История современного города Афины.

Древние Афины
История современных Афин

Геометрия в Древней Греции. Древние геометры

Геометрия в Древней Греции.

Геометрия в Древней Греции

Откуда взялась геометрия? Кто создал эту науку? Ответы на эти вопросы ученые высказали в предположениях. В 7 веке до н.э. огромное развитие геометрия получила в Греции. Была ли она туда «завезена» или родилась в умах философов и деятелей науки этой страны, никто не знает.

Известно, что геометрия не терпит долгих рассуждений. Эта наука точная. Греки, с присущим им расчетом, холодностью ума и прекрасной логикой довольно хорошо развили это направление математики.

Евклид

В каких сферах применяли эту науку?

Считается, что греки пользовались геометрическими формулами египтян для землемерия. Но в процессе применения, разработали целую науку. Они измеряли и выверяли объем различных тел. Греки систематизировали геометрические понятия, изобрели теоремы и доказательства. Центром геометрического учения в те времена, были разработки Евклида в период примерно 300-350 гг. до н.э. Этот ученый начал свои исследования с простейших форм. Элементарные тела рассматривались им с разных точек зрения. Так были выведены аксиомы и сделаны первые открытия. Евклид рассматривал:

Прямые.
Отрезки.
Многоугольники.
Многогранники.
Конусы.
Шары.
Цилиндры.
Пирамиды.

Он анализировал их на плоскости, вычисляя площади и объемы. В рукописи Евклидовых «Начал», которые были созданы в 14 веке, есть иллюстрация. На ней изображена женщина, которая обучает детей основам геометрии. Это говорит о том, что все без исключения свободные жители Древней Греции постигали основы наук.

Откуда произошли самые известные геометрические названия?

Многие из названий геометрических тел взяты из обихода Древних греков. Например, на языке греков скалку именовали «каландер». Ученые взяли за основу это понятие для определения округлых тел и сейчас такие формы называют цилиндрическими. Шишка ели – «конос». Отсюда – конус – все предметы, похожие по форме на шишки. По подобию египетских пирамид, все тела такого вида называли «пирамиды».

Параллельные прямые получили свое название от понятия «идти рядом». Параллелепипед – близкий родственник этих слов. А столик, трапециевидной формы, называли «тетрапецион». В «трапецию» похожие фигуры превратились позже.

Кто стоял у истоков?

Исследователи предполагают, что основы геометрии греков заложили последователи Ионийской школы. Ее создатель -Фалес Милетский. Этот ученый был титулован званием мудреца. В молодости философ и математик побывал в Египте. Но тогда он еще не занимался науками. Историки полагают, что он торговал. В те годы правители Египта только открыли возможность пребывания на их землях иностранцев. Приезжали в страну фараонов в большинстве своем купцы. Фалес, занимающийся торговыми отношениями, не покинул этой страны скоро. Его заинтересовали имеющиеся научные разработки египтян. Фалес побывал в Мемфисе и Фивах. С важными познаниями в области астрономии и математики, он приехал на Родину и открыл в Греции философскую школу.

Известно, что именно Фалес занялся доказательством теорем о всевозможных равенств. Он первый из всех древнегреческих ученых понял, что диаметр разделяет пополам круг. Но историкам не известно, сам ли Фалес додумался до этих идей и вывел большинство доказательств или позаимствовал мысли у египтян. Фалес был легендарным математиком и ученым. Считается, что это он предсказал солнечное затмение, которое случилось в 585 г. до н.э. Но полное собрание сочинений Фалеса состояло всего из пары сотен стихосложений.

Не менее значимыми стали труды Пифагора. Он был учеником Фалеса и создал свою математическую школу. Пифагор, как и Фалес, побывал в Египте, прожив там несколько десятилетий. Перебравшись в Вавилон, он и там постигал азы различных учений.

Пифагор

Некоторые современники нашли свидетельства того, что Пифагор участвовал в Олимпийских играх в качестве боксера и весьма в этом преуспел. Известно, что он занимался пророчествами. Чтобы ему верили люди, нужно было знать множество наук. В их числе:

Геометрия.
Философия.
Психология.
Демагогия.
Астрономия.

О Пифагоре ходило много легенд. Некоторые из его учеников распространяли слухи о том, что учитель может появляться в нескольких местах одновременно, а когда он шел через одну из рек, она разлилась. Все эти небылицы, скорее всего, сочинила ученики математика, чтобы предать имени Пифагора загадочности и значимости.

Пифагор имел одну особенность, которую позже подхватило не одно поколение ученых. Он присваивал себе открытия своих учеников. В школе Пифагора был издан указ о том, что все достижения учеников записываются на имя Пифагора. Верные его ученики пошли еще дальше в реализации этой идеи. Они и после смерти Пифагора присваивали ему свои открытия. Но решения практически всех геометрических задач последователи пифагорейской школы тщательно скрывали.

Но один из учеников Пифагора раскрыл тайны геометрии. Этого не произошло бы, но судьбоносный случай нарушил каноны школы. Последователь потерял деньги общины, и ему необходимо было вернуть сумму в «общий котел». В результате, после долгих обсуждений, было принято коллегиальное решение – разрешить проштрафившемуся ученику преподавать геометрию за деньги. Был издан учебник по геометрии «Предание Пифагора».

К 3 веку до н.э. геометрия приобрела очертания полноценной науки с методиками решения задач, описаниями доказательств. Греки издали несколько учебных пособий по геометрии и открыли научные школы.

После смерти Александра Македонского, когда его владения были поделены, больше всего геометрическая наука получила распространение в царстве Птолемея. Правитель покровительствовал любым наукам и привлекал в свое государство деятелей науки, культуры, философии. В Александрии находились гигантская библиотека и музей. Здесь жил Евклид. Известно, что Птолемей решил было изучать геометрию, но она ему не далась. Тогда он вызвал Евклида и спросил, нет ли другого, более простого, пути в познании сей науки, на что математик ответил фразой «В геометрии нет царского пути».

gidvgreece.com

1. Геометрия у древних людей. Геометрия вокруг нас

Геометры — Что такое «древнегреческий геометр»? — 22 ответа

Античный геометр

В разделе Другое на вопрос Что такое "древнегреческий геометр"? заданный автором Друг №1 лучший ответ это Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся совершенно бессмысленными, но проходит время и эти исследования приобретают огромную научную ценность.Геометр, это математик специализирующийся в области геометрии.Первые арифметические и геометрические понятия появились в каменном веке. Возникновение геометрических понятий или понятий о геометрических фигурах произошло в глубокой древности при изготовлении скребков в форме дисков, круглых сосудов, конусойдных зданий и пр. Большинство общепринятых в настоящее время в геометрии названий геометрических фигур является греческими, обозначающими различные предметы той или иной формы, с которыми люди сталкивались в своей практической деятельности.Возникновение геометрии относится к глубокой древности. Оно было обусловлено практическими потребностями (измерением земельных участков, объемов тел). Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще древним египтянам. Геометрические утверждения формулировались тогда в виде правил, логические доказательства которых либо отсутствовали, либо были примитивными. Начиная с 7 века до нашей эры и до 1 века нашей эры, развитие геометрии происходило в основном в Древней Греции. Здесь накапливались сведения о метрических соотношениях в треугольниках, измерениях площадей и объемов, пропорциях и подобии фигур, конических сечениях, задачах на построение. В то время появились уже сравнительно строгие логические доказательства геометрических утверждений. Собранием известных фактов геометрии и их логической систематизацией явились «Начала» Евклида. В этом сочинении были сформулированы основные положения (аксиомы) геометрии, из которых при помощи логических рассуждений выводились различные свойства простейших фигур на плоскости и в пространстве. Здесь впервые сложились основы аксиоматического метода. Развитие астрономии и геодезии привело к созданию плоской и сферической тригонометрии.ГИППОКРАТ ХИОССКИЙ - (5 в. до н. э.) , древнегреческий геометр. Автор первого систематического сочинения по геометрии (не дошедшего до нас) , которое, вероятно, охватывало материал первых четырех книг «Начал» Евклида. В поисках решения квадратуры круга Гиппократ Хиосский нашел квадратуры трех так называемых «гиппократовых луночек» .Никомед Александрийский (3 — 2 вв. до н. э.) , древнегреческий геометр. Впервые рассмотрел конхоиду, построил прибор для её вычерчивания; применил для нахождения двух средних пропорциональных между заданными величинами, а также для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.Диокл (II в до н. э. ) - древнегреческий геометр. Известен как изобретатель кривой для построения двух средних пропорциональных; эту кривую впоследствии назвали циссоидой. Диокл использовал ее для решения задачи об удвоении куба. Он предложил свое решение задачи Архимеда о делении шара в заданном отношении. Это решение, однако, было утеряно еще в древности.Эвклид, древнегреческий геометр (ок. 365 — 275 до н. э.) .Одним из наиболее знаменитых и посвященных знатоков магии чисел и дней был древнегреческий геометр и астролог Пифагор.

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Что такое "древнегреческий геометр"?

Ответ от Iodellavitanonhocapitouncazzo =)[гуру]Учёный - специалист по геометрии. Их было много (Гиппократ Хиосский, Никомед, Диокл и др.) . И они не обязательно были греками! 🙂

Ответ от Пользователь удален[гуру]Геометр - ,геометра, м. (устар.) . Ученый - специалист по геометрии

Ответ от Ирина ******[гуру]Геометра, м. (устар.) . Ученый - специалист по геометрии.ГИППОКРАТ ХИОССКИЙ(5 в. до н. э.) , древнегреческий геометр. Автор первого систематического сочинения по геометрии (не дошедшего до нас) . три фигуры, указанные Гиппократом Хиосским, каждая из которых ограничена дугами двух окружностей и для каждой из которых с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие прямолинейные фигуры.

Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Ответить на вопрос:

22oa.ru

История развития геометрии

Самые первые понятия в геометрии люди приобрели еще в глубокой древности. Возникала необходимость определять площади участков земли, объемы различных сосудов и помещений и другие практические потребности. Свое начало история развития геометрии, как науки, берет в Древнем Египте около 4 тысяч лет назад. Затем знания египтян позаимствовали древние греки, которые применяли их преимущественно для того, чтобы измерять площади земельных участков. Именно с Древней Греции берет свое начало история возникновения геометрии, как науки. Древнегреческое слово «геометрия» переводится, как «землемерие».

Греческие ученые на основе открытия множества геометрических свойств смогли создать стройную систему знаний по геометрии. В основу геометрической науки были положены простейшие геометрические свойства, взятые из опыта. Остальные положения науки выводились из простейших геометрических свойств с помощью рассуждений. Вся эта система была опубликована в завершенном виде в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры, где он изложил не только теоретическую геометрию, но и основы теоретической арифметики. С этого источника также начинается и история развития математики.

Однако в труде Евклида ничего не сказано ни об измерении объема, ни о поверхности шара, ни об отношении длины круга к его диаметру (хотя присутствует теорема о площади круга). История развития геометрии получила продолжение в середине III века до нашей эры благодаря великому Архимеду, который смог вычислит число Пи, а также смог определить способы вычисления поверхности шара. Архимед для решения упомянутых задач применил методы, которые в дальнейшем легли в основу методов высшей математики. С их помощью он уже мог решать трудные практические задачи геометрии и механики, которые были важны для мореплавания и для строительного дела. В частности, он нашел способы определять центры тяжести и объемы многих физических тел и смог изучить вопросы равновесия тел различной формы при погружении в жидкость.

Древнегреческие ученые провели исследования свойств различных геометрических линий, важных для теории науки и практических применений. Аполлоний во II веке до нашей эры сделал много важных открытии по теории конических сечений, которые оставались непревзойденными на протяжении следующих восемнадцати веков. Апполоний применил метод координат для изучения конических сечений. Этот метод в дальнейшем смогли развить только в XVII веке ученые Ферма и Декарт. Но они применяли этот метод только для изучения плоских линий. И только в 1748 году русский академик Эйлер смог применить этот метод для изучения кривых поверхностей.

Система, разработанная Евклидом, считалась непреложной более двух тысяч лет. Однако в дальнейшем история развития геометрии получила неожиданный поворот, когда в 1826 году гениальный русский математик Н.И. Лобачевский смог создать совершенно новую геометрическую систему. Фактически основные положения его системы отличаются от положений геометрии Евклида только в одном пункте, но именно из этого пункта вытекают основные особенности системы Лобачевского. Это положение о том, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше 180 градусов. На первый взгляд может показаться, что это утверждение неверно, однако при маленьких размерах треугольников современные средства измерения не дают правильно измерить сумму его углов.

Дальнейшая история развития геометрии доказала правильность гениальных идей Лобачевского и показала, что система Евклида просто неспособна решить многие вопросы астрономии и физики, где математики имеют дело с фигурами практически бесконечных размеров. Именно с трудами Лобачевского уже связано дальнейшее развитие геометрии, а с ней и высшей математики и астрономии.

fb.ru

Геометр Википедия

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία, от γῆ — земля и μετρέω — измеряю) — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения[1].

Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.

Предмет геометрии

Геометрия занимается взаимным расположением тел, которое выражается в прикосновении или прилегании друг к другу, расположением «между», «внутри» и так далее; величиной тел, то есть понятиями о равенстве тел, «больше» или «меньше»; а также преобразованиями тел. Геометрическое тело представляет собой абстракцию ещё со времён Евклида, который полагал, что «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка представляет собой абстракцию, связанную с неограниченным уменьшением всех размеров тела, или пределом бесконечного деления. Расположение, размеры и преобразования геометрических фигур определяются пространственными отношениями[2].

Исследуя реальные предметы, геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаясь от других свойств предметов, таких как плотность, вес, цвет. Это позволяет перейти от пространственных отношений между реальными объектами к любым отношениям и формам, возникающим при рассмотрении однородных объектов, и сходным с пространственными. В частности, геометрия позволяет рассматривать расстояния между функциями[1].

Классификация

Классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.

Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.
- Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости.
- Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях.
Аффинная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях.
Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости.

Сферический треугольник

Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы.

По используемым методам выделяют также такие инструментальные подразделы.

Аксиоматика

Аксиомы евклидовой геометрии, сформулированные в III—IV веке до н. э., составляли основу геометрии до второй половины XIX века, так как хорошо описывали физическое пространство и отождествлялись с ним[1]. Пяти постулатов Евклида было недостаточно для полного описания геометрии и в 1899 году Гильберт предложил свою систему аксиом. Гильберт разделил аксиомы на несколько групп: аксиомы принадлежности, конгруэнтности, непрерывности (в том числе аксиома Архимеда), полноты и параллельности. Позднее Шур заменил аксиомы конгруэнтности аксиомами движения, а вместо аксиомы полноты стали использовать аксиому Кантора. Система аксиом евклидовой геометрии позволяет доказать все известные школьные теоремы[3].

Существуют и другие системы аксиом, в основе которых, помимо точки, прямой и плоскости, лежит не движение, а конгруэнтность, как у Гильберта, или расстояние, как у Кагана. Другая система аксиом связана с понятием вектора. Все они выводятся одна из другой, то есть аксиомы в одной системе можно доказать как теоремы в другой[3].

Для доказательства непротиворечивости и полноты аксиом евклидовой геометрии строят её арифметическую модель и показывают, что любая модель изоморфна арифметической, а значит они изоморфны между собой[4]. Независимость аксиом евклидовой геометрии показать сложнее из-за большого количества аксиом. Аксиома параллельности не зависит от других, так как на противоположном утверждении строится геометрия Лобачевского. Аналогично была показана независимость аксиомы Архимеда (в качестве координат вместо тройки вещественных чисел используется тройка комплексных чисел), аксиомы Кантора (в качестве координат вместо тройки любых вещественных чисел используются вещественные числа, построенные определённым образом), а также одной из аксиом принадлежности, которая фактически определяет размерность пространства (вместо трёхмерного пространства можно построить четырёхмерное, и любое многомерное пространство с конечным числом измерений)[5].

Постулаты Евклида

Постулаты Евклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки[6]:

Всякие две точки можно соединить прямой линией;
Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;
Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;
Все прямые углы равны между собой;
Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит[7]: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Аксиомы евклидовой геометрии

В «Энциклопедии элементарной математики» предлагается следующая система аксиом[3]:

Аксиомы принадлежности:

Через каждые две различные точки проходит прямая и притом одна;
На каждой прямой имеется по крайней мере две точки;
Существуют три точки, не лежащие на одной прямой;
Через каждые три точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна;
На каждой плоскости имеется по крайней мере одна точка;
Если две точки лежат на плоскости, то и проходящая через них прямая лежит на этой плоскости;
Если две плоскости имеют общую точку, они имеют по крайней мере ещё одну общую точку;
Существуют четыре точки, не лежащие на одной плоскости.
- Аксиомы порядка:
Из любых трёх различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими;
Для всяких двух точек прямой существует на этой прямой такая третья точка, что вторая точка лежит между первой и третьей;
Если прямая l, лежащая в плоскости ABC, не проходит ни через одну из точек A, B, C и содержит одну точку отрезка AB, то она имеет общую точку с хотя бы одним из отрезков AC, BC;
- Аксиомы движения:
Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя;
Пусть f — произвольное движение. Тогда, если точки A, B, C расположены на одной прямой, причём C лежит между A и B, то точки f(A), f(B), f(C) также расположены на одной прямой, причём f(C) лежит между f(A) и f(B);
Два движения, произведённые один за другим, равносильны некоторому одному движению;
Для всяких двух реперов, взятых в определённом порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй;
- Аксиомы непрерывности:
Аксиома Архимеда. Пусть A0, A1, B — три точки, лежащие на одной прямой, причём точка A1 находится между A0 и B. Пусть далее f — движение, переводящее точку A0 в A1 и луч A0B в A1B. Положим f(A1)=A2, f(A2)=A3, …. Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке An-1An.
Аксиома Кантора. Пусть A1, A2, … и B1, B2, … — такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой l, что для любого n точки An и Bn различны между собой и лежат на отрезке An-1Bn-1. Тогда на прямой l существует такая точка C, которая находится на отрезке AnBn при всех значениях n.
- Аксиома параллельности:
Через точку A, не лежащую на прямой l, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей прямую l.

Если убрать из системы аксиомы 4-8, относящиеся к пространственной геометрии, то получится система аксиом евклидовой плоскости[3].

Геометрические преобразования

Преобразованием множества называют его взаимно-однозначное отображение на себя. В таком смысле этот термин используется в геометрии, хотя иногда его используют и как синоним отображения или отображения множества в себя.

Говоря о «геометрических преобразованиях», обычно имеют в виду некоторые конкретные типы преобразований, играющие фундаментальную роль в геометрии — движения, преобразования подобия, аффинные, проективные, круговые преобразования (в последних двух случаях плоскость или пространство дополняют бесконечно удаленными точками). Эту фундаментальную роль выявил немецкий математик Феликс Клейн в своей лекции в университете г. Эрланген в 1872 г., известной как Эрлангенская программа. Согласно концепции Клейна, геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всех преобразованиях некоторой группы преобразований. Рассматривая группы преобразований указанных выше видов, получают разные геометрии — евклидову (для преобразований подобия), аффинную и т. д.

История

Муза геометрии, Лувр

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину[2]. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии. Центральное место среди них занимают написанные в III веке до н. э. «Начала» Евклида. Этот труд более двух тысячелетий считался образцовым изложением в духе аксиоматического метода: все положения выводятся логическим путём из небольшого числа явно указанных и не доказываемых предположений — аксиом[2]. Первые же доказательства геометрических утверждений появились в работах Фалеса и использовали, по всей видимости, принцип наложения, когда фигуры, равенство которых необходимо доказать, накладывались друг на друга[8].

Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарной, занималась изучением простейших форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычислялись их площади и объёмы. Преобразования в основном ограничивались подобием. В Греции в работах Гиппарха и Менелая также появились тригонометрия и геометрия на сфере[2].

Средние века немного дали геометрии[1], и следующим великим событием в её истории стало открытие Декартом в XVII веке координатного метода (трактат «Геометрия», 1637). Точкам пространства сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между геометрическими формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Систематическое изложение аналитической геометрии было предложено Эйлером в 1748 году. В начале XVII века Паскалем и Дезаргом начато исследование свойств плоских фигур, не меняющихся при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии и был впервые обобщён Понселе в 1822 году. Ещё раньше, в 1799 году Монж развил начертательную геометрию, связанную напрямую с задачами черчения. Метод координат лежит в основе появившейся несколько позже дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями. Дифференциальная геометрия была систематизирована Монжем в 1795 году[2], её развитием, в частности теорией кривых и теорией поверхностей, занимался Гаусс. На стыке геометрии, алгебры и анализа возникли векторное исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциальных форм[1].

В 1826 году Лобачевский, отказавшись от аксиомы параллельности Евклида построил неевклидову геометрию, названную его именем. Аксиома Лобачевского гласит, что через точку, не лежащую на прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной. Лобачевский, используя эту аксиому вместе с другими положениями, построил новую геометрию, которая в силу отсутствия наглядности, оставалась гипотетической до 1868 года, когда было дано её полное обоснование. Лобачевский, таким образом, открыл принципы построения новых геометрических теорий и способствовал развитию аксиоматического метода[2].

Следующим шагом явилось определение абстрактного математического пространства. Проективные, аффинные и конформные преобразования, сохраняющиеся при этом свойства фигур, привели к созданию проективной, аффинной и конформной геометрий. Переход от трёхмерного пространства к n-мерному впервые был осуществлён в работах Грассмана и Кэли в 1844 году и привёл к созданию многомерной геометрии. Другим обобщением пространства стала риманова геометрия, предложенная Риманом в 1854 году[2]. Ф. Клейн в «Эрлангенской программе» систематизировал все виды однородных геометрий; согласно ему, геометрия изучает все те свойства фигур, которые инвариантны относительно преобразований из некоторой группы. При этом каждая группа задаёт свою геометрию. Так, изометрии (движения) задаёт евклидову геометрию, группа аффинных преобразований — аффинную геометрию.

В 70-х годах XIX века возникла теория множеств, с точки зрения которой фигура определяется как множество точек. Данный подход позволил по новому взглянуть на евклидову геометрию и проанализировать её основы, которые подверглись некоторым уточнениям в работах Гильберта[2].

Геометрия в философии и искусстве

Со времён Древней Греции в основе геометрии лежат философские понятия. Определяя точку как «то, что не имеет частей», подход к ней отличается у Пифагора, который отождествляет точку с числовой единицей и у которого точка имеет только положение в пространстве и не имеет размера, и у Демокрита, который строя атомистическую теорию, даёт точке «сверхчувственно малый» размер. К атомистическим представлениям восходят также определения линии и поверхности, где неделимыми являются «ширина» и «глубина», соответственно[6].

Геометрия является пятым из семи свободных искусств по уровню обучения. Ей предшествует тривиум, состоящий из Грамматики, Риторики и Диалектики, а также Арифметика — старшая наука в квадривиуме, к которому также относятся Музыка и Астрономия[9]. Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств и в том числе Геометрии. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, которые сопровождались известными представителями сферы. Геометрия держит в своих руках глобус и циркуль, которым она может мерить, реже угольник, линейку или компасы. Её сопровождает Евклид[10][11].

В честь геометрии назван астероид (376) Геометрия, открытый в 1893 году.

Примечания

↑ 1 2 3 4 5 Геометрия // Математическая энциклопедия : в 5 т.. — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 БСЭ, 1971.
↑ 1 2 3 4 Геометрия, 1963, с. 32—41.
↑ Геометрия, 1963, с. 41—44.
↑ Геометрия, 1963, с. 44—48.
↑ 1 2 Геометрия, 1963, с. 12—17.
↑ Геометрия, 1963, с. 18—21.
↑ Геометрия, 1963, с. 12.
↑ Liberal Arts (англ.). Encyclopædia Britannica. Проверено 20 марта 2012. Архивировано 27 мая 2012 года.
↑ Семь свободных искусств. Simbolarium. Проверено 20 марта 2012. Архивировано 27 мая 2012 года.
↑ The Seven Liberal Arts. Catholic Encyclopedia. Проверено 20 марта 2013. Архивировано 3 апреля 2013 года.

Литература

Комацу, Мацуо. Многообразие геометрии. — М. : Знание, 1981.
Левитин, К. Е. Геометрическая рапсодия. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : ИД «Камерон», 2004. — 216 с. — ISBN 5-9594-0023-5.
Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов : в 2 т.. — М. : М. Катков, 1883.
Граве Д. А. Геометрия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Геометрия // Газлифт — Гоголево. — М. : Советская энциклопедия, 1971. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 6).
История математики : в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — Т. I : С древнейших времён до начала Нового времени.
История математики : в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1970. — Т. II : Математика XVII столетия.
История математики : в 3 т. / под ред. А. П. Юшкевича. — М. : Наука, 1972. — Т. III : Математика XVIII столетия.
Математика XIX века / ред. А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. — М. : Наука, 1981. — Т. 2 : Геометрия. Теория аналитических функций.
Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М. : Физматгиз, 1963. — Кн. 4 : Геометрия. — 568 с.
Энциклопедия элементарной математики / под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М. : Наука, 1966. — Кн. 5 : Геометрия. — 624 с.

wikiredia.ru

Где и кто изобрел науку геомерию

Многие поколения людей последних нескольких сотен лет твердо убеждены, что геометрию изобрели в Древней Греции, а имя Евклида тесно связано с этой наукой. Евклид родоначальник геометрии?

Но если внимательно изучать древнюю историю, то мы можем обратить внимание, что элементарную геометрию неплохо знали и использовали древние Египтяне: им нужно было уметь правильно делить земные участки на плодородных участках в дельте Нила, так же им нужно было строить пирамиды и здания.

Однако в последнее время появились новые факты, в которых небезосновательно доказывается, что геометрия зародилась в Вавилоне. Почему в Вавилоне и почему так давно — в 35–50 годах до н.э. ?

На планетах рядом с двойными звездами условия для жизни лучше Науке давно известно, что вавилоняне обладали серьезными лля их времени достижениями в астрономии: древнее население Южной Месопотамии могло предсказывать затмения, вычислять расстояния между звездами и планетами, собирать точные данные о видимых невооруженным глазом небесных телах. Они для определения положения Юпитера на небосводе, которому поклонялись как самому главному (верховному) божеству, называя его Мардуком, вавилоняне проводили сложные геометрические вычисления, которые, как считалось ранее, появились лишь в XIV веке в Европе. Вавилоняне обогнали свое время, а с ними достижения в геометрических знаниях древних египтян и греков!

Проблемой развития науки, в частности астрономии и геометрии в Месопотамии, в течении долгих 14 лет занимался пециалист в археоастрономии Мэтью Оссендриджвер (Mathieu Ossendrijver) из Берлинского университета имени Гумбольдта. Каждый год в течение этого времени он ездил в Британский музей, где изучал глиняные таблички древних вавилонян (как известно, вавилоняне писали на глиняных табличках клинописными значками), где все таки разгадал загадку, которую хранили две таблички. На этих глиняных «скрижалях», как выяснилось в результате их расшифровки, были изложены инструкции для построения трапециевидной фигуры!

вавилонские таблицы

«Глиняные таблички показали, что вавилоняне могли вычислять движение планет в очень современном стиле — они рассчитывали зависимость скорости от времени, как это делается в современных графиках», — рассказал корреспонденту отдела науки «Газеты.Ru» автор исследования. — «Любой современный математик или физик скажет вам, что с помощью таких измерений вы сможете вычислить расстояние, которое прошло тело. Раньше считалось, что это поняли в 1350 году в Оксфорде и в Париже, но на самом деле это сделали вавилоняне в 35–50 годах до н.э. Кроме того, на табличках использованы геометрические вычисления, которые появились еще раньше — в 1800–1600 годах до н.э. Так «старая геометрия» была применена к новой ситуации».

Ученый так же отметил, что вавилонская геометрия была особенной и она отличалась своими от геометрии древних греков более абстрактными и глубокими представлениями о геометрических объектах. Такими достижениями в области абстрагирования геометры Европы смогли похвастаться только на рубеже XIV нашей эры.

Сейчас становится понятным, что все астрономические вычисления вавилонян были преданы забвению, а европейские ученые лишь в конце Средних веков повторно изобрели то, что разработало древнее население Южной Месопотамии. По мнению автора исследования, полученные им результаты могут свидетельствовать о том, что если бы вавилонская геометрия была перенята другими народами, то в Средние века математикам не пришлось изобретать колесо. Увы, история не признает сослагательные наклонения…

История развития геометрии как науки

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 6

округа Муром

Реферат

По геометрии

На тему: история развития геометрии как науки

Подготовила:

Ученица 8 «В» класса

Барскова Екатерина

Проверила:

Учитель математики

Шубина И.Н.

Г. Муром 2011 год

Содержание

1. Введение ……………………………………………………………………………. 4

2. Первый период …………………………………………………………………… 7

2.1 Геометрия Египта………………………………………………………….. 7

2.2 Геометрия Вавилона……………………………………………………… 8

2.3 Геометрия древней Греции…………………………………………… 9

3. Второй период ……………………………………………………………………. 11

3.1 Труды Евклида………………………………………………………………. 11

3.2 Труды Архимеда……………………………………………………………. 12

3.3 Труды Менелая……………………………………………………………… 13

3.4 Труды Апполона……………………………………………………………. 13

4. Третий период ……………………………………………………………………. 15

4.1 Труды Эйлера……………………………………………………………….. 15

5. Четвёртый период .................................................................. 17

6. Задачи …………………………………………………………………………………. _

6.1 Задачи древности…………………………………………………………. 18

6.2 Современные задачи……………………………………………………. 19

7. Заключение ………………………………………………………………………… 20

8. Литература …………………………………………………………………………. 21

Цель работы: узнать, как развивалась наука геометрия, и сравнить решение задач в древние времена и как они решаются сейчас.

Задачи:

1. Изучить литературу об истории науки геометрии.

2. Изучить каждый этап развития.

3. Рассмотреть решение задач в древности.

4. Рассмотреть способы решения современных задач.

5. Сравнить решение задач древности и современности.

Актуальность темы: Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневного удовлетворения их ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т.д. Слово "геометрия" означает "землемерие" и ясно указывает на источник его происхождения.

Введение

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять)— наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и накоплению геометрических сведений. За несколько столетий до нашей эры в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, например, правил нахождения площадей фигур, объемов тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.

Геометрия дает общее понятие о геометрической фигуре, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность. Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах, взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. Это определение вполне согласуется с определением геометрии как науки о пространственных формах и отношениях. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрия, и есть пространственная форма; поэтому в геометрии говорят, например, "шар", а не "тело шарообразной формы"; расположение и размеры определяются пространственными отношениями; наконец, преобразование, как его понимают в геометрии, так же есть некоторое отношение между двумя фигурами - данной и той, в которую она преобразуется.

Измерение площадей – одна из самых первых математических задач, возникших в глубокой древности. Среди самых старых древневавилонских клинописных табличек, смысл которых удалось расшифровать, – а их возраст составляет более четырех тысяч лет, – нашлись таблички с расчетами количества зерна, которое требуется для посева в зависимости от площади поля (при заданных расстояниях между рядами и зернами в ряду). Такие расчеты тогда не казались простыми из-за громоздкого способа обозначений больших чисел, в котором особую роль играли числа 6, 10, 60 (от этой «шестидесятеричной» системы до наших дней сохранился обычай делить окружность на 360 частей и измерять углы в градусах).Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия.

В современном, более общем смысле, геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрия определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и её границы не являются точными.

В развитии геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый - период зарождения геометрия как математической науки - протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае - зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое.

Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались.

Геометрия Египта

Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян - пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.

Геометрия Вавилона

К задачам, которые вавилоняне решали алгебраическим и арифметическим методом, относятся и многие задания на определение длин, площадей при делении земельных участков, объемов земляных выемок, хозяйственных построек. Все решения, встречающиеся в клинописных текстах, ограничиваются простым перечислением этапов вычисления в виде догматических правил: "делай то - то, делай так - то". В дошедших до нас вавилонских табличках имеются задачи абстрактного характера и внешне кажущиеся не связанными с практическими нуждами. Но это не так: они возникли в результате теоретической обработки условий, первоначально порожденных потребностями практики при межевании земель, возведении стен и насыпей, при строительстве каналов, плотин, оборонительных сооружений и пр. Сохранилось немало планов земельных угодий, разделенных на участки прямоугольной, трапецеидальной или треугольной форм. Но соответствующие геометрические фигуры воспринимались ими как абстрактные, так прямоугольник они называли "то, что имеет длину и ширину", трапецию - "лбом быка", сегмент - "полем полумесяца", параллельные прямые - "двойными прямыми". У вавилонян не было таких геометрических понятий как точка, прямая, линия, поверхность, плоскость, параллельность. Измерение производилось при помощи веревки. Геометрические познания вавилонян превышали египетские.

mirznanii.com

Геометрия в Древней Греции. Древние геометры