуральных чисел, кубов, квадратных корней ней (в шестидесятеричных дробях) и даже таблицы чисел вида n3 +n2

Чтобы разделить число т на число п, вавилоняне всегда брали число п'= \/п, обратное делителю, и умножали m на n', поэтому было много таблиц обратных величин. Такой подход к делению сохранился и в современной математике, например в алгебре матриц. Что касается текстов-задачников, самым удивительным оказалось то, что большинство задач сводится к решению квадратных уравнений. Это поразительное открытие позволило отнести рождение алгебры не к V в. до н. Э., как полагали прежде, а к XVIII в. до н. Э., т. е. на 13 веков назад.

Как вавилоняне решали квадратные уравнения

На одной из клинописных табличек записана такая задача: «Множимое И множитель 2; 30». Речь в ней идёт о двух взаимно обратных величинах и у (ху=1), сумма которых равна 2; 30, т. е. 2+ 30/60 = 2,5. Таким образом, ученику для решения предлагается система, которую в современной символике можно записать как где а = 2,5, Ь = 1. Далее в тексте таблички указывается, какие операции нужно проделать, чтобы получить ответ. Ниже приведено решение вавилонского вычислителя. Оно сопровождается двойным переводом записью данных и операций в десятичной позиционной системе и записью в современных буквенных обозначениях. Очевидно, дается рецепт для решения квадратного уравнения к которому сводится система. Никаких пояснений в тексте нет, а то, что этот алгоритм носит общий характер, иллюстрируется большим числом однотипных задач z2- az + b = 0

Как возникла шестидесятеричная система счисления

Шестидесятеричная система счисления, по-видимому, сложилась при торговых сделках между двумя древними народами Месопотамии - шумерами и аккадиами. У шумеров «денежной единице служила мина - кучка серебра. Это была крупная сумма, и при продаже недорогих товаров её обычно делили пополам, а каждую половину -ещё на три части, так что шестая часть мины широко использовалась при расчётах. У аккадиев в ходу была своя монета - шеккель. При сделках между шумерами и аккадиами шестая часть мины приравнивалась к 10 шеккелям, т. е. мина составляла 60 шеккелей.

В результате появились знаки для чисел 1,10, 60, 600, 3600. Это произошло около 5 тыс. лет назад. Знаки выдавливались тупым концом палочки для письма на глиняных табличках. Позднее они превратились в клинья и уголки.

Два писца переписывают дань из захваченного селения. Рельеф дворца Синакериба в Ниневии. 7век до н. э.

Какие задачи решали вавилоняне

Среди вычислительных задач на клинописных табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии, представления о которых у вавилонян были более развиты, чем у египтян. Методы решения в основном опирались на идеи пропорциональной зависимости и среднего арифметического. Вавилонские писцы знали правило суммирования п членов арифметической прогрессии:

В клинописных текстах содержатся первые задачи на проценты - ведь Вавилон стоял на пересечении торговых путей, и здесь рано появились денежные знаки и кредит. Было у вавилонян и правило для приближённого вычисления квадратных корней. Большое число задач сводится к уравнениям или системам уравнений первой и второй степеней. Их записывали без символов, в своей особой терминологии. Разговорным языком вавилонян был аккадский, но в науке в качестве терминов они употребляли шумерские слова. Каждое из таких слов изображалось одним знаком и потому выделялось в общем тексте на фоне более позднего по происхождению слогового письма. Искусство решения уравнений достигло высокого уровня в XVIII в. до н. Э., В эпоху царя Хаммурапи. Обычно в задачах требовалось найти «длину» и «ширину» или «множимое» и «множитель», для которых были сформулированы различные условия. Произведение длины и ширины именовалось «площадью». В задачах, сводящихся к кубическим уравнениям, появлялось третье неизвестное «глубина», и произведение всех трёх величин называлось «объёмом».

