Математика Древней Греции История VI в. Древняя греция математика
Древняя Греция Введение Понятие древнегреческая математика охватывает
Древняя Греция
Введение Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э. Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики". Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже - механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи. Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков.
Глава I. Школа пифагорейцев 1. 1 Развитие математики как теории Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571 -479 гг. до н. э. ). Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах. Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста. Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно.
1. 2 Поворотный пункт в истории античной математики Как ни велики заслуги пифагорейцев в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики, однако все они не могут сравниться со сделанным ими же открытием несоизмеримых величин. Это открытие явилось поворотным пунктом в истории античной математики. По поводу этого открытия Аристотель говорил, что Пифагор показал, что если бы диагональ квадрата была бы соизмерима с его стороной, то четное равнялось бы нечетному. Это замечание Аристотеля ясно показывает, что при доказательстве несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор использовал метод от противного.
Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э. Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п. ). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром» . Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: «Природа разговаривает с нами на языке математики» . В Древней Греции сложились все основные типы мировоззрений, действовали естественнонаучные школы. Ведущее место среди греческих натурфилосовских школ занимали: ионийская (VII-VI вв. до н. э. ) и пифагорейская (VI-V вв. до н. э. )
Основателем Пифагорейской школы являлся Пифагор Самосский, который, предположительно, был мистиком, учёным и государственным деятелем аристократического толка. Пифагор создал пифагорейский союз, который являлся своеобразным, полумистическим, полурелигиозным обществом. Пифагорейцы были путешественниками, при встречи они приветствовали друга "пифагорейской звездой", которую рисовали на земле прутиком. Пифагорейская звезда Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они приписывали числам особые сверхестественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью(содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей. "Все сущее есть число"- лозунг пифагорейцев. Предполагают, что от пифагорейцев ведет свое начало термин "математика". Пифагорейцы различали четыре матемы (с греч. "матема"- знание, наука, учение через размышление): учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию с астрологией.
Все, что открывали пифагорейцы, приписывалось самому Пифагору. В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Числа разбиваются на четные (мужские ), нечетные (женские), также рассматривались фигурные числа. Например, треугольные числа, связывающие арифметику и геометрию. Треугольные числа Наш термин "квадратные числа" идёт от построений пифагорейцев. Квадратные числа Пифагорейцы разделяли числа на дружественные и совершенные. Дружественные числа - это пара натуральных чисел каждый из которых равно сумме всех делителей другого числа. Совершенные числа - это числа равные сумме своих делителей. Также пифагорейцы открыли простые и составные числа. Пифагорейцам приписывается обозначение чисел с помощью букв греческого алфавита: ά=1, β=2, γ=3 и т. д.
В связи с разделением чисел на четные и нечетные у пифагорейцев закладываются основы теории делимости чисел, которые в дальнейшем приводят пифагорейцев к отношению двух натуральных чисел, т. е. к понятию рационального числа. Однако само понятие рационального числа ими еще не осмысливалось. Изучение, отношений чисел приводит их к созданию теории пропорции. Главное открытие пифагорейцев - открытие иррациональности. В конце V века до н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель - Демокрит. Он знаменит не только созданием концепции атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл объём пирамиды и конуса, но доказательств своих формул не дал. Вероятно, Архимед имел в виду доказательство методом исчерпывания, которого тогда ещё не существовало. Платон, Евдокс (IV век до н. э. ) Уже к началу IV века до н. э. греческая математика далеко опередила всех своих учителей, и её бурное развитие продолжалось. В 389 году до н. э. Платон основывает в Афинах свою школу - знаменитую Академию. Математиков, присоединившихся к Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто получил своё математическое образование вне Академии, и на учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Архит. Тарентский и позднее Евдокс. Книдский; к числу вторых - Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат.
Зрелость греческой математики Период зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н. э. ). Наиболее значительными фигурами этого периода были: Автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. «Начала» состоят из 13 книг (глав). 1 -6 -планиметрия 7 -9 -арифметика 10 -несоизмеримые величины и теория пропорций 11 -13 -стереометрия Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона. Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах» . Интересно отметить следующее: 1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида) 2. Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала 3. Нет приложений
Диофант (ок. 3 в. до н. э. ) В конце II в. н. э. начинается закат греческой математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика» , по предположению, состоит из 13 книг (глав) Главные заслуги Диофанта: 1. Отказ от геометрической алгебры древних греков. Введение буквенной алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики. 2. Расширение понятия числа. 3. Заложил основы теории неопределённых уравнений, которые приводят в последствии к теории чисел.
Интегральные методы Архимед изложил в следующих работах. 1. «О шаре и цилиндре» 2. «О спиралях» 3. «О коноидах и сфероидах» В этих работах он ввёл понятия верхних и нижних сумм. В XIX веке эта идея воплощена Дарбу, разность площадей может быть сколь угодно малой при увеличении числа сторон вписанными и описанными окружностью. В работах Архимеда содержатся и дифференциальные идеи, когда он рассматривает о максимальной функции и касательной к кривой.
Апполоний (260 -170 г. до н. э. ) Главный его труд «Конические сечения» , посвящённый изучению кривых второго порядка. Установил характерные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Предшественником Апполония был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н. э. ), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов - остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения.
Заключение Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию. В этих двух отношениях античная математика вполне современна.
present5.com
Математика Древней Греции История VI в
Математика Древней Греции
История • VI в. до н. э. «Они первые и единственные в то время изгнали бывших у них царей и установили у себя демократию, полагая, что свобода всех производит величайшее единодушие… Властвовать друг над другом путем насилия, думали они, свойственно диким зверям, а люди должны законом определить справедливое, словом убедить, делом повиноваться тому и другому ; закон должен быть царем, слово – наставником» . (Лисий, афинский оратор)
История • V – начало IV в. до н. э. Золотой век Афин, которые становятся политическим и культурным центром Греции. Создание Академии Платона (ок. 388 г. до н. э. ) и Ликея Аристотеля (335 г. до н. э. ) – прообраза будущих университетов. • 337 г. до н. э. Завоевание материковой Греции Филиппом, правителем Македонии (отцом Александра Македонского).
Греческая наука • В VI в. до н. э. были построены не только первые математические теории, но и первые математические модели мира. Ученые пришли к мысли, что математика является универсальным языком для выражения законов природы. • Теория строилась исходя из конечного числа посылок, а ее положения выводились из них с помощью цепочки логических умозаключений или эффективных конструкций. • Основным методом установления истины и исследования связи между предложениями становится логическое доказательство.
Греческая наука • VI в. до н. э. был временем знаменитых натурфилософских школ: ионийской и пифагорейской. • Начало греческой науки положила ионийская школа, основателем которой был Фалес – купец, политический деятель, философ, астроном и математик, живший в Милете – богатой греческой колонии в Малой Азии. Ионийцы первыми среди эллинов занялись геометрий.
Фалес Милетский • Доказал, что диаметр делит круг пополам. • Доказал предложение о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. • Открыл, что при пересечении двух прямых получаются равные углы. • Доказал теорему о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два угла. • Ввел понятие движения, в частности, поворота. К ионийской школе принадлежали также ученики Фалеса – Анаксимен и Анаксимандр.
Пифагор (ок. 580 – 497 гг. до н. э. ) • Родился на греческом острове Самос. • Изучал математику в Милете, Египте, Вавилоне. • Примерно в 540 г. до н. э. переехал в Кротон (Южная Италия), где основал знаменитый пифагорейский союз. • Ввел в обиход понятие «философия» (философос – любящий мудрость).
Школа Пифагора • Девиз школы: «Все есть число» . • Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). • Говорят, что само слово математика ( «то, что изучается» было изобретено пифагорейцами. • Математические результаты считались собственностью школы, и их первооткрывателей чужакам не называли.
Школа Пифагора Обучение начиналось с акусм – символических фраз, над которыми ученик должен был размышлять, чтобы понять их смысл: • Через весы не переступай (т. е. избегай алчности). • Огня ножом не вороши (т. е. человека гневного резкими словами не задевай). • Не ешь сердца (т. е. не удручай себя горем). • Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). • По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнению толпы, а мнению немногих понимающих). • Переходя границу, не оборачивайся. • Ношу помогай не взваливать, а сваливать. • Постель держи свернутой. • Руку без разбора не подавай.
Достижения в геометрии • Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. • Венчало их систему доказательство знаменитой «теоремы Пифагора» , которая до этого была известна только для частных случаев. • Пифагорейцы знали три из пяти правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр).
Теорема Пифагора
Таблица Пифагора
Арифметика целых чисел • Изучая свойства чисел, пифагорейцы впервые обратили внимание на законы их делимости. Они разбили все числа на четные и нечетные, а также на простые и составные. • Пифагорейцы открыли совершенные числа, т. е. такие, которые равны сумме своих делителей (исключая само число). 6 = 1+2+3 28 = 1+2+4+7+14 • В Греции начали оперировать с дробями вида m/n. Сложение и вычитание производилось путем приведения к общему знаменателю, дроби умели сокращать, умножать и делить.
Арифметика целых чисел Квадратные числа Треугольные числа Пятиугольные числа
Открытие несоизмеримых величин Это открытие явилось поворотным пунктом в развитии математики. Оно означало, что целых и рациональных чисел недостаточно для выражения отношения любых двух отрезков. Аристотель писал, что если допустить соизмеримость диагонали и стороны квадрата, то четное число бы равно нечетному. Из этой фразы ясно, что доказательство проводилось методом от противного. Открытие несоизмеримых отрезков ознаменовало начало кризиса пифагорейской философии.
Значение школы Пифагора Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах.
Магия чисел «Числа правят миром»
Магия чисел «Математика – язык науки!»
Магия чисел «Природа разговаривает с нами на языке математики»
Проблема бесконечности Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у Анаксагора (около 500 - 428 гг. до н. э). В сочинении “О природе" Анаксагор писал: вещи бесконечно делимы, нет последней ступени делимости материи; с другой стороны, всегда имеется нечто, что является большим.
Проблема бесконечности Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона Элейского (ок. 490 -430 гг. до н. э. ). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение - это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами.
Период наивысшего расцвета • В деятельности Евклида, Аполлония Пергского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении.
Евклид. «Начала» Главный труд Евклида, написанный около 300 г. До н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300 летнего развития и основа для последующих исследований. «Начала» — древнейшее из дошедших до нас античных математических сочинений. Все труды предшественников Евклида известны нам только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.
«Начала» Евклида
Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур» , сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения» , материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы» , представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского.
Архимед родился в Сиракузах, греческой колонии на острове Сицилия. Отцом Архимеда был математик и астроном Фидий, состоявший, как утверждает Плутарх, в близком родстве с Гиероном II, тираном Сиракуз. Отец привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии. Для обучения Архимед отправился в Александрию Египетскую — научный и культурный центр того времени.
Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида x² (a ± x) = b, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы.
Архимед Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многогранников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» (иногда называемой «Метод механических теорем» ) он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления.
Архимед Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе «Об измерении круга» Архимед дал своё знаменитое приближения для числа π: «архимедово число» 22/7. Более того, он сумел оценить точность этого приближения: 223/71
Заключение Невозможно представить пути развития современной математики без фундаментальных основ и идей античной математики. Именно Греции мы обязаны возникновением математики как самостоятельной науки с присущими ей методами нахождения и установления истины, а также тем, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.
present5.com
Математика Древней Греции - Древняя Греция
В течение Vв. в самостоятельную научную дисциплину превращаетсяматематика, освобождаясь от влияния пифагорейцев и становясь предметомпрофессиональной деятельности ученых, не примыкавших ни к какомуфилософскому направлению. Важным для развития математики было созданиедедуктивного метода (логический вывод следствий из небольшого числаисходных посылок). Прогресс математического знания особенно заметен варифметике, геометрии, стереометрии. К этому времени относятся такжезначительные успехи в астрономии. Анаксагор был первым ученым, давшимправильное объяснение солнечным и лунным затмениям.
Лишь применительно к V в. можно говорить и о рождении историографии: насмену ионийским логографам приходят историки. Современные исследователиставят рождение истории как науки в связь с оформлением демократии исоответственно углублением политического сознания гражданства. Гражданин,создающий своей политической деятельностью современную историю, хотел знатьи историю, которую творили его предки. Именно поэтому вершиной греческойисториографии стал строго рациональный труд Фукидида. Переходным звеном отлогографов к Фукидиду можно считать Геродота, которого Цицерон назвал отцом истории . Основная тема Истории Геродота - греко-персидские войны.
Темой труда Фукидида стала история Пелопонесской войны. Кореннойафинянин, связанный родством с семьей Кимона, блестящий ученик софистов,Фукидид был видным представителем верхушки афинского полиса. Однако егокарьера внезапно оборвалась в 424г., когда он, будучи стратегом, потерпелпоражение у Амфиполя и был изгнан из Афин. Труд Фукидида - это современнаяему история. Только в самом начале он дает в очень краткой форме общийочерк истории Эллады с древнейших времен, все остальное содержание строгоограничено поставленной задачей. Фукидид сознательно противопоставлял свойметод методу своих предшественников - логографов и Геродота. Его можносчитать родоначальником исторической критики. Фукидид свою задачу видит втом, чтобы создать правдивую историю Пелопонесской войны. Отбрасывая всечудесное (занимавшее столь значительное место в труде Геродота), Фукидидпытается объяснить происходившее только природой человека . Тем самыместественнонаучный метод переносится в сферу политической истории. История, точки зрения Фукидида, не является механистическим процессом, познаваемымна основе логического анализа, ибо действуют и слепые силы (стихийныесобытия, непредвиденное стечение обстоятельств - словом, все то, чтообнимается понятием слепой случай ). Взаимодействие рационального ииррационального и образует реальный исторический процесс. Значительную рольотводит Фукидид и выдающимся политическим деятелям, особо выделяя ихспособность осознать направление исторического процесса и действовать всоответствии с ним.
serres.ru
Математика в Древней Греции — Традиция
Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Эта статья ещё далека от совершенства, и для её улучшения, по меньшей мере, нужно:
викифицировать текст
привести текст к энциклопедическому стилю изложения
Умственное развитие, а вместе с ним и развитие науки никогда не шло во всём человечестве равномерно. В то время как одни народы стояли во главе умственного движения человечества, другие оказывались едва вышедшими из первобытного состояния. Когда у последних вместе с улучшением условий их жизни, появлялись, под действием внутренних или внешних импульсов, стремления к приобретению знаний, тогда они должны были прежде всего догонять передовые племена. Если в то же время передовые племена, достигнув высшей доступной им по их способностям или по созданным для них историей условиям жизни степени развития, вырождались и падали, в умственном развитии всего человечества происходил застой или даже видимый временный упадок: приобретение новых знаний прекращалось и умственная работа человечества сводилась единственно к упомянутому усвоению отставшими племенами знаний, уже приобретённых человечеством. Только по достижении этого усвоения отставшие племена получали возможность вести далее дело приобретения новых знаний и через это, в свою очередь, становиться во главе умственного движения человечества. Таким образом, в истории умственной деятельности каждого народа, когда-нибудь занимавшего место в ряду передовых деятелей человечества и затем свершившего весь свой жизненный цикл, исследователь должен различать три периода: период усвоения знаний, уже приобретённых человечеством; период самостоятельной деятельности в общей всему человечеству области приобретения новых знаний и, наконец, период упадка и умственного вырождения. Обращаясь от этого общего рассмотрения хода умственного развития человечества к той из отдельных его областей, которая представляется развитием М., мы находим, что при современном состоянии историко-математических знаний нам доступно изучение вполне завершённого цикла деятельности отдельного народа в области развития М. только на одной нации, на древних греках.
Донаучный период[править]
Усвоение приобретённых человечеством знаний греками, как нацией, далеко отставшей от передовых народов, началось с особенно усилившегося, после изгнания гиксов из Египта, перехода егип. знаний к народам Малой Азии и в самую Грецию. В течение очень большого промежутка времени, от 1700 г. и ранее и до 600 г. до н.э., эти знания были исключительно практического характера, относящиеся к потребностям обыденной жизни и к необходимейшим промыслам, ремёслам и искусствам.
В области М. переход научных знаний из Египта в Грецию начался с возвращения, около 590 г. до н.э., Фалеса Милетского на родину, в Милет, после долговременного пребывания в Египте. Принесённые им оттуда геометрические и астрономически сведения составляли первое время почти исключительное достояние основанной им ионийской школы. Но это время было очень непродолжительно, так как труд перенесения египетских, а затем и халдейских математических знаний скоро взяли на себя и другие лица: Пифагор Самосский, Энопид Хиосский и Демокрит из Абдеры.
Особенно много сделал в этом направлении Пифагор, что и было главной причиной широкого развития занятий М. в основанной им пифагорейской школе. Так как последовательные стадии развития человечества никогда не сменяют друг друга резко, то в этой школе ещё до окончания периода усвоения исследователь встречается уже с проявлениями самостоятельной деятельности греков в области М. Различить однако же в том, что нам известно о математических знаниях пифагорейцев, принадлежащее им самим от заимствованного у египтян и халдеев, в настоящее время нет пока никакой возможности. После разрушения, около 450 г. до н.э., представляемого этою школой религиозного братства, её математические знания, строго оберегаемые наравне со всеми другими знаниями от распространения между лицами, не принадлежащими к союзу, сделались общим достоянием греческой нации.
Особенно широкое распространение получили они на родине пифагорейского союза, в греческих колониях Южной Италии, или в так называемой Великой Греции, и в Афинах. В Италии это распространение создало италийскую математическую школу, крупнейшими представителями которой в последующее время были Архит Тарентский, Эвдокс Книдский и Архимед. В Афинах распространение пифагорейских математических знаний выразилось в деятельности математиков V стол., крупнейшим представителем которых был пифагореец Гиппократ Хиосский. Деятельность эта была посвящена главным образом попыткам решения трёх знаменитых задач: трисекции угла, квадратуры круга и удвоения куба. Этому же столетию принадлежит и первая попытка составления свода геометрических знаний в научной обработке, сделанная Гиппократом Хиосским.
С деятельностью математиков V ст., кроме значительного усиления самостоятельности математических работ греческих учёных, связываются в истории М. два важных момента: начало дедуктивного периода развития М., которое в действительности, может быть, относится к ещё более раннему времени, напр. к пифагорейской школе или даже к самому Египту, и полное выяснение направления и характера математического гения греческой нации, который с этого времени начал проявлять такую исключительную склонность к геометрическим исследованиям, что на них, можно сказать, сосредоточилась вся деятельность греческой нации в области математики до самого наступления периода упадка. С началом дедуктивного периода закончился в истории развития математики во всем человечестве первоначальный, донаучный период.
Период Академии[править]
Период усвоения греками математических знаний, приобретённых человечеством, можно считать закончившимся ко времени деятельности Платона, который хотя и ездил в Египет с целью непосредственного ознакомления с египетскими науками, но, по высокому сравнительно состоянию математических знаний в пифагорейской школе и у математиков V ст., он едва ли мог найти в египетской математике что-нибудь, оставшееся для греков неизвестным. Итак, период вполне самостоятельной деятельности греков в области М. начинается с деятельности Платона и основанной им в 389 г. Философской школы, известной под именем Академии, или даже ещё ранее, с работ математиков V ст. С этого времени последующее развитие, если не всей М. вообще, то, несомненно, геометрии, сосредоточивается исключительно в руках одной греческой нации, которая и ведёт его, пока находит в своём распоряжении необходимые средства.
Главным результатом о математической деятельности самого Платона было создание философии М. и в частности её методологии. Как известно, его собственные работы очень мало касались увеличения математических знаний в количественном отношении и были направлены главным образом на установление строгих и точных определений основных понятий геометрии, на обнаружение и отведение настоящего места её основным положениям, на приведение приобретённых ранее математических знаний в строгую логическую связь как между собой, так и с основными понятиями и положениями, и наконец, на приведение в полную ясность и изучение методов открытия и доказательства новых истин, методов, хотя уже давно употребляемых в науке, но ещё не выяснившихся в достаточной степени перед сознанием. Методов, разработанных Платоном, по свидетельству Прокла, было три: аналитический, синтетический и апагогический. Особенной новизной для современников Платона отличались, по-видимому, результаты произведённого им изучения аналитического метода, как это можно видеть из того, что Диоген Лаэрций и с меньшей уверенностью Прокл смотрят на этот метод как на нововведение Платона. В дошедших до нас сочинениях Платона не содержится никаких сведений об его исследованиях по рассматриваемому предмету, так что для суждения об их результатах нам не остаётся ничего другого, как воспользоваться определением этих методов у первого по времени известного нам писателя, который его даёт. Таким писателем является Эвклид, по определению которого «анализ есть принятие искомого как бы найденным, чем через следствия достигается то, что найдено истинным, а синтез есть принятие уже найденного, чем через следствия достигается то, что найдено истинным». Изложенные, на основании позднейших исследований предмета, более полным и главное более определённым образом, эти определения представляются в следующем виде.
Аналитический метод состоит в образовании цепи предложений, из которых каждое вытекает из следующего за ним, как непосредственное следствие. Первым звеном этой цепи служит доказываемое предложение, последним — предложение уже доказанное. Схема метода такова: требуется доказать существование D. Доказательство: D существует, если С существует; С существует, если В существует; В существует, если А существует, но существование А есть уже доказанная истина, следовательно, и существование D доказано, так как правильно выведенное следствие предложения, представляющего истину, всегда есть истина. Если между двумя следующими одно за другим предложениями цепи существует обратимость, т.е. если при следовании справедливости первого предложения из справедливости второго, также следует обратно и справедливость второго из справедливости первого, то отыскивание этого второго предложения при составлении цепи, как предложения, из которого первое вытекает как следствие, может быть заменено более лёгким действием вывода второго предложения, как следствия первого. Если обратимость предложений распространяется на всю цепь, то аналитический метод принимает более лёгкую частную форму, состоящую в образовании цепи предложений, из которых каждое есть непосредственное следствие предыдущего. Эту частную форму обыкновенно и принимают за выраженную определением Эвклида, хотя неопределённость его выражения и не даёт для этого достаточного основания. Если же принять во внимание, что, при непонимании значения обратимости предложений, греческие геометры, употребляя эту форму, должны были беспрестанно приходить к ложным выводам, то придётся заключить, что путём горького опыта они должны были прийти к употреблению общей формы анализа, как никогда не обманывающей возлагаемых на неё надежд.
Синтетический метод есть обращение аналитического и поэтому состоит в образовании цепи предложений, из которых первое есть доказанная истина, а каждое из последующих есть следствие ему предшествующего.
Об апагогическом методе, или методе приведения к нелепости (reductio ad absurdum), Эвклид не говорит, но довольно ясное его определение наряду с неясными определениями анализа и синтеза даёт Прокл, при своём приписывании их Платону; «Третий (апагогический) метод, — говорит он, — есть приведение к невозможному, которое не доказывает прямо того, что ищется, а опровергает то, что ему противоречит, и таким образом через связь того и другого находит истину». В основании этого метода лежит истина, что если из двух предложений одно вполне отрицает другое, или, другими словами, если два предложения противоречащие, то для убеждения в справедливости одного достаточно показать ложность другого.
Аналогический метод есть собственно видоизменение аналитического, в котором первым звеном цепи предложений вместо доказываемого предложения является его отрицание, а последним какое-нибудь заведомо ложное или нелепое предложение. Учёные математики, принадлежавшие к Академии во все время её существования, распадались на две группы: на учёных, получивших своё математическое образование независимо от Академии и находившихся только в более или менее тесных сношениях с ней, и на бывших учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Леодам Фасосский, Архит Тарентский и позднее Эвдокс Книдский; к числу вторых — Неоклид, Леон, Амикл из Гераклеи, братья Менехм и Динострат, и во время старости Платона —Теюдий из Магнезии, Кизикен Афинский, Гермотим Колофонский, Филипп Мендейский и Филипп Опунтский.
В школе Платона часто по его указаниям, а иногда и при непосредственном руководстве, продолжалась разработка планиметрии, получила значительное движение вперёд мало разработанная ранее стереометрия, создалось учение о конических сечениях и более общее о геометрических местах. Кроме того, в ней продолжал своё развитие получивший, насколько нам известно, начало в трудах Гиппократа Хиосского метод исчерпывания, о котором мы будем говорить далее, и были сделаны две новые попытки составления книги «Элементов» геометрии: Леоном в начале существования Академии, и Теюдием из Магнезии в конце жизни Платона. «Элементы» Леона замечательны по введению в них впервые так назыв. диоризма, то есть исследования задачи, состоящего в рассмотрении условий возможности или невозможности её решения, а также в первом случае и в определении числа её различных решений.
Из математиков, современных Академии, но не принадлежавших к ней, более известны нам по своей деятельности Автолик из Питаны и Аристей Старший. Создание в школе Платона философии М. должно было повести необходимым образом к разработке существенно необходимой для неё истории М. Дело этой разработки взяла на себя основанная учеником Платона, Аристотелем, школа перипатетиков в лице двух своих представителей, Эвдема Родосского и Теофраста Лесбосского. Нельзя не заметить, что в трудах по истории М. этих учёных заключается всё крупное, что было сделано школой перипатетиков для развития наук математических. Покровительство науке, оказываемое династией Птолемеев, царей новой греко-египетской монархии, возникшей после смерти Александра Македонского на почве древнего Египта, сделало, приблизительно с 300 г. до н.э., из столицы этой монархии, Александрии, главный центр умственной и духовной жизни греческого мира. Щедрые денежные пожертвования на дело науки и просвещения со стороны династии Птолемеев, и особенно трёх первых из них: Птолемея Сотера, Птолемея Филадельфа и Птолемея Эвергета, привлекли в Александрию выдающихся представителей науки древней Греции и собрали в Александрийской библиотеке все сокровища греческой учёной и изящной литературы. Самыми крупными из представителей М. в Александрии были Эвклид, Эратосфен и Аполлоний Пергский. Написанные Эвклидом «Элементы» геометрии закончили собой ряд попыток составления сочинений того же рода. До нынешнего времени остаются они произведением, не имеющим в своей области себе равного. Также классическим, хотя и далеко не в такой степени, является завершившее собой развитие учения о конических сечениях в древней Греции сочинение Аполлония Пергейского: «Восемь книг о конических сечениях», заключающее в себе все сделанное в этой области самим автором, его предшественниками и современниками.
Старшим современником Эратосфена и Аполлония Пергского был самый крупный математик своей эпохи, представитель италийской школы, Архимед. Из его работ особенно важное значение должно быть признано за исследованиями, относящимися к коническим сечениям, к происходящим от них телам вращения и к спиралям. Во всех этих исследованиях, так же как и при решении некоторых вопросов планиметрии и стереометрии, он широко пользовался методом исчерпывания, который в его руках достиг наибольшей доступной ему высоты развития.
Началом развития метода являются первые попытки раскрытия отношений, существующих между простейшей криволинейной фигурой, кругом, и фигурами прямолинейными. После того как было найдено, что площади правильных одноимённых многоугольников относятся как квадраты диаметров описанных округов, сама собой должна была явиться мысль о возможности перехода от этих многоугольников к кругам через посредство удваивания числа сторон многоугольников, делающего периметры последних все более и более близкими к окружностям кругов. Но так как уходящее в бесконечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и беспредельные приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью её прав в принятии основанием всех исследований рассматриваемого рода такого вспомогательного предложения, с помощью которого требования очевидности были бы удовлетворены. Таким предложением в «Элементах» Эвклида является следующее:
Если даны две неравные величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также более половины, и так далее, то останется величина, которая будет меньше всякой данной малой величины (книга X, предл. I)
Так как в устанавливаемом этой теоремой процессе всякий остаток сравним со следующим за ним, то строгие требования греческой геометрии являются удовлетворёнными. С помощью этой теоремы Эвклид доказывает, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего одинаковые с ним основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги относятся как квадраты их диаметров, что треугольные пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как площади их оснований; что отношение шаров равно отношению кубов их диаметров.
С гораздо большей строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание теорему:
Если две линии, две поверхности или два объёма неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода.
Пользуясь этой теоремой, Архимед даёт, например, два способа решения вопроса о квадратуре параболы. Общий приём, заключающийся как в этих двух, по-видимому, очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. Но так как для практических приложений этого приёма не было выработано никаких общих правил, как относительно закона составления требуемых им рядов и формы их членов, так даже и относительно самого выбора ряда, который бы мог привести к цели, то исследователь получал в этом приёме только одни неопределённые общие указания на находящийся в его распоряжении путь исследования; во всем же остальном он был предоставлен собственной эрудиции и собственному остроумию. Это и было причиной, что только в руках такого гениального геометра, как Архимед, метод исчерпывания мог получить сколько-нибудь значительные приложения.
В деятельности Эвклида, Аполлония Пергейского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области М. достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. Затем начинается период упадка. Работы греческих математиков мельчают. Дело идёт уже не о создании новых отраслей науки и решении её труднейших вопросов, а о пополнении тех, говоря относительно, неважных пробелов, которые были оставлены предыдущим быстрым развитием науки. В этой первой фазе упадка деятельность представителей математики: Никомеда, Диоклеса, Персея, Зенодора, Гипсикла Александрийского, астронома Гиппарха, всё ещё остаётся верной прежнему направлению, которое, как продукт характеристических свойств и особенностей греческой нации, может быть названо национальным. Материалы для этой деятельности черпались действительно из отраслей М., продолжение разработки которых было завещано предыдущей эпохой. Этими отраслями были: во-первых, элементарная геометрия и в ней главным образом стереометрия, где и после работ Эвклида и Архимеда все ещё оставались некоторые пробелы; во-вторых, кривые высших порядков, толчок к изучению которых был дан Архимедом через посредство его исследования спиральных линий, и в-третьих, числовая геометрия, также указанная последующим математикам Архимедом в относящейся к ней его работе по предмету вычисления круга. К первой отрасли относились работы Зенодора (изопериметрические фигуры) и Гипсикла Александрийского (правильные многогранники), ко второй — работы Никомеда (конхоида), Диоклеса (циссоида) и Персея (спирали), и к третьей — работы Гиппарха (создание тригонометрии и вычисление хорд).
В следующую за тем фазу упадка, начавшуюся около 100 г. до н. э., прежняя стойкость греческого гения в удержании национального направления оказывается совершенно утраченной, и если работы греческих математиков могут считаться греческими, то только по языку, а никак не по духу. К тому же и авторами их являются в большинстве случаев лица, чистота греческого происхождения которых в высшей степени сомнительна. Первым из чуждых греческому гению направлений, явившихся на смену национального, было прикладное направление, развившееся на почве древнего Египта, бывшее, по всей вероятности, наследием египетской М., об утилитарном направлении которой во времена составления папируса Ринда уже говорилось ранее.
Первое и едва ли не самое резкое выражение нашло это направление в самом начале своего развития, ок. 100 г. до н. э., в сочинениях Герона Александрийского, посвящённых главным образом разработке геодезии и механики и во многом напоминающих приёмы, формы, а изредка даже и содержание египетской М.
К этому же направлению должна быть отнесена и вызванная потребностями астрономии разработка тригонометрии, начатая в трудах Гиппарха ещё в эпоху национального направления и потому являющаяся звеном, связующим последнее с прикладным направлением. Самыми крупными деятелями разработки тригонометрии были Менелай Александрийский и Клавдий Птолемей. Связующий национальное и прикладное направления характер этой разработки выражается как в трудах по геометрии самого Птолемея, так и в ещё большей степени в геометрических работах второстепенных деятелей эпохи: Геминуса Родосского, Феодосия из Триполи, Дионисодора и Серенуса из Антиссы.
Как на известного нам представителя эпохи упадка этого направления можно указать на Секста Юлия Африканского, бывшего, несмотря на своё римское имя, греческим писателем.
Ещё более чуждым греческому гению было арифметическо-алгебраическое направление, получившее начало в неопифагорейской школе, образовавшейся в I ст. н. э. Деятелями арифметики в этой школе были: Никомах Геразский, Теон Смирнский и Тимарид. Продолжение работ неопифагорейцев в области арифметическо-алгебраического направления взяла на себя основанная во II в. н. э. неоплатоновская школа в лице главным образом двух своих представителей, Порфирия и Ямвлиха.
Но самым крупным деятелем в области арифметическо-алгебраического направления, закончившим его развитие, был стоявший вне философских школ Диофант Александрийский. На работы этого учёного следует смотреть как на последнюю яркую вспышку угасающей греческой математической науки, напомнившую её славное прошлое и более уже не повторявшуюся.
Третьей фазой упадка греч. М. была эпоха исключительной деятельности комментаторов великих произведений греческой математической литературы прошлого времени. Крупным представителем начала этой эпохи, подобного которому в дальнейшем её течении уже не встречалось, был Папп Александрийский. Он, действительно, в своём «Собрании», этом важнейшем из его сочинений, был ещё в состоянии к изложению содержания сочинений рассматриваемых им авторов присоединять от себя различные предложения, объясняющие или дополняющие предмет, хотя нередко и стоящие с ним в очень отдалённой связи. Этой способностью, всё ещё вносящей в науку кое-что новое, последующие деятели рассматриваемой эпохи: Теон Александрийский, его дочь Ипатия, Прокл Диадох, Дамаский, Эвтокий Аскалонский, Асклепий из Траллеса и Иоанн Филопон уже не обладали.
Четвёртой, и последней, фазой упадка греческой математики была эпоха византийских учёных, продолжавшаяся от VII века н. э. до взятия турками Константинополя (1453). В эту эпоху произведения древних греческих математиков сделались до того недоступными новым, что о самом их существовании эти последние нередко узнавали от арабов и персов; в то время, когда арабские математики прилагали все усилия к тому, чтобы иметь на своём языке переводы всех сколько-нибудь выдающихся в греческой математической литературе произведений, византийские математики не были в силах справляться даже с самыми незначительными элементарными произведениями арабской математической литературы и для переделок переводов на греческий язык нужных им сочинений обращались уже к совершенно ничтожной математической литературе персов, представляемой, напр., такими писателями как Шамсальдин Бухарский. Особенного развития это пользование персидскими отголосками таких произведений прежней греческой литературы, как Алмагест, достигло в XIV в. в трудах Хиониада Константинопольского, Георга Хризокоццеса, Фёдора Мелитениота и монаха Исаака Аргиры.
Кроме этих учёных, деятелями рассматриваемой эпохи в области М., оставившими более или менее заметный след в византийской литературе, были Михаил Пселл, Николай Кабазилас, монах Варлаам, Иоанн Педиазимус, или Галенус, Максим Плануд, Николай Рабда из Смирны и Мануил Москопул.
При написании этой статьи использовался материал из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона (1890—1907).
История математики под редакцией А. П. Юшкевича (в трёх томах):
Древняя Греция 
Введение Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э. Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов. Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис "Числа правят миром". Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: "Природа разговаривает с нами на языке математики". Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже - механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи. Создание новых и дальнейшее развитие существующих математических теорий связано обычно с уточнением (обобщением) их исходных основных понятий и посылок и основанных на них методов. Математики нередко встречались с трудностями, преодолеть которые им удавалось только после продолжительных поисков. 
Глава I. Школа пифагорейцев 1. 1 Развитие математики как теории Математика как теория получила развитие в школе Пифагора (571 -479 гг. до н. э. ). Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах. Дедуктивное построение геометрии явилось мощным стимулом её дальнейшего роста. Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. Наличие у пифагорейцев учения о параллельных линиях говорит о том, что они владели методом доказательства от противного и впервые доказали теорему о сумме углов треугольника. Вершиной достижений пифагорейцев в планиметрии является доказательство теоремы Пифагора. Последняя за много столетий раньше была сформулирована вавилонскими, китайскими и индийскими учеными, однако её доказательство им не было известно. 
Понятие древнегреческая математика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э. Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п. ). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром» . Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: «Природа разговаривает с нами на языке математики» . В Древней Греции сложились все основные типы мировоззрений, действовали естественнонаучные школы. Ведущее место среди греческих натурфилосовских школ занимали: ионийская (VII-VI вв. до н. э. ) и пифагорейская (VI-V вв. до н. э. ) 
Основателем Пифагорейской школы являлся Пифагор Самосский, который, предположительно, был мистиком, учёным и государственным деятелем аристократического толка. Пифагор создал пифагорейский союз, который являлся своеобразным, полумистическим, полурелигиозным обществом. Пифагорейцы были путешественниками, при встречи они приветствовали друга "пифагорейской звездой", которую рисовали на земле прутиком. Пифагорейская звезда Пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. Они приписывали числам особые сверхестественные свойства, понимали, что каждая вещь или явление обладают сущностью(содержанием) и видимостью (формой). Форма постигается органами чувств, а сущность умом и подчинена логике чисел. Познав мир чисел, познаём и сущность вещей. "Все сущее есть число"- лозунг пифагорейцев. Предполагают, что от пифагорейцев ведет свое начало термин "математика". Пифагорейцы различали четыре матемы (с греч. "матема"- знание, наука, учение через размышление): учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию с астрологией. 
Зрелость греческой математики Период зрелости греческой математики начинается в эпоху Эллинизма (3 в. до н. э. ). Наиболее значительными фигурами этого периода были: Автор многих работ по математике, оптике, и теории музыки. Главный его труд – «Начала» Евклида представляют собой систематизированное изложение всех математических фактов, созданных древнегреческими математиками к этому времени, исключая теорию канонических сечений. «Начала» состоят из 13 книг (глав). 1 -6 -планиметрия 7 -9 -арифметика 10 -несоизмеримые величины и теория пропорций 11 -13 -стереометрия Есть предположения, что Евклид построил учебник логики в духе Платона. Аристотеля на математическом материале, этим в частности можно объяснить отсутствие всяких приложений математики в «Началах» . Интересно отметить следующее: 1. «Начала» являлись первой наиболее полной попыткой строгого логического построения математики (также попытки предпринимались до Евклида) 2. Вычислительная сторона математики полностью отсутствовала 3. Нет приложений 
Диофант (ок. 3 в. до н. э. ) В конце II в. н. э. начинается закат греческой математики. Единственной яркой фигурой этого времени является Диофант. Главный труд Диофанта- «Арифметика» , по предположению, состоит из 13 книг (глав) Главные заслуги Диофанта: 1. Отказ от геометрической алгебры древних греков. Введение буквенной алгебры (в зачатом состоянии), алгебраической символики. 2. Расширение понятия числа. 3. Заложил основы теории неопределённых уравнений, которые приводят в последствии к теории чисел. 
Апполоний (260 -170 г. до н. э. ) Главный его труд «Конические сечения» , посвящённый изучению кривых второго порядка. Установил характерные свойства эллипса, гиперболы и параболы. Предшественником Апполония был Менехм (греческий математик, ок. IV в. до н. э. ), который использовал конические сечения при решении задачи об удвоении куба. Менехм рассматривал сечения конусов плоскостью перпендикулярной образующим, при этом он рассматривал разные типы конусов - остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, но углы наклона плоскостей к образующим разные, в результате для одного и того же конуса имеем различные конические сечения. 
Заключение Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов. Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики. Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию. В этих двух отношениях античная математика вполне современна. 
Математика Древней Греции 
История • VI в. до н. э. «Они первые и единственные в то время изгнали бывших у них царей и установили у себя демократию, полагая, что свобода всех производит величайшее единодушие… Властвовать друг над другом путем насилия, думали они, свойственно диким зверям, а люди должны законом определить справедливое, словом убедить, делом повиноваться тому и другому ; закон должен быть царем, слово – наставником» . (Лисий, афинский оратор) 
История • V – начало IV в. до н. э. Золотой век Афин, которые становятся политическим и культурным центром Греции. Создание Академии Платона (ок. 388 г. до н. э. ) и Ликея Аристотеля (335 г. до н. э. ) – прообраза будущих университетов. • 337 г. до н. э. Завоевание материковой Греции Филиппом, правителем Македонии (отцом Александра Македонского). 
Греческая наука • В VI в. до н. э. были построены не только первые математические теории, но и первые математические модели мира. Ученые пришли к мысли, что математика является универсальным языком для выражения законов природы. • Теория строилась исходя из конечного числа посылок, а ее положения выводились из них с помощью цепочки логических умозаключений или эффективных конструкций. • Основным методом установления истины и исследования связи между предложениями становится логическое доказательство. 
Греческая наука • VI в. до н. э. был временем знаменитых натурфилософских школ: ионийской и пифагорейской. • Начало греческой науки положила ионийская школа, основателем которой был Фалес – купец, политический деятель, философ, астроном и математик, живший в Милете – богатой греческой колонии в Малой Азии. Ионийцы первыми среди эллинов занялись геометрий. 
Фалес Милетский • Доказал, что диаметр делит круг пополам. • Доказал предложение о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. • Открыл, что при пересечении двух прямых получаются равные углы. • Доказал теорему о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два угла. • Ввел понятие движения, в частности, поворота. К ионийской школе принадлежали также ученики Фалеса – Анаксимен и Анаксимандр. 
Пифагор (ок. 580 – 497 гг. до н. э. ) • Родился на греческом острове Самос. • Изучал математику в Милете, Египте, Вавилоне. • Примерно в 540 г. до н. э. переехал в Кротон (Южная Италия), где основал знаменитый пифагорейский союз. • Ввел в обиход понятие «философия» (философос – любящий мудрость). 
Школа Пифагора • Девиз школы: «Все есть число» . • Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). • Говорят, что само слово математика ( «то, что изучается» было изобретено пифагорейцами. • Математические результаты считались собственностью школы, и их первооткрывателей чужакам не называли. 
Школа Пифагора Обучение начиналось с акусм – символических фраз, над которыми ученик должен был размышлять, чтобы понять их смысл: • Через весы не переступай (т. е. избегай алчности). • Огня ножом не вороши (т. е. человека гневного резкими словами не задевай). • Не ешь сердца (т. е. не удручай себя горем). • Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). • По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнению толпы, а мнению немногих понимающих). • Переходя границу, не оборачивайся. • Ношу помогай не взваливать, а сваливать. • Постель держи свернутой. • Руку без разбора не подавай. 
Достижения в геометрии • Пифагорейцы развили и обосновали планиметрию прямолинейных фигур: учение о параллельных линиях, треугольниках, четырехугольниках, правильных многоугольниках. Получила развитие элементарная теория окружности и круга. • Венчало их систему доказательство знаменитой «теоремы Пифагора» , которая до этого была известна только для частных случаев. • Пифагорейцы знали три из пяти правильных многогранников (тетраэдр, куб, октаэдр). 
Теорема Пифагора 
Таблица Пифагора 
Арифметика целых чисел • Изучая свойства чисел, пифагорейцы впервые обратили внимание на законы их делимости. Они разбили все числа на четные и нечетные, а также на простые и составные. • Пифагорейцы открыли совершенные числа, т. е. такие, которые равны сумме своих делителей (исключая само число). 6 = 1+2+3 28 = 1+2+4+7+14 • В Греции начали оперировать с дробями вида m/n. Сложение и вычитание производилось путем приведения к общему знаменателю, дроби умели сокращать, умножать и делить. 
Арифметика целых чисел Квадратные числа Треугольные числа Пятиугольные числа 
Открытие несоизмеримых величин Это открытие явилось поворотным пунктом в развитии математики. Оно означало, что целых и рациональных чисел недостаточно для выражения отношения любых двух отрезков. Аристотель писал, что если допустить соизмеримость диагонали и стороны квадрата, то четное число бы равно нечетному. Из этой фразы ясно, что доказательство проводилось методом от противного. Открытие несоизмеримых отрезков ознаменовало начало кризиса пифагорейской философии. 
Значение школы Пифагора Главной заслугой пифагорейцев в области науки является существенное развитие математики как по содержанию, так и по форме. По содержанию - открытие новых математических фактов. По форме - построение геометрии и арифметики как теоретических, доказательных наук, изучающих свойства отвлеченных понятий о числах и геометрических формах. 
Магия чисел «Числа правят миром» 
Магия чисел «Математика – язык науки!» 
Магия чисел «Природа разговаривает с нами на языке математики» 
Проблема бесконечности Понятие бесконечности как математическая категория впервые появляется у Анаксагора (около 500 - 428 гг. до н. э). В сочинении “О природе" Анаксагор писал: вещи бесконечно делимы, нет последней ступени делимости материи; с другой стороны, всегда имеется нечто, что является большим. 
Проблема бесконечности Понятие бесконечности подвергалось серьезной критике со стороны Зенона Элейского (ок. 490 -430 гг. до н. э. ). Зенон был учеником Парменида, главы элейской школы. Парменид утверждал, что бытие едино, неподвижно и неизменно. Движение, изменение - это только видимость, обусловленная несовершенством наших органов чувств. Мир (бытие) может быть познан только разумом, но не чувствами. 
Период наивысшего расцвета • В деятельности Евклида, Аполлония Пергского и особенно Архимеда период самостоятельной деятельности греков в области математики достиг момента наибольшей высоты математических исследований как в количественном, так и в качественном отношении. 
Евклид. «Начала» Главный труд Евклида, написанный около 300 г. До н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300 летнего развития и основа для последующих исследований. «Начала» — древнейшее из дошедших до нас античных математических сочинений. Все труды предшественников Евклида известны нам только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов. 
«Начала» Евклида 
Из других сочинений по математике надо отметить «О делении фигур» , сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения» , материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы» , представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. 
Архимед родился в Сиракузах, греческой колонии на острове Сицилия. Отцом Архимеда был математик и астроном Фидий, состоявший, как утверждает Плутарх, в близком родстве с Гиероном II, тираном Сиракуз. Отец привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии. Для обучения Архимед отправился в Александрию Египетскую — научный и культурный центр того времени. 
Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида x² (a ± x) = b, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. 
Архимед Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многогранников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» (иногда называемой «Метод механических теорем» ) он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления. 
Архимед Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе «Об измерении круга» Архимед дал своё знаменитое приближения для числа π: «архимедово число» 22/7. Более того, он сумел оценить точность этого приближения: 223/71
Заключение Невозможно представить пути развития современной математики без фундаментальных основ и идей античной математики. Именно Греции мы обязаны возникновением математики как самостоятельной науки с присущими ей методами нахождения и установления истины, а также тем, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию. 