Хотя терминология указывает на геометрическое происхождение задач, для вавилонян это были, прежде всего, просто числа, вот почему они свободно складывали длину с площадью и т. п. В древнегреческой математике (и ещё долгое время после) этого делать было нельзя. Существовал и другой тип задач, также требовавший развития алгебраических методов, неопределённые уравнения (так называются уравнения, в которых две или более неизвестные величины). Вот самый древний и знаменитый пример неопределённого уравнения:

Во многих клинописных текстах речь идёт о решении этого уравнения в рациональных числах (х, у, z) - позднее их стали называть «пифагоровыми тройками». Не совсем ясно, знали вавилоняне общие формулы его решения или нет, однако многие такие тройки им были известны, например (3, 4, 5), (5,12,13), (8, 15,17) и др. Сохранил ась даже таблица рациональных «пифагоровых троек», но каким образом она была получена, определённо сказать нельзя. Древние вавилоняне рассматривали ещё одно неопределённое уравнение: и2+ v2 = 2w

Его рациональные решения (и, v, w) образуют так называемые «вавилонские тройки». Это уравнение также имеет геометрическую природу. Оно возникло при решении задачи, часто встречающейся в вавилонских текстах: рассечь данную трапецию на две равновеликие части прямой, параллельной основанию (рис. 1). Если обозначить нижнее основание буквой v, верхнее - и, а разделяющую прямую - w, то нетрудно видеть, что для них и будет справедливо уравнение и2 + v2 _ 2w2 Вавилоняне умели находить бесконечно много решений этого уравнения. Они также знали, что решения этих уравнений связаны между собой: если (х, у, z) корни первого уравнения, то u = х-у, v = x + y, w = z- корни второго уравнения. Таковы достижения древних вавилонян в алгебре. Их успехи в геометрии были скромнее и относились в первую очередь к измерению простейших фигур. Наряду с теми фигурами, которые встречались в геометрических задачах египтян, - кубом, параллелепипедом, призмой, цилиндром - вавилоняне изучали некоторые правильные многоугольники, сегмент круга, усечённый конус. Вероятно, было известно правило для вычисления объёма усечённой пирамиды. Длину окружности рассчитывали, утраивая диаметр, т. е. для П брали значение 3. С тем же значеним П определяли площадь круга. Одним из самых замечательных геометрических открытий было появление, и притом для общего случая, теоремы, которую впоследствии стали называть теоремой Пифагора. Впервые она встречается в клинописных текстах времён царя Хаммурапи. Открытия, сделанные математиками Междуречья, поражают своим размахом. Именно здесь появилась первая позиционная система счисления. Здесь впервые была разработана алгебра линейных и квадратных уравнений и рассмотрены первые неопределённые уравнения, возникшие из геометрических задач. Такая тесная связь геометрических задач с алгеброй и теорией чисел - одна из особенностей вавилонской математики. Древние греки начинали свои исследования с тех проблем, которые занимали вавилонян. Вавилонские традиции можно про следить в работах Герона и Диофанта, а ещё позднее у аль-Хорезми и других основателей алгебраической школы стран арабского Востока. Преобразование математики из совокупности отдельных расчётов и правил в стройную логическую систему, в которой эти приёмы и правила получили строгое обоснование, стало главным делом античных учёных.

www.microarticles.ru

Математика в Древнем Египте - Gpedia, Your Encyclopedia

Данная статья — часть обзора История математики.

Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э.

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно[1], что греческие математики учились у египтян[2].

Источники

Часть папируса Ахмеса.Задачи с 49 по 55.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень[4], решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

Нумерация (запись чисел)

Иероглифическая запись числа 35736

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

Особые значки обозначали дроби вида 1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}} и 23{\displaystyle {\frac {2}{3}}}. Однако общего понятия дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}} у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Пример записи дробей из Папируса Ринда[5]

5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (= 5 5⁄7)

Арифметика

Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

или

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».[6]

Сложение

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Преобразуем:

Окончательный результат выглядит вот так:

Умножение

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

Разложение

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 22 x 2 = 44 x 2 = 88 x 2 = 1616 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

Кратный множитель для числа «25» — это 16.
25 — 16 = 9,
Кратный множитель для числа «9» — это 8,
9 — 8 = 1,
Кратный множитель для числа «1» — это 1,
1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

✔	1 х 238	= 238
✔	4 х 238	= 952
✔	8 х 238	= 1904

	13 х 238	= 3094

Уравнения

Иероглифическая запись уравнения x(23+12+17+1)=37{\displaystyle x\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+1\right)=37}

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

Геометрия

Вычисление площадей

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как S=a+c2⋅b+d2{\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}}; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра: S=(d−d9)2=(89d)2.{\displaystyle S=\left(d-{\frac {d}{9}}\right)^{2}=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}.} Это правило соответствует приближению π≈4⋅(89)2{\displaystyle \pi \approx 4\cdot \left({\frac {8}{9}}\right)^{2}} ≈ 3,1605 (погрешность менее 1 %)[7]..

Некоторые исследователи[8] на основании 10-й задачи Московского математического папируса считали, что египтяне знали точную формулу для вычисления площади сферы, однако другие учёные с этим не согласны[9][10].

Вычисление объёмов

Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха

Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Плутарх в первом веке об этом треугольнике в сочинении «Об Исиде и Осирисе» писал: «видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников». Возможно, именно из-за этого этот треугольник получил название египетского[11]. Действительно, греческие учёные сообщали, что в Египте для построения прямого угла использовалась верёвка, разделённая на 12 частей.

Египетский треугольник активно применялся для построения прямых углов египетскими землемерами и архитекторами, например, при построении пирамид. Историк Ван дер Варден попытался поставить этот факт под сомнение, однако более поздние исследования его подтвердили[12]. В любом случае, нет никаких свидетельств, что в Древнем Египте была известна теорема Пифагора в общем случае (в отличие от Древнего Вавилона)[13].

См. также

Примечания

↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Указ. соч., стр. 125: «Фалес путешествовал в Египет и привёз геометрию в Элладу» (из комментария Прокла к Евклиду).
↑ «Согласно большинству мнений, геометрия была впервые открыта в Египте, и возникла при измерении площадей» // Proclus Diadochus. In primum Euclidis Elementorum commentarii. — Leipzig, 1873. — С. 64.
↑ История математики, том I, 1970, с. 21—33..
↑ История математики, том I, 1970, с. 24..
↑ Gardiner Alan H. Egyptian grammar: being an introduction to the study of hieroglyphs 3rd ed., rev. London: 1957, p. 197.
↑ Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. — Dover Publications, 1993. — P. pp. 229–230. — ISBN 0486677664.
↑ История математики, том I, 1970, с. 30—32..
↑ W. W. Struve. Mathematischer Papyrus des Museum in Moskau. — Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung A. — Berlin: Springer, 1930. — С. 157.
↑ История математики, том I, 1970, с. 31—32..
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, стр. 44-45
↑ Прасолов В. В. Глава 1. Древний Египет и Вавилон // История математики. — (не публиковалась), 2013. — С. 5.
↑ Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматлит, 1959, С. 13, подстрочное примечание
↑ История математики, том I, 1970, с. 31..

Литература

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция. Труды ИИЕ, 2, 1948, с. 426—498.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. — Москва-Ленинград, 1937.
Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1959. — № 12. — С. 271-320.
Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордовское гос. изд-во, 1977.
Gillings R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. Cambridge: MIT Press, 1972.
Rossi C. Architecture and mathematics in Ancient Egypt. Cambridge (UK): Cambridge UP, 2004.
Vogel K. Vorgriechische Mathematik I, Vorgeschichte und Ägypten. Hannover: Schrödel, 1958.

Ссылки

www.gpedia.com

Математика Древнего Египта. Математика древнего египта